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 #1 - 20-07-2015 12:19:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 120

Bonjour à tous smile

Nous savons tous que mon pâtissier n’est pas toujours très fin et on peut dire que la canicule n’arrange vraiment pas les choses . Il s’est lancé dans la fabrication de gâteaux aux formes pour le moins étranges et pourtant la recette est simple : 24 g par machin , 16 décilitres par kilo et 4 millimètres d’épaisseur .

Le reste est laissé à la fantaisie de l’artiste et là je vous laisse juge …

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau102.png

La question n’est pas d’ordre esthétique . Il arrive toujours à poser son truc sur son horrible paillasse de maille 10 cm sans que son gâteau ne soit en contact avec aucun des points rouges .

Ça m’agace un peu et j’aimerais bien trouver un gâteau ( sûrement encore plus moche que les siens ) qui ne pourrait pas éviter les points rouges .

Une idée ?????

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



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 #2 - 20-07-2015 15:12:12

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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Gâeau 102

J'en ai un tout simple, un gâteau parfaitement carré de 31 cm par 31 cm.

Bisous,
Shadock big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 20-07-2015 15:27:41

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Gâtea u102

Le gâteau pèse 24 grammes, soit 384 mL ou bien 384 cm^3 ce qui autorise une surface de 960 cm².... J'ai du rater un truc
Bref le problème revient à chercher une figure qui touche un point rouge
Une spirale d'archimède infinie épaissie ferait-elle l'affaire?


Un promath- actif dans un forum actif

 #4 - 20-07-2015 15:57:48

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteua 102

Une petite faute de frappe que j'ai corrigée 16 dL au lieu de 16 L .

On va dire que c'est la chaleur lollollol

Vasimolo

 #5 - 20-07-2015 16:56:14

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
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Lieu: Au fond de l'univers

Gâtea u102

D'accord ^^ donc 0.96 cm^2...!!!!


Un promath- actif dans un forum actif

 #6 - 20-07-2015 17:34:52

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteau 1002

Tu veux dire 96 cm² smile

Vasimolo

 #7 - 20-07-2015 18:24:13

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

âGteau 102

Ah parce qu'il faut respecter les conditions initiales du problème...la chaleur lol, bon je reviens alors !


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #8 - 20-07-2015 18:52:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

hâteau 102

Non , la chaleur n'est pas un paramètre lollollol

Je pense que le problème est définitivement corrigé ( j'ai une fâcheuse tendance à changer toutes les données au dernier moment et comme je suis affreusement tête en l'air ... )

Bonne recherche smile

Vasimolo

 #9 - 20-07-2015 21:30:31

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1743

Gtâeau 102

Bonjour !

Donc si j'ai bien compris, le problème consiste à recouvrir un maillage carré dont chaque cellule fait 100 cm² par un gâteau dont la surface est de 96 cm² ...

c'est cela ? big_smile

Merci, A+smile


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #10 - 20-07-2015 21:54:07

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteau 02

Presque , en fait il s'agit de trouver un gâteau qui ne peut pas éviter les points rouges ( ou montrer que c'est impossible ) .

Vasimolo

 #11 - 20-07-2015 22:32:49

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

gâtezu 102

Pour chaque point de la surface de 96 cm^2 un point (et un seul) et ses répliques sont exclus dans la maille 10x10.

Il existe donc 4 cm^2 q'on ne peut pas exclure.

 #12 - 20-07-2015 23:24:11

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâetau 102

L'idée est surement là Gwen mais il va falloir clarifier un peu smile

Vasimolo

 #13 - 21-07-2015 08:09:07

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

gâtezu 102

Si on prend un point dans la première maille et que l'on décale le gâteau selon la maille, il couvrira un point équivalent, on peut donc couper le gateau en 10x10 et interchanger les morceaux comme on veut.

Pour faire plus simple, on peut les superposer. Au maximum, on couvrira 96cm^2 d'une maille que l'on peut bouger dans un carré de 20 x 20.

Un  point rouge fera toujours son trou.

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g102.png

 #14 - 21-07-2015 11:29:00

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteauu 102

C'est ça Gwen smile

Vasimolo

 #15 - 22-07-2015 11:52:09

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteau 1002

Une petite aide pour ceux qui s’intéressent un peu à l'histoire sans trouver d'angle d'attaque smile

Par dissection et translation on peut ramener l'ensemble du gâteau dans une seule case : 

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-102aide.png

Vasimolo

 #16 - 22-07-2015 18:14:07

Promath-
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Lieu: Au fond de l'univers

Gâteau 012

Dans ce cas je vais partir sur la démonstration de l'impossibilité!


Un promath- actif dans un forum actif

 #17 - 22-07-2015 22:45:22

Vasimolo
Le pâtissier
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gâtezu 102

C'est une bonne idée smile

Vasimolo

 #18 - 23-07-2015 12:33:06

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gââteau 102

Je précise un peu la solution de Gwen qui est peu bavard smile

On place le gâteau n’importe comment sur la paillasse et on expédie par translation chacun des carrés de gâteau dans une seule case . 

