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 #51 - 11-04-2013 15:15:49

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

Combien de lancers ed dé avant de... ?

Voici la solution de 2) en pdf

#0 Pub

 #52 - 11-04-2013 16:28:05

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Combien de lancers de dé avant de.. ?

Alors là, respects, Mr masab, respects.

 #53 - 11-04-2013 17:11:01

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
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comnien de lancers de dé avant de... ?

Voici la solution de 3) en pdf

 #54 - 11-04-2013 18:05:10

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
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Combien de lances de dé avant de... ?

Waouh, j'ai presque rien pigé mais c'est balèze ...

 #55 - 11-04-2013 18:14:52

titoufred
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Combien de lancers de dé avan tde... ?

Bravo BilouDH et masab pour le cas n=2. Après les chaines de Markov de ksavier, c'est une autre façon de voir qu'il faut en moyenne 42 lancers pour faire "66".

Et encore un grand bravo à masab pour le cas n=3, il faut effectivement 258 lancers en moyenne pour faire "666". Ca serait peut-être pas mal d'expliquer un minimum les calculs finaux pour 42 et 258, ça ne saute pas aux yeux.

Pour aller plus loin avec cette méthode, ça me paraît difficile, surtout pour le cas n quelconque...

Je vous propose de découvrir d'autres méthodes, beaucoup plus simples, qui permettent de retrouver ces résultats en 2 lignes et qui se généralisent facilement à n quelconque. Pour cela, voir les fins des messages http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopi … =2#p157368 et http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopi … =2#p157402.

 #56 - 11-04-2013 18:34:14

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

Combien de lancers de dé avantt de... ?

Alors là, c'est hors sujet: la question 3, c'est pour n fois 6 (et pas 3 fois 6): lol

Pour 1 fois 6, on a en moyenne 6^1 lancers.
Pour 2 fois 6, on a en moyenne 6^1 + 6^2 lancers.
Pour 3 fois 6, on a en moyenne 6^1 + 6^2 + 6^3 lancers.
Pour n fois 6, aurait t-on en moyenne 6^1 + 6^2 + ... + 6^n lancers, soit:
1,2.(6^n - 1) lancers ?

Attention: ce qui précède n'est évidemment pas une démonstration: sad

 #57 - 11-04-2013 21:49:54

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
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Combien de lancers de d avant de... ?

J'ai rien compris a toutes ces démos, mais mon "intuition" donne le même résultat que franky ... coup de chance ?

 #58 - 11-04-2013 23:26:44

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
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Combien de lancers dde dé avant de... ?

Disons que les démonstrations de masab peuvent être assez elliptiques, surtout pour quiconque n'a pas fait de Maths post-bac.

Voici quelques éclaircissements sur le cas 2)

pour R(n) = 5*R(n-1) + 5*R(n-2) :
on distingue les suites qui ne se terminent pas par 6 (5 choix pour [latex]x_n[/latex] et R(n-1) choix pour les autres) et les suites qui se terminent par 6 (1 choix pour [latex]x_n[/latex], 5 choix pour [latex]x_{n-1}[/latex] et R(n-2) choix pour les autres).

pour "On pose [latex]\alpha = ...[/latex] et alors [latex]R(n)=\lambda \alpha^n + \mu \beta^n[/latex]":
La relation R(n) = 5*R(n-1) + 5*R(n-2) donne ce qu'on appelle une suite récurrente linéaire d'ordre 2. On montre qu'une telle suite est de la forme [latex]R(n)=\lambda \alpha^n + \mu \beta^n[/latex] où [latex]\alpha[/latex] et [latex]\beta[/latex] sont les racines de l'équation [latex]X^2=5X+5[/latex]. On peut déterminer [latex]\lambda[/latex] et [latex]\mu[/latex] avec les valeurs des termes R(0) et R(1). En fait, on peut se dispenser de calculer ces valeurs.

Pour le calcul final : on peut le faire sans remplacer les lettres par leurs valeurs, mais juste en utilisant [latex]\alpha^2=5\alpha+5[/latex] (idem pour [latex]\beta[/latex]), [latex]\alpha\beta=-5[/latex], [latex]\alpha+\beta=5[/latex], [latex]\lambda+\mu=1[/latex], [latex]\lambda\alpha+\mu\beta=6[/latex].

