Bon, pour la boucle, y a Vasi qui dit que ce n'est pas démontré et masab que oui....
Sinon, Vasimolo, je suis en droit de contester ton dessin: tu ne donnes pas la preuve que tu as construit un vrai carré. A la limite, on peut soupçonner que tu as d'abord construit ton carré, et la courbe par dessus....
Ce que je veux dire, c'est que si tu as vraiment réussi à construire le carré sur la boucle, alors tu as presque ipso facto la preuve de son existence pour toute boucle. Je ne sais pas si je me fais bien comprendre.

J'ai bien compris, mais comment es tu sûr de la construction à cet endroit là ? Je veux dire qu'il a bien fallu que tu prouves que ça marche. Peut être par une continuité quelconque ?

Merci pour le document

J'imprime ça demain et je m'y penche

Vasimolo

Je ne m'attendais pas à créer un bon topic, pour une fois je suis content
Je ne connaissais pas l'histoire avec une courbe, ça paraît pourtant évidant et dire que cette conjecture est centenaire...

Reste plus qu'à trouver une application de cette chose là, j'imagine quand analyse, connaitre ce genre de résultats peut-être un gain de temps pour certaine chose.

A noter que la réciproque est vraie: il existe toujours une boucle fermée passant par les quatre points formant un carré.   C'est assez facile à démontrer. Bon ok, je sors.

Ce qui est bizarre c'est de ce dire que la réciproque est vraie.
Pourquoi n'arrive t'on pas à démontrer cette conjecture, alors qu'en traçant sur un carré toutes les courbes possibles et imaginables passant par les quatre sommets ça marche sans mêmes avoir besoin de le démontrer?

J'ai imaginé la preuve suivante dans un cas particulier.

On suppose que l'on ait une courbe $\Gamma$ fermée simple de classe $\mathrm{C}^1$. On suppose aussi que cette courbe est la frontière d'un convexe compact K. On oriente la courbe dans le sens trigonométrique.

Soit $A\in\Gamma$. Soit $\ell>0$ petit.

Soit B "après" A tel que $AB=\ell$.

Soit C "après" B tel que $BC=\ell$.

Soit D "après" C tel que $CD=\ell$.

Soit E "après" D tel que $DE=\ell$.

On a ainsi défini une application continue $f : ( A ,\ell )\mapsto E$, localement croissante en $\ell$. Si l'on augmente progressivement $\ell$, alors on finit par avoir E=A ; on choisit $\ell$ le plus petit possible pour qu'il en soit ainsi.
ABCD est alors un losange.

On a ainsi une application continue $g : A\in\Gamma \mapsto ABCD$ losange.
Maintenant on fait glisser un point M le long de l'arc $\stackrel{\curvearrowright}{AB}$ sous-tendant la corde [AB]. Lorsque M=A, le losange associé g(A)=ABCD est par exemple aigu en M=A (on procède de façon analogue si cet angle est obtus) ; lorsque M=B le losange associé g(B)=BCDA est alors obtus en M=B.
Par suite par continuité il existe un point M de cet arc tel que le losange associé soit un carré.

Effectivement, il est possible que mon idée de preuve ne mène à rien !
Dommage...