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 #126 - 07-03-2015 12:24:27

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Combien de lancers de dé avant e... ?

Oui c'est ça nodgim.

Tu jettes un dé jusqu'à obtenir dans l'ordre la séquence 6 puis 6 puis 5. La question est de savoir combien de temps ça va prendre en moyenne.

#0 Pub

 #127 - 07-03-2015 17:19:38

enigmatus
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Cobien de lancers de dé avant de... ?

Bonjour,

titoufred #124 a écrit:

1) Combien de lancers faut-il en moyenne pour voir apparaître "665" ?
2) Combien de lancers faut-il en moyenne pour voir apparaître "566" ?
3) Combien de lancers faut-il en moyenne pour voir apparaître "656" ?
4) Combien de lancers faut-il en moyenne pour voir apparaître une séquence quelconque dans le cas général ?

1) 216
2) 216
3) 222
4) Je ne sais pas

Détail du calcul pour le cas 2) :
Soit E(s) le nombre moyen de lancers pour aboutir si on vient d'obtenir la séquence s (s peut valoir ici 5, 56, ou 0 si on n'a rien).

Code:

E(0) = 1/6*(1+E(5)) + 5/6*(1+E(0)) = 1 + 1/6*E(5) + 5/6*E(0)
E(5) = 1/6*(1+E(56)) + 1/6*(1+E(5)) + 4/6*(1+E(0)) = 1 + 1/6*E(56) + 1/6*E(5) + 4/6*E(0)
E(56) = 1/6*(1+E(5)) + 1/6*(1) + 4/6*(1+E(0)) = 1 + 1/6*E(5) 4/6*E(0)

La résolution de ce système de 3 équations à 3 inconnues donne E(0) = 216

Les cas 1) et 3) se résolvent de la même manière.
J'ai fait des simulations qui confirment ces résultats.

cas 4) :

Le cas général est traité pour les séquences de "Pile ou Face" dans deux articles de la revue "Pour la Science", respectivement dans le n°38 de décembre 1980, et le n° 409 de novembre 2011.

Édité : Correction du n° de message de titoufred

 #128 - 07-03-2015 18:51:42

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Combien de lancers de dé avantt de... ?

Ok très bien enigmatus pour les cas 1, 2, 3 !

Je ne connais pas ces articles de Pour La Science.

Quelle est donc la réponse pour le cas 4 ?

Par exemple pour la séquence "65465465", combien de lancers en moyenne ?

Et dans le cas général, comment calculer très rapidement le nombre moyen de lancers avant de voir apparaître une séquence quelconque ?

 #129 - 07-03-2015 19:24:07

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Combien de lancerss de dé avant de... ?

@titoufred #128
Dans les articles dont je parle en #127, seul le cas de "Pile ou Face" est traité (équivalent du dé à 2 faces smile). Le calcul n'est pas simple, et il n'y a pas de démonstration.

Tout ça pour dire que je ne sais pas répondre à ta question. On pourrait tenter un calcul à la main, mais il y aura un système de 8 équations à 8 inconnues à résoudre.

 #130 - 07-03-2015 19:50:27

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Combien de lances de dé avant de... ?

Les différents cas des séquences à 3 chiffres devraient permettre de conjecturer la formule pour une séquence quelconque.

Il y a une façon de voir (parmi toutes celles évoquées dans ce fil) qui rend les choses simples.

 #131 - 07-03-2015 19:54:54

nodgim
Elite de Prise2Tete
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combien de lancers de fé avant de... ?

Je dirais que, à la louche, pour obtenir une séquence de k chiffres en base b, il faudra une suite de b^k chiffres pris au hasard, en négligeant les k premiers chiffres.

 #132 - 09-03-2015 14:50:08

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Combien de lancers d dé avant de... ?

Oui, nodgim, à la louche c'est ça. Mais sans la louche ? big_smile

 #133 - 09-03-2015 15:06:51

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Combien de lancers de dé avant ed... ?

titoufred #128 a écrit:

Par exemple pour la séquence "65465465", combien de lancers en moyenne ?