 #59 - 12-04-2013 11:11:11

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

Combien de lancers de dé aavant de... ?

Pour l'énigme 2) on peut aussi utiliser
[TeX]\lambda=\frac{\beta-6}{\beta-\alpha}\ ,\quad\mu=\frac{\alpha-6}{\alpha-\beta}[/TeX]
Alors M se met sous le forme d'un quotient de 2 polynômes symétriques [latex]P(\alpha,\beta)[/latex] et [latex]Q(\alpha,\beta)[/latex]. Donc M s'écrit aussi comme quotient de 2 polynômes  [latex]A(\sigma_1,\sigma_2)[/latex] et
[TeX]B(\sigma_1,\sigma_2)[/latex] où
[latex]\sigma_1=\alpha+\beta=5\ ,\quad\sigma_2=\alpha\,\beta=-5[/TeX]
On en déduit que M=42.

Pour l'énigme 3), on procède de façon analogue ; on a des polynômes symétriques [latex]P(\alpha,\beta,\bar\beta)[/latex] et [latex]Q(\alpha,\beta,\bar\beta)[/latex] etc

 #60 - 12-04-2013 12:19:41

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Combien de lancers de dé aant de... ?

Je vais vous aiguiller sur une façon de voir plus intuitive qui permet de trouver assez facilement 42 pour n=2 et la formule pour n quelconque.

Le cas n=2 pour "65"
Avant de s'attaquer au cas "66", je vous propose d'abord de regarder ce qui se passe pour "65" et de comprendre pourquoi il faut 36 lancers en moyenne dans ce cas. Tout d'abord, je vous invite à relire le message 46 pour ceux qui ne l'ont pas en tête, car nous allons raisonner de façon assez analogue, même si je vais adopter une rédaction plus informelle.

Pour le cas "65", on lance le dé un certain nombre de fois, disons p fois, jusqu'à l'obtention d'un 6 suivi d'un 5. On va noter [latex]x_1, ..., x_p[/latex] les résultats des différents lancers, et donc [latex]x_{p-1}=6[/latex] et [latex]x_p=5[/latex]. Cette série de lancers définit une suite de p couples [latex](x_1; x_2), (x_2; x_3), ..., (x_{p-1}; x_p), (x_p; x_1)[/latex].

Parmi ces p couples, il y en a un seul qui vaut (6; 5). Or, la fréquence moyenne des couples (6; 5) doit être de 1/36 et donc on peut en déduire que le p moyen doit être de 36.

Ce qui est bien, c'est que ce raisonnement est intuitif, ce qui est moins bien, c'est qu'il peut paraitre assez peu rigoureux. Mais rassurez-vous, ça marche, l'on peut y mettre la rigueur dans une rédaction proche de celle du message 46.

Le cas n=2 pour "66"
Le raisonnement tenu pour "65" ne peut plus s'appliquer pour "66". Pourquoi ? Comment adapter le raisonnement du dessus pour trouver 42 ?

Le cas n quelconque pour une série "6...6"
Comment faire ?

Bonus : Les cas "665", "566", "656", "6565", "6656", etc... et le cas général pour une série quelconque

 #61 - 13-04-2013 11:03:36

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Combien de lancers de dé avant de.. ?

Bon ça inspire pas grand monde, alors voici une 4ème méthode :

On appelle [latex]E_n[/latex] le nombre moyen de lancers pour faire n "6".

On appelle [latex]F_n[/latex] le nombre moyen de lancers pour faire n "6" alors qu'on vient juste d'en faire n-1.

1) Exprimer [latex]E_n[/latex] en fonction de [latex]E_{n-1}[/latex] et [latex]F_n[/latex].

2) Exprimer [latex]F_n[/latex] en fonction de [latex]E_n[/latex].

3) En déduire une relation entre [latex]E_n[/latex] et [latex]E_{n-1}[/latex].

4) En déduire la valeur de [latex]E_n[/latex].

 #62 - 29-04-2013 23:28:37

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

combien de lancers de dé zvant de... ?

