Enigmes

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 #1 - 09-10-2010 17:07:52

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Matéhmatiques pour les nuls 6 (dif 3-4/5)

J'ai eu toute les peines du monde à trouver le résultat mais j'y suis arrivé et je viens donc vous proposer une énigme d'algèbre, mais ayant pour base un peu de géométrie. smile


Soit un cercle [latex]\Gamma[/latex] de centre O, de diamètre AB et de rayon 1:
Soit h un point appartenant au segment AB.
La droite ([latex]\Delta[/latex])  perpandiculaire à AB et passant par h coupe le cercle en deux point M et N.
On appelle x la distance Oh.
Pour quelle valeure de x, l'aire du triangle AMN est-elle maximale?

J'ajouterai un indice si je vois que vous avez du mal. smile
Bonne prise de tête!!!


                                                                                                     Shadock smile



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 #2 - 09-10-2010 18:27:44

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

matgématiques pour les nuls 6 (dif 3-4/5)

soit x la distance de O à h, négative vers A

L'aire du triangle AMN est
[TeX]A=d(A,h)sin(arcos(x))=(1+x)\sqrt{1-x^2}[/TeX]
l'aire est maximale quand la dérivée est nulle
[TeX]\frac{dA}{dx}=sqrt{1-x^2}-\frac{x(1+x)}{sqrt(1-x^2)}=0[/TeX]
[TeX]\frac{dA}{dx}=0 \Leftrightarrow x=1/2[/TeX]
l'aire du triangle est maximale quand x=1/2 et mesure [latex]\frac{3\sqrt3}{4}[/latex] unités² cool


The proof of the pudding is in the eating.

 #3 - 09-10-2010 18:28:58