Sauf erreur : 1687428

 #134 - 09-03-2015 16:12:31

nodgim
Elite de Prise2Tete
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combien de lancers de dé abant de... ?

Sans la louche je sais pas. En particulier, j'ai pas encore pigé le 222 (au lieu du 216) lancers pour faire 656. La raison ?

 #135 - 09-03-2015 16:31:47

godisdead
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combien de lanvers de dé avant de... ?

Je suis un peu étonné par le 216 du cas 1.
Pour le cas 2, d'accord pour 216, mais le cas 1 me semble plus difficile que le cas 2, non ?

Le 222 du cas 3 renvoi aux 42 coups nécessaires pour faire 66 alors qu'il suffit de 36 coups pour faire un 65.
Le simple fait que le dernier chiffre soit identique au premier rend le tirage plus difficile.

 #136 - 09-03-2015 18:24:05

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
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combien de lancerq de dé avant de... ?

@enigmatus : oui, bravo ! Saurais-tu conjecturer une formule pour le cas général ?

@nodgim : regarde ce qui se passe quand tu réussis les 2 premiers chiffres de la séquence mais que tu foires le 3ème chiffre. Quelle différence y a-t-il entre "566" et "656". Cela te fera comprendre pourquoi "656" est plus long à venir.

@godisdead : Et pourtant, c'est bien 216. Le "66" va être plus long à venir que le "56" certes, mais il y a un phénomène qui va accélérer la fin de "665" par rapport à "566". Vois-tu lequel ? Cela se compense.

 #137 - 09-03-2015 18:36:42

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Combien de lancrs de dé avant de... ?

titoufred #136 a écrit:

Saurais-tu conjecturer une formule pour le cas général ?

Non. Après avoir résolu le problème (presque) à la main, je me suis fait un petit script en python qui génère les équations linéaires et les résout.

 #138 - 09-03-2015 19:04:33

godisdead
Expert de Prise2Tete
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Messages : 639

Combien d lancers de dé avant de... ?

Non, je vois pas ce qui va accélérer l'un par rapport à l'autre.
Dans un cas, on cherche un 5 et en cas d'erreur sur un 6, on commencer déjà la séquence suivante alors que dans l'autre, on cherche un 6 et le 5 commence la séquence suivante.

 #139 - 10-03-2015 10:09:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
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combien de lancers de dé zvant de... ?

A Godisdead: je dois avoir le cerveau embrumé, je ne vois pas trop, justement, pour quelle raison 66 est plus long à obtenir que 65. Est ce si évident ?

 #140 - 10-03-2015 10:43:35

Palin01
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Messages : 70
Lieu: Lille

Combien de lancers de dé avvant de... ?

Salut,
Je me permets de m'incruster pour tenter de répondre à nodgim et godisdead :

Nodgim : Je "donne" la réponse Spoiler : [Afficher le message] Suppose que tu veuilles obtenir 66 et  que tu tombes sur un 6. Si tu échoues au suivant tu tombes sur 1,2,3,4, ou 5 et tu ne pourras recommencer à avoir le début de ta séquence (le 6 donc) que dans le tour suivant. Maintenant suppose que tu veuilles obtenir 65 et que tu tombes sur un 6. Si tu échoues au suivant tu tombes sur 1,2,3,4 ou 6. Mais dans ce dernier cas le 6 est déjà le début de ta séquence : en gros tu "gagnes" un coup par rapport à 66.


Godisdead :

Dans un cas, on cherche un 5 et en cas d'erreur sur un 6, on commencer déjà la séquence suivante alors que dans l'autre, on cherche un 6 et le 5 commence la séquence suivante.u].

Dans le deuxième cas, le 5 commence la séquence oui , mais dans l'autre le 6 ne la commence pas exactement : Spoiler : [Afficher le message] écrit dans les deux cas la séquence que tu obtiens et compare avec le motif que tu veux. Tu devrais voir ce qui accélère le premier cas par rapport au deuxième. 

