Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 15-11-2017 17:22:22

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3802

ftaction irréductible ?

Bonsoir @ tous.

C'est peut être un peu scolaire, mais ayant trouvé cela curieux, je vous propose de trouver pour quelles valeurs de n entier cette fraction est réductible :

(4n^3+3n+1)/(2n²+5)

A la main, cela va de soi....

  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 15-11-2017 19:49:26

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 398

Fraction Irérductible ?

Bonjour,
(4n^3+3n+1)/(2n²+5) = 2n - (7n - 1)/(2n^2 + 5)
pour n = 2, ce sera réductible, au delà, le quotient (7n - 1)/(2n^2 + 5) sera strictement compris entre -1 et 0

 #3 - 16-11-2017 07:43:10

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3802

Fraction IIrréductible ?

Caduk,
OK pour cette 1ère valeur. Tu n'en vois pas d'autres ?
Ton quotient compris entre -1 et 0 n'exclut en rien la possibilité d'autres solutions....

 #4 - 16-11-2017 08:46:49

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 965

fractiin irréductible ?

À coups de au+bv signés Bézout, je trouve que n ne doit pas être premier avec 246 (2*3*41).
Ça marche pour 2 et 41.
Je verrai plus tard si j'ai le temps...

Edit :
J'ai mal conclu. Je trouve que 7n-1 doit être divisible par 13 ou par 19.
Avec un petit Python :
2 11 15 28 30 41 49 54 67 68 80 87 93 ...

Edit2 :
En fait, n=2+13k ou n=11+19k, k entier.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #5 - 16-11-2017 09:42:21

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 888

Fraction Irréductibl e?

Salut nodgim,

PGCD(4n³+3n+1;2n²+5)
=PGCD(4n³+3n+1-2n(2n^2+5);2n²+5) en utilisant 2n fois PGCD(a;b)=PGCD(a-b;b)
=PGCD(7n-1;2n²+5)
=PGCD(7n-1;14n²+35) car le nombre premier 7 ne divise pas (7n-1)
=PGCD(7n-1;14n²+35-2n(7n-1))
=PGCD(7n-1;2n+35)
=PGCD(14n-2;2n+35) car le nombre premier 2 ne divise pas (2n+35)
=PGCD(14n-2-7(2n+35);2n+35)
=PGCD(247;2n+35).

Or 247=13*19. Si n=2 modulo 13, 2n+35 est divisible par 13, et si n=11 modulo 19, alors 2n+35 est divisible par 19 (les deux se télescopent si n=106 modulo 247), la fraction est alors réductible ; et le reste du temps, le PGCD vaut 1 et la fraction est irréductible.

 #6 - 16-11-2017 11:34:20

Bastidol
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 152

Fractio nIrréductible ?

Bonjour,

Pour n=2 on obtient 3.

Il y a peut être d'autres valeurs de n ( positives en tout cas)

@+

 #7 - 16-11-2017 12:10:58

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3802

Fraction Irréductibl e?

@ Ebichu et Scrablor: parfait pour tous les deux, chacun avec sa méthode (les 2 seules identifiées pour l'instant).
Bravo à vous deux.

@ Bastidol : oui il y en a d'autres pour n entier positif.

 #8 - 17-11-2017 15:52:48

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 971

Fractioon Irréductible ?

On trouve que les entiers naturels n convenants sont ceux de la forme
n=2+13k où k est un entier naturel
ou
n=11+19k où k est un entier naturel

 #9 - 17-11-2017 17:38:19

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3802

Frcation Irréductible ?

C'est presque ça, Masab, il y a une petite erreur pour le 2ème cas.

 #10 - 18-11-2017 11:05:38

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 398

Fracion Irréductible ?

J'étais parti sur la démonstration des valeurs de n pour lesquelles le quotient est entier big_smile
Il est très facile de démontrer que la fraction est réductible si n est de la forme 13p + 2 ou de la forme 19p - 8.
Je suis en revanche incapable de démontrer qu'il n'y a pas d'autres fractions réductibles, et encore moins comment trouver ces familles d'entier simplement...

 #11 - 18-11-2017 19:59:07

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3802

Fraction Irréduuctible ?

@ Caduck :

Tu peux maintenant voir les solutions, la plus emblématique est celle d'Ebichu qui travaille le PGCD des deux polynômes :
L'idée directrice est basée sur le fait que s'il y a un facteur commun (aux 2 polynômes) alors il est commun à leur différence, celle ci pouvant être "aménagée" pour se débrouiller de supprimer le degré le plus fort. De proche en proche, il ne reste au final qu'un entier. Tout "n" qui n'est pas diviseur de cet entier donne aux polynômes des nombres premiers entre eux.

Si tu veux, tu peux tenter avec cette méthode de trouver le seul facteur premier commun à 5n^3 + 2n + 3 et 6n² + 5, et le "n" correspondant.

Merci à tous pour votre participation.

 #12 - 18-11-2017 20:56:01

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 398

Fraction Irréduuctible ?

Je dois être stupide, je connaissais le pgcd de polynômes, et je n'y ai pas pensé... mad

 #13 - 19-11-2017 10:26:18

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 971

Fraction Irréductilbe ?

nodgim : C'est presque ça, Masab, il y a une petite erreur pour le 2ème cas.

Laquelle ? J'ai donné la même réponse que Ebichu et Scrablor !
J'avais mis n=-8+19k, k>=1 au début,
je l'ai remplacé ensuite par n=11+19k, k entier naturel,
mais c'est pareil...

 #14 - 19-11-2017 15:50:00

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3802

Fractin Irréductible ?

@ Masab: J'ai dû lire 8 pour -8 sans doute, alors que j'attendais 11, vu qu'on cherche des entiers naturels. Sorry.


Sinon, j'ai donné une autre fraction dans le message précédent avec un seul facteur premier.

Pour les amateurs....

 #15 - 20-11-2017 14:53:05

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 971

Fraction Irréducitble ?

Avec le 2ème exemple on trouve par la même méthode
n = 645 + 2789 k avec k entier naturel.
2789 est un nombre premier.

 #16 - 20-11-2017 16:28:37

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3802

fraction irréductivle ?

Oui Masab, c'est bien ça !

J'avais trouvé cet exemple totalement au hasard, et assez surpris de tomber sur un nombre premier aussi élevé. Il faut dire que ce PGCD grimpe vite, d'une part avec les coefficients, et d'autre part avec le degré du polynôme le plus élevé.

Belle technique en tout cas.

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Tim, Tam et ?

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete