Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #126 - 07-03-2015 12:24:27

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1749

combien de lancers de dé zvant de... ?

Oui c'est ça nodgim.

Tu jettes un dé jusqu'à obtenir dans l'ordre la séquence 6 puis 6 puis 5. La question est de savoir combien de temps ça va prendre en moyenne.

#0 Pub

 #127 - 07-03-2015 17:19:38

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 561

Combien de lanccers de dé avant de... ?

Bonjour,

titoufred #124 a écrit:

1) Combien de lancers faut-il en moyenne pour voir apparaître "665" ?
2) Combien de lancers faut-il en moyenne pour voir apparaître "566" ?
3) Combien de lancers faut-il en moyenne pour voir apparaître "656" ?
4) Combien de lancers faut-il en moyenne pour voir apparaître une séquence quelconque dans le cas général ?

1) 216
2) 216
3) 222
4) Je ne sais pas

Détail du calcul pour le cas 2) :
Soit E(s) le nombre moyen de lancers pour aboutir si on vient d'obtenir la séquence s (s peut valoir ici 5, 56, ou 0 si on n'a rien).

Code:

E(0) = 1/6*(1+E(5)) + 5/6*(1+E(0)) = 1 + 1/6*E(5) + 5/6*E(0)
E(5) = 1/6*(1+E(56)) + 1/6*(1+E(5)) + 4/6*(1+E(0)) = 1 + 1/6*E(56) + 1/6*E(5) + 4/6*E(0)
E(56) = 1/6*(1+E(5)) + 1/6*(1) + 4/6*(1+E(0)) = 1 + 1/6*E(5) 4/6*E(0)

La résolution de ce système de 3 équations à 3 inconnues donne E(0) = 216

Les cas 1) et 3) se résolvent de la même manière.
J'ai fait des simulations qui confirment ces résultats.

cas 4) :

Le cas général est traité pour les séquences de "Pile ou Face" dans deux articles de la revue "Pour la Science", respectivement dans le n°38 de décembre 1980, et le n° 409 de novembre 2011.

Édité : Correction du n° de message de titoufred

 #128 - 07-03-2015 18:51:42

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1749

Combien de laners de dé avant de... ?

Ok très bien enigmatus pour les cas 1, 2, 3 !

Je ne connais pas ces articles de Pour La Science.

Quelle est donc la réponse pour le cas 4 ?

Par exemple pour la séquence "65465465", combien de lancers en moyenne ?

Et dans le cas général, comment calculer très rapidement le nombre moyen de lancers avant de voir apparaître une séquence quelconque ?

 #129 - 07-03-2015 19:24:07

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 561

combien de kancers de dé avant de... ?

@titoufred #128
Dans les articles dont je parle en #127, seul le cas de "Pile ou Face" est traité (équivalent du dé à 2 faces smile). Le calcul n'est pas simple, et il n'y a pas de démonstration.

Tout ça pour dire que je ne sais pas répondre à ta question. On pourrait tenter un calcul à la main, mais il y aura un système de 8 équations à 8 inconnues à résoudre.

 #130 - 07-03-2015 19:50:27

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1749

Combien de llancers de dé avant de... ?

Les différents cas des séquences à 3 chiffres devraient permettre de conjecturer la formule pour une séquence quelconque.

Il y a une façon de voir (parmi toutes celles évoquées dans ce fil) qui rend les choses simples.

 #131 - 07-03-2015 19:54:54

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3802

Combie nde lancers de dé avant de... ?

Je dirais que, à la louche, pour obtenir une séquence de k chiffres en base b, il faudra une suite de b^k chiffres pris au hasard, en négligeant les k premiers chiffres.

 #132 - 09-03-2015 14:50:08

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1749

Combien de lancers de dé avant de.... ?

Oui, nodgim, à la louche c'est ça. Mais sans la louche ? big_smile

 #133 - 09-03-2015 15:06:51

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 561

Combien de lancers de dé aavnt de... ?

titoufred #128 a écrit:

Par exemple pour la séquence "65465465", combien de lancers en moyenne ?

Sauf erreur : 1687428

 #134 - 09-03-2015 16:12:31

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3802

combien de lancrrs de dé avant de... ?

Sans la louche je sais pas. En particulier, j'ai pas encore pigé le 222 (au lieu du 216) lancers pour faire 656. La raison ?

 #135 - 09-03-2015 16:31:47

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 747

combien de kancers de dé avant de... ?

Je suis un peu étonné par le 216 du cas 1.
Pour le cas 2, d'accord pour 216, mais le cas 1 me semble plus difficile que le cas 2, non ?

Le 222 du cas 3 renvoi aux 42 coups nécessaires pour faire 66 alors qu'il suffit de 36 coups pour faire un 65.
Le simple fait que le dernier chiffre soit identique au premier rend le tirage plus difficile.

 #136 - 09-03-2015 18:24:05

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1749

Combien de lancers de dé avant de...

@enigmatus : oui, bravo ! Saurais-tu conjecturer une formule pour le cas général ?

@nodgim : regarde ce qui se passe quand tu réussis les 2 premiers chiffres de la séquence mais que tu foires le 3ème chiffre. Quelle différence y a-t-il entre "566" et "656". Cela te fera comprendre pourquoi "656" est plus long à venir.

@godisdead : Et pourtant, c'est bien 216. Le "66" va être plus long à venir que le "56" certes, mais il y a un phénomène qui va accélérer la fin de "665" par rapport à "566". Vois-tu lequel ? Cela se compense.

 #137 - 09-03-2015 18:36:42

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 561

Combien de lancesr de dé avant de... ?

titoufred #136 a écrit:

Saurais-tu conjecturer une formule pour le cas général ?

Non. Après avoir résolu le problème (presque) à la main, je me suis fait un petit script en python qui génère les équations linéaires et les résout.

 #138 - 09-03-2015 19:04:33

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 747

Combien de lancer sde dé avant de... ?

Non, je vois pas ce qui va accélérer l'un par rapport à l'autre.
Dans un cas, on cherche un 5 et en cas d'erreur sur un 6, on commencer déjà la séquence suivante alors que dans l'autre, on cherche un 6 et le 5 commence la séquence suivante.

 #139 - 10-03-2015 10:09:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3802

Combien de lances de dé avant de... ?

A Godisdead: je dois avoir le cerveau embrumé, je ne vois pas trop, justement, pour quelle raison 66 est plus long à obtenir que 65. Est ce si évident ?

 #140 - 10-03-2015 10:43:35

Palin01
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 70
Lieu: Lille

Combien de ancers de dé avant de... ?

Salut,
Je me permets de m'incruster pour tenter de répondre à nodgim et godisdead :

Nodgim : Je "donne" la réponse Spoiler : [Afficher le message] Suppose que tu veuilles obtenir 66 et  que tu tombes sur un 6. Si tu échoues au suivant tu tombes sur 1,2,3,4, ou 5 et tu ne pourras recommencer à avoir le début de ta séquence (le 6 donc) que dans le tour suivant. Maintenant suppose que tu veuilles obtenir 65 et que tu tombes sur un 6. Si tu échoues au suivant tu tombes sur 1,2,3,4 ou 6. Mais dans ce dernier cas le 6 est déjà le début de ta séquence : en gros tu "gagnes" un coup par rapport à 66.


Godisdead :

Dans un cas, on cherche un 5 et en cas d'erreur sur un 6, on commencer déjà la séquence suivante alors que dans l'autre, on cherche un 6 et le 5 commence la séquence suivante.u].

Dans le deuxième cas, le 5 commence la séquence oui , mais dans l'autre le 6 ne la commence pas exactement : Spoiler : [Afficher le message] écrit dans les deux cas la séquence que tu obtiens et compare avec le motif que tu veux. Tu devrais voir ce qui accélère le premier cas par rapport au deuxième. 

 #141 - 10-03-2015 10:56:27

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 747

combien de lancers de dé abant de... ?

Rooo, merci palin, (et merci titou), c'est bon, j'ai enfin compris smile

 #142 - 10-03-2015 11:34:59

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1749

combien de lancees de dé avant de... ?

(Pour les autres qui ne verraient pas pourquoi) :

Pour obtenir "665" : Une fois qu'on a "66", si l'on rate le "5", on peut tomber sur un "6", qui nous donne déjà le début "66". Il ne reste plus qu'à faire "5".

Alors que pour obtenir "566" : Une fois qu'on a "56", si l'on rate le "6", on ne peut tomber au mieux que sur un "5", ce qui nous donne juste le premier chiffre de la séquence à obtenir.

Bon, cela ne dit pas pourquoi en moyenne il faut 216 lancers pour ces 2 séquences. Regardez donc le #60 qui donne une façon de voir très simple pour le cas n=2. On peut appliquer un raisonnement analogue ici pour voir pourquoi ça fait 216 sur ces deux séquences.

 #143 - 10-03-2015 12:04:11

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3802

Combien de lancers de dé avaant de... ?

OK pour l'explication Palin, merci bien.

 #144 - 10-03-2015 12:39:00

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3802

Combin de lancers de dé avant de... ?

titoufred, j'essaie de comprendre ton message 61:

"On appelle En  le nombre moyen de lancers pour faire n "6".
On appelle Fn  le nombre moyen de lancers pour faire n "6" alors qu'on vient juste d'en faire n-1."

En, c'est n "6" consécutifs ?
Et Fn "..alors qu'on vient d'en faire juste n-1" au sens de n-1 "6" consécutifs ?

 #145 - 10-03-2015 19:21:15

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 561

Combien de lancers de dé avant ed... ?

J'ai trouvé la référence d'un des articles que j'ai cités en #127 : http://www.lifl.fr/~delahaye/pls/213.pdf

La méthode pour calculer l'attente moyenne avant l'apparition d'une séquence de "Pile ou Face" semble s'adapter au cas du dé (voir le Tableau 4, en dernière page de l'article).
Je ne sais évidemment pas le démontrer, mais les résultats concordent.