 #141 - 10-03-2015 10:56:27

godisdead
Expert de Prise2Tete
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Messages : 639

xombien de lancers de dé avant de... ?

Rooo, merci palin, (et merci titou), c'est bon, j'ai enfin compris smile

 #142 - 10-03-2015 11:34:59

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Cmobien de lancers de dé avant de... ?

(Pour les autres qui ne verraient pas pourquoi) :

Pour obtenir "665" : Une fois qu'on a "66", si l'on rate le "5", on peut tomber sur un "6", qui nous donne déjà le début "66". Il ne reste plus qu'à faire "5".

Alors que pour obtenir "566" : Une fois qu'on a "56", si l'on rate le "6", on ne peut tomber au mieux que sur un "5", ce qui nous donne juste le premier chiffre de la séquence à obtenir.

Bon, cela ne dit pas pourquoi en moyenne il faut 216 lancers pour ces 2 séquences. Regardez donc le #60 qui donne une façon de voir très simple pour le cas n=2. On peut appliquer un raisonnement analogue ici pour voir pourquoi ça fait 216 sur ces deux séquences.

 #143 - 10-03-2015 12:04:11

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Combien de lancers d dé avant de... ?

OK pour l'explication Palin, merci bien.

 #144 - 10-03-2015 12:39:00

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

Combien de lancers de dé avnt de... ?

titoufred, j'essaie de comprendre ton message 61:

"On appelle En  le nombre moyen de lancers pour faire n "6".
On appelle Fn  le nombre moyen de lancers pour faire n "6" alors qu'on vient juste d'en faire n-1."

En, c'est n "6" consécutifs ?
Et Fn "..alors qu'on vient d'en faire juste n-1" au sens de n-1 "6" consécutifs ?

 #145 - 10-03-2015 19:21:15

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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comboen de lancers de dé avant de... ?

J'ai trouvé la référence d'un des articles que j'ai cités en #127 : http://www.lifl.fr/~delahaye/pls/213.pdf

La méthode pour calculer l'attente moyenne avant l'apparition d'une séquence de "Pile ou Face" semble s'adapter au cas du dé (voir le Tableau 4, en dernière page de l'article).
Je ne sais évidemment pas le démontrer, mais les résultats concordent.

On compare la fin de la chaîne avec son début

Code:

65465465
65465465       concordance,        on ajoute 1 => 1

65465465
 65465465      pas de concordance, on ajoute 0 => 10

65465465
  65465465     pas de concordance, on ajoute 0 => 100

65465465
   65465465    concordance,        on ajoute 1 => 1001

65465465
    65465465   pas de concordance, on ajoute 0 => 10010

65465465
     65465465  pas de concordance, on ajoute 0 => 100100

65465465
      65465465 concordance,        on ajoute 1 => 1001001

65465465
       65465465     pas de concordance, on ajoute 0 => 10010010

On obtient le nombre 10010010, que l'on considère en base 6 (le nombre de faces du dé), ce qui donne en décimal 281238. On multiplie ce résultat par 6 (toujours le nombre de faces), ce qui donne 1687428. C'est le résultat obtenu en #133 par une autre méthode.

J'ai vérifié la similitude des résultats sur de nombreuses séquences aléatoires.

Édité Simplification de la méthode
On part de zéro.
- s'il y a concordance, on ajoute 1 et on multiplie par 6
- s'il n'y a pas concordance, on multiplie simplement par 6
On a directement le résultat

 #146 - 10-03-2015 21:26:45

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
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Combien de lancesr de dé avant de... ?

@nodgim : oui, c'est consécutifs.

@enigmatus : oui, c'est une jolie conjecture. Il reste à la démontrer !

 #147 - 12-03-2015 06:07:31

enigmatus
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Combien de lancers de dé avant de.... ?

J'ai simplifié la méthode dans mon message #145

 

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