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 #1 - 15-11-2017 17:22:22

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3263

Frraction Irréductible ?

Bonsoir @ tous.

C'est peut être un peu scolaire, mais ayant trouvé cela curieux, je vous propose de trouver pour quelles valeurs de n entier cette fraction est réductible :

(4n^3+3n+1)/(2n²+5)

A la main, cela va de soi....



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 #2 - 15-11-2017 19:49:26

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 241

Fraction Irrréductible ?

Bonjour,
(4n^3+3n+1)/(2n²+5) = 2n - (7n - 1)/(2n^2 + 5)
pour n = 2, ce sera réductible, au delà, le quotient (7n - 1)/(2n^2 + 5) sera strictement compris entre -1 et 0

 #3 - 16-11-2017 07:43:10

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3263

Fraction Irréductibl ?

Caduk,
OK pour cette 1ère valeur. Tu n'en vois pas d'autres ?
Ton quotient compris entre -1 et 0 n'exclut en rien la possibilité d'autres solutions....

 #4 - 16-11-2017 08:46:49

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 950

Fraction Irrééductible ?

À coups de au+bv signés Bézout, je trouve que n ne doit pas être premier avec 246 (2*3*41).
Ça marche pour 2 et 41.
Je verrai plus tard si j'ai le temps...

Edit :
J'ai mal conclu. Je trouve que 7n-1 doit être divisible par 13 ou par 19.
Avec un petit Python :
2 11 15 28 30 41 49 54 67 68 80 87 93 ...

Edit2 :
En fait, n=2+13k ou n=11+19k, k entier.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #5 - 16-11-2017 09:42:21

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 530

fraction irréfuctible ?

Salut nodgim,

PGCD(4n³+3n+1;2n²+5)
=PGCD(4n³+3n+1-2n(2n^2+5);2n²+5) en utilisant 2n fois PGCD(a;b)=PGCD(a-b;b)
=PGCD(7n-1;2n²+5)
=PGCD(7n-1;14n²+35) car le nombre premier 7 ne divise pas (7n-1)
=PGCD(7n-1;14n²+35-2n(7n-1))
=PGCD(7n-1;2n+35)
=PGCD(14n-2;2n+35) car le nombre premier 2 ne divise pas (2n+35)
=PGCD(14n-2-7(2n+35);2n+35)
=PGCD(247;2n+35).

Or 247=13*19. Si n=2 modulo 13, 2n+35 est divisible par 13, et si n=11 modulo 19, alors 2n+35 est divisible par 19 (les deux se télescopent si n=106 modulo 247), la fraction est alors réductible ; et le reste du temps, le PGCD vaut 1 et la fraction est irréductible.

 #6 - 16-11-2017 11:34:20

Bastidol
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 46

fraction irréductiblr ?

Bonjour,

Pour n=2 on obtient 3.

Il y a peut être d'autres valeurs de n ( positives en tout cas)

@+

 #7 - 16-11-2017 12:10:58

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3263

Fration Irréductible ?

@ Ebichu et Scrablor: parfait pour tous les deux, chacun avec sa méthode (les 2 seules identifiées pour l'instant).
Bravo à vous deux.

@ Bastidol : oui il y en a d'autres pour n entier positif.

 #8 - 17-11-2017 15:52:48

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 735

Fraction Irréductble ?

On trouve que les entiers naturels n convenants sont ceux de la forme
n=2+13k où k est un entier naturel
ou
n=11+19k où k est un entier naturel

 #9 - 17-11-2017 17:38:19

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3263

fraction irréductibke ?

C'est presque ça, Masab, il y a une petite erreur pour le 2ème cas.

 #10 - 18-11-2017 11:05:38

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 241

Fraction Irréducctible ?

J'étais parti sur la démonstration des valeurs de n pour lesquelles le quotient est entier big_smile
Il est très facile de démontrer que la fraction est réductible si n est de la forme 13p + 2 ou de la forme 19p - 8.
Je suis en revanche incapable de démontrer qu'il n'y a pas d'autres fractions réductibles, et encore moins comment trouver ces familles d'entier simplement...

 #11 - 18-11-2017 19:59:07

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3263

Fractionn Irréductible ?

@ Caduck :

Tu peux maintenant voir les solutions, la plus emblématique est celle d'Ebichu qui travaille le PGCD des deux polynômes :
L'idée directrice est basée sur le fait que s'il y a un facteur commun (aux 2 polynômes) alors il est commun à leur différence, celle ci pouvant être "aménagée" pour se débrouiller de supprimer le degré le plus fort. De proche en proche, il ne reste au final qu'un entier. Tout "n" qui n'est pas diviseur de cet entier donne aux polynômes des nombres premiers entre eux.

Si tu veux, tu peux tenter avec cette méthode de trouver le seul facteur premier commun à 5n^3 + 2n + 3 et 6n² + 5, et le "n" correspondant.

Merci à tous pour votre participation.

 #12 - 18-11-2017 20:56:01

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 241

Fraction rIréductible ?

Je dois être stupide, je connaissais le pgcd de polynômes, et je n'y ai pas pensé... mad

 #13 - 19-11-2017 10:26:18

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 735

fractipn irréductible ?

nodgim : C'est presque ça, Masab, il y a une petite erreur pour le 2ème cas.

Laquelle ? J'ai donné la même réponse que Ebichu et Scrablor !
J'avais mis n=-8+19k, k>=1 au début,
je l'ai remplacé ensuite par n=11+19k, k entier naturel,
mais c'est pareil...

 #14 - 19-11-2017 15:50:00

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3263

Fratcion Irréductible ?

@ Masab: J'ai dû lire 8 pour -8 sans doute, alors que j'attendais 11, vu qu'on cherche des entiers naturels. Sorry.


Sinon, j'ai donné une autre fraction dans le message précédent avec un seul facteur premier.

Pour les amateurs....

 #15 - 20-11-2017 14:53:05

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 735

Fraction Iréductible ?

Avec le 2ème exemple on trouve par la même méthode
n = 645 + 2789 k avec k entier naturel.
2789 est un nombre premier.

 #16 - 20-11-2017 16:28:37

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3263

Fraction Irrédctible ?

Oui Masab, c'est bien ça !

J'avais trouvé cet exemple totalement au hasard, et assez surpris de tomber sur un nombre premier aussi élevé. Il faut dire que ce PGCD grimpe vite, d'une part avec les coefficients, et d'autre part avec le degré du polynôme le plus élevé.

Belle technique en tout cas.

 

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