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-102solution.png
Le résultat n’est pas très joli mais on va faire avec .

Un puriste pourrait se demander où vont atterrir les miettes de gâteaux ayant eu la bête idée de paresser sur un côté d'un carré . On peut trancher le problème assez facilement en considérant que seul le coin inférieur gauche et les côtés bas et gauche du carré font partie de la maille ( on peut aussi se dire que l’ensemble de ces points litigieux a une aire nulle et qu'il ne présente donc aucun intérêt ) .

Après , comment exploiter cet enchevêtrement ?

L’aire de base du gâteau qui est initialement de 96 cm² ne risque pas d’augmenter quand on expédie tous les morceaux dans une seule case ( il va même pas mal diminuer à cause des superpositions ) . En bref il y a à l’intérieur de la case qui reçoit tout le monde un point noir qui n'est pas recouvert par les bribes de gâteaux .

On peut aussi imaginer ce même point dans chaque carré de la paillasse .

On décide ensuite de faire glisser le gâteau de façon à ce que le point noir rejoigne un point rouge ( vecteur vert ) .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-102solution2.png
Après on se dit que si dans sa nouvelle position le gâteau devait chevaucher un point rouge alors dans sa position initiale il devait chevaucher un point noir et là il y a un problème .

Il est d’ailleurs assez curieux de remarquer qu’il n’y a pas besoin de faire tourner le gâteau pour éviter les points rouges : on le pose dans n’importe quelle position et on peut toujours le faire glisser pour éviter les nœuds .

Merci aux participants ( de moins en moins nombreux sad ) .

Vasimolo

 #19 - 23-07-2015 12:40:28

Promath-
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Lieu: Au fond de l'univers

Gâtea u102

Ce problème était extrêmement intéressant, j'allais me mettre à la démonstration mais j'arrive avec 6 minutes de retard... La prochaine fois peut être
Pour ta remarque sur le nombre, je pense que c'est une tendance sur le forum, et c'est normal qu'en été il y ait moins de monde aussi!


Un promath- actif dans un forum actif

 #20 - 23-07-2015 21:14:45

golgot59
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gâteai 102

Oui, très intéressant en effet, je n'avais rien vu !

 #21 - 25-07-2015 07:26:33

nodgim
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fâteau 102

Perso, je n'étais pas dans le coup, et je n'ai pas encore compris la démo...

 #22 - 25-07-2015 09:39:30

golgot59
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Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Gâtteau 102

J'essaie de reformuler :

1/ Ton quadrillage est régulier et répétitif. Si on découpe la grille et le gâteau qui la recouvre en petits carrés dont les sommets sont les points de la grille et qu'on les superpose tous, alors on aura :

_Si le gâteau passe par un point sur la grille de départ, alors un des morceau du carré passera par 1 des 4 points du carré obtenu par superposition.
_Sinon, il ne passera pas par 1 des 4 points du carré.
_Et inversement pour les 2 cas


2/ Comme la surface du gâteau fait 96% d'un carré, alors une fois le gâteau découpé, il y aura obligatoirement 1 ou plusieurs trous. Si on déplace par translation le carré de gâteau obtenu de sorte qu'un trou soit face à un point, , en redéployant le gâteau on ne passe plus par aucun point.

Voici un exemple : (à l'étape 5, j'ai ajouté des carrés à gauche et en dessous)

http://www.prise2tete.fr/upload/golgot59-explik.jpg

J'espère que c'est plus clair...

 #23 - 25-07-2015 12:04:45

nodgim
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Gâteau 10

Compris merci Golgot pour ton beau dessin. Toutefois, j'ai dû relire Vasimolo pour le point commun à tous les carrés. Astucieux en effet. On fait une sorte de modulo topologique de la figure. C'est fort.

 #24 - 28-07-2015 13:35:14

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâtau 102

En fait mon idée n'était pas celle décrite par Golgot mais ça revient au même smile

Le début est bien là : on envoie tous les morceaux du cœur dans une seule case et on remarque qu'il y a un point à l'intérieur de la case réceptrice qui n'est recouvert par aucun morceau de cœur : le fameux point noir . Après c'est légèrement différent , on revient au cœur initial et par translation on met un point noir dans chaque carré rouge . La construction des points noirs nous dit que le cœur ne peut chevaucher aucun d’entre eux . On fait ensuite subir au cœur la translation de vecteur vert . Cette translation amène ( bijectivement ) le réseau noir sur le rouge , le nouveau cœur ne peut donc chevaucher aucun point rouge .

J’espère que mon explication est plus claire smile

Vasimolo

 #25 - 29-07-2015 08:55:53

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

gâtzau 102

C'est bien comme ça que je l'avais compris Vasimolo.

 

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