Avant que j'oublie :

1) Pour faire n "6", il faut d'abord en faire n-1, puis faire n "6" alors qu'on vient d'en faire n-1. Ce qui nous donne :
[TeX]E_n=E_{n-1}+F_n[/TeX]
2) Lorsqu'on vient de faire n-1 "6", et qu'on lance le dé suivant : on a une probabilité de 1/6 de finir au coup suivant, et une probabilité de 5/6 de devoir tout recommencer depuis le début. Ce qui donne :
[TeX]F_n=1 + \frac{5}{6}E_n[/TeX]
3) De 1) et 2), on déduit que [latex]E_n = 6E_{n-1}+6[/latex]

4) [latex]E_0=0[/latex] donc [latex]E_1=6[/latex], [latex]E_2=42[/latex], [latex]E_3=258[/latex]...

On retrouve aisément les réponses données par Masab.

Et l'on prouve ainsi la conjecture émise par certains :
[TeX]E_n = 6 + 6^2 +...+ 6^n[/TeX]

 #63 - 08-06-2013 15:51:28

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
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Combein de lancers de dé avant de... ?

titoufred :"Par exemple, je te propose de lancer un dé autant de fois que tu veux, en payant 1€ à chaque fois que tu lances, et je te paye 40€ si tu fais deux 6 d'affilée, le jeu s'arrêtant alors. Tu joues ou pas ? Le jeu est-il équitable ?"

ok moi je joue.
tu dis un 66 tous les 42 lancers et un 666 tous les 248 lancers ça fait:
0.99   66  tous les 36 lancers.
Prépare ton porte monnaie!
Remarque: expliquer que 65 a plus de chance que 66 c'est expliquer qu'un dé qui ne sait pas ce qu'il vient de faire va défavoriser une face sans savoir laquelle.
Il est devin ton dé.

 #64 - 08-06-2013 16:17:57

gwen27
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Comiben de lancers de dé avant de... ?

Princeleroi, tu n'as pas lu le post de ksavier qui, à défaut d'être mathématique est intuitif... Chaque fois que tu ne fais pas un 6 (5 fois sur 6) tu dois au moins rejouer deux coups pour avoir 66 , alors que pour faire 65 chaque fois que tu fais un 6 , tu peux perdre une fois sur six en faisant un nouveau 6 mais ça te laisse l'espoir de gagner au coup suivant.

Tu raisonnes sur 2 coups : OK il y a une chance sur 36 . Mais dans les 35 autres cas ? (En particulier ceux ou un six sort au second coup)

lorsqu'on attend deux 6, on joue un certain nombre de fois. Dés que l'on obtient un 6, la tension monte, et le tirage suivant est décisif ! En effet, si on n'obtient pas un 6 alors tout recommence depuis le début et on attend de nouveau un  6.
En revanche, quand on attend un 6 et un 5 (dans  cet ordre), lorsqu'on obtient un 6, la tension monte aussi mais le moment est moins crucial ! En effet si on n'obtient pas le 5 alors tout n'est pas perdu! En effet, si on obtient un 6 on est encore dans une situation favorable.

 #65 - 08-06-2013 16:22:39

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
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Combien de lancers de dé avat de... ?

Chaque fois que tu ne fais pas un 6 (5 fois sur 6) tu dois au moins rejouer deux coups pour avoir 66 , alors que pour faire 65 chaque fois que tu fais un 6 , tu peux perdre une fois sur six en faisant un nouveau 6 mais ça te laisse l'espoir de gagner au coup suivant.



Moi je pensais que c'était une blague çà!
ça ne veut rien dire!



En revanche, quand on attend un 6 et un 5 (dans  cet ordre), lorsqu'on obtient un 6, la tension monte aussi mais le moment est moins crucial ! En effet si on n'obtient pas le 5 alors tout n'est pas perdu! En effet, si on obtient un 6 on est encore dans une situation favorable.

Le coup de la tension lollollollol

 #66 - 08-06-2013 16:52:00

SabanSuresh
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comnien de lancers de dé avant de... ?

Mais si ! : Si on doit faire 66 et qu'on arrive à avoir un six, on a seulement 1 chance sur 6 de réussir le jeu et d'être dans une situation favorable (la victoire dans ce cas), alors que si on doit faire 65 (dans cet ordre) et qu'on arrive à faire un 6, alors on a 2 chances sur 6 c'est à dire 1 chance sur 3 non pas de gagner mais d'être dans une situation favorable : si on a un 5 ou un 6. Si on a un 5, on gagne ; si on a un 6, on peut encore gagner en faisant un 5 au tour d'après.

On peut comparer faire un 66 avec faire "pile-pile" et faire 65 avec faire "pile-face". Dans le premier cas, a chaque fois que j'obtiens face (après avoir obtenu pile une fois), je dois jouer deux fois pour obtenir "pile-pile" alors que dans le deuxième cas, si j'obtiens pile une fois et qu'après je fais encore pile, si je fais face, je gagne en 3 coups contre 4 pour faire "pile-pile".

En terme de probabilités, faire "66" ou "65" sur deux coups est équiprobable → p=1/6*1/6=1/36. Mais sur 3 coups, p(66)=5/216+1/36=11/216 (166, 266, 366, 466, 566, 66 et le jeu s'arrête) et p(65)=6/216+1/36=12/216=1/18 (165, 265, 365, 465, 565, 65 et le jeu s'arrête mais aussi 665). Après puis le nb de coups augmentent plus la probabilité de faire "65" augmente par rapport à faire "66".
Par exemple, pour 4 coups : p(66)=2/27 alors que p(65)=1/12.

Voilà mon raisonnement

 #67 - 08-06-2013 16:52:21

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Combien de lancers de dé avant de...

Résume à trois coups pour t'en convaincre :

Sur 216 coups, 6 sont gagnant au second coup et 6/210  au troisième pour obtenir 65.
Alors que pour 66, il n'y a que 5 coups/210  gagnants au troisième coup, le sixième étant exclus par la victoire au second coup.

66 et 65 ne sont pas équivalents même si effectivement, l'intuition dirait l'inverse ou, quitte à en favoriser un , tendrait à choisir le mauvais.
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-66.JPG

 #68 - 08-06-2013 16:57:30

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
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combien de lancets de dé avant de... ?

A 21 secondes près, on dit la même chose ...

 #69 - 08-06-2013 16:59:01

PRINCELEROI
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Combien de lancers de dé avant ed... ?

666 ça gagne pas au troisième coups?

Il y a 12 (65) et 12 (66).

 #70 - 08-06-2013 17:07:01

SabanSuresh
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Combien de lancers de dé avvant de... ?

Bah non, si on fait 666, on a déjà gagné au deuxième coup 66, pas besoin de faire un troisième. Et en fait, pour 65, il y a 6 chances sur 216 (165, 265, 365, 465, 565, 665) PLUS 1 chance sur 36 (65) alors que pour pour 66, il n'y a que 5 chances sur 216 (166, 266, 366, 466, 566) PLUS 1 chance sur 36 (66), comme je l'ai dit précédemment.

Donc, on a plus de chances de faire 65 que 66 même si sur deux coups, on ne s'en aperçoit pas.

 #71 - 08-06-2013 17:08:33

godisdead
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Combien de lancers de dé avan tde... ?

66, ça gagne au deuxième coup (et si tu veux au troisième coup), donc tu ne peux pas le compter deux fois !

C'est la même chose que si tu disais, la proba de faire au moins 1 six en lançant 2D  vaut 2 * 1/6

 #72 - 08-06-2013 17:10:49

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
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Combine de lancers de dé avant de... ?

Donne les règles du jeu.

 #73 - 08-06-2013 17:27:47

gwen27
Elite de Prise2Tete
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combien de lancers de dé zvant de... ?

Elles sont dans le premier message : on veut obtenir 66 pour la première fois.

2) En moyenne, combien de fois faut-il lancer un dé pour obtenir 2 fois 6 d'affilée ?

En gros , si tu cherche à avoir deux 6 d'affilée et moi un 6 puis un 5 , en jouant chacun notre tour, le premier qui y arrive gagne : Je gagnerai plus souvent que toi.

 #74 - 08-06-2013 17:37:32

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
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Combien de lancesr de dé avant de... ?

Ce que l'on cherche est:après un 6 le 5 est-il plus fréquent que le 6.
Ton tableau montre clairement que non.
Bien sûr le 666 compte pour deux fois.

 #75 - 08-06-2013 17:45:03

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
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Combien de lancer de dé avant de... ?

Le 666 ne compte pas pour deux fois : on fait 66, le jeu s'arrête car victoire. De un, 666 ne compte pas du tout, de deux c'est 66 qui est compté.

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