On compare la fin de la chaîne avec son début

Code:

65465465
65465465       concordance,        on ajoute 1 => 1

65465465
 65465465      pas de concordance, on ajoute 0 => 10

65465465
  65465465     pas de concordance, on ajoute 0 => 100

65465465
   65465465    concordance,        on ajoute 1 => 1001

65465465
    65465465   pas de concordance, on ajoute 0 => 10010

65465465
     65465465  pas de concordance, on ajoute 0 => 100100

65465465
      65465465 concordance,        on ajoute 1 => 1001001

65465465
       65465465     pas de concordance, on ajoute 0 => 10010010

On obtient le nombre 10010010, que l'on considère en base 6 (le nombre de faces du dé), ce qui donne en décimal 281238. On multiplie ce résultat par 6 (toujours le nombre de faces), ce qui donne 1687428. C'est le résultat obtenu en #133 par une autre méthode.

J'ai vérifié la similitude des résultats sur de nombreuses séquences aléatoires.

Édité Simplification de la méthode
On part de zéro.
- s'il y a concordance, on ajoute 1 et on multiplie par 6
- s'il n'y a pas concordance, on multiplie simplement par 6
On a directement le résultat

 #146 - 10-03-2015 21:26:45

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1749

Combie nde lancers de dé avant de... ?

@nodgim : oui, c'est consécutifs.

@enigmatus : oui, c'est une jolie conjecture. Il reste à la démontrer !

 #147 - 12-03-2015 06:07:31

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 561

comvien de lancers de dé avant de... ?

J'ai simplifié la méthode dans mon message #145

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Si il y a 63 pommes et que vous en prenez 23, combien en avez-vous ?

Mots clés des moteurs de recherche

Mot clé (occurences)
Combien de lanc? (2) — X est le nombre de lancers necessaires (1) — Comment faire que 6 au lance de de (1) — Xx6xx66 (1) — D? (1) — Quelle sont le nombre de lancers? (1) — Comment faire 6 avec un des (1) — Comment faire un six au de (1) — Comment faire que des 6 en lancant un de (1) — Quel est la meilleur facon de lancer un de pour faire 6? (1) — Quel nombre de chance peut obtenir avec deux des (1) — Nombre de coups necessaires pour avoir un 6 (1) — Maniere de lancer un d? pour avoir 6 (1) — D? six faces (1) — Quel est le nombre de coup necessaire pour obtenir 6 en lancant le de (1) — Combien de des 6 faut il lancer pour avoir un 6 ? (1) — Faire que des 6 au de (1) — Combien faut il de lancer pour avoir un pile (1) — Esperance nombre lancers pour obtenir un six (1) — Comment lance 6 en un coup sur les des (1) — Combien de fois faut il lancer un de pour obtenir un 6 ou un 4 (1) — Avoir un 6 avec 2 lance (1) — On lance un de infiniment ; on note x le nombre de lancers necessaires pour obtenir le premier 6 et y le nombre de lancers necessaires apres l obtention du premier 6 pour obtenir le deuxieme 6 (1) — Combien de lancers avant d obtenir un 6 (1) — Combien de chance de faire un six sur deux des (1) — Nombre moyen de lancers pour obtenir un 6 (1) — En moyenne combien de lancer pour obtenir un 6 (1) — Combien de facon de lancer (1) — Esperance du nombre de coups (1) — Comment tout le temps faire un 6 avec un de (1) — Comment bien lancer un de et tomber sur le 6 (1) — Probabilites de faire 6 en lancant 6 des (1) — Comment faire des 6 avec des des (1) — 11 chance sur 36 de faire un 6 (1) — Combien de lancer de de faut il pour obtenir les 6 faces? (1) — Probabilite de faire 3 critique d affilee sur de 20 (1) — Comment faire des 6 avec un de (1) — Lancer un decombien de fois pour avoir une fois 6 (1) — Quel est le nombre moyen de lancers pour une partie (1) — Quel est lenombre de coups necessairepour obtenir 6 en lancant un de (1) — En lancant un de a 6 faces on obtient 2 est il vrai de dire qu on a moins de chanse d obtenir 2 qu un autre nombre au lancer suivant (1) — Probabilite lancers necessaire avant l apparition du 6 (1) — Au bout de combien de lancers le chiffre 5 apparait (1) — Nombre moyen de lancer pour obtenir 6 aux des (1) — Nombre de lancers necessaires pour obtenir tous les numeros d un de (1) — Que signifie l esperance dans 3 lancers de de pour obtenir 6 (1) — Nombre moyen de lancers pour obtenir 5 faces d affilee (1) — Probabilit?? d avoir 3 six d affil??e (1) — Nombre de lancers necessaire pour obtenir (1) — Enigme des lancers (1) — Comment faire 6 avec un de (1) —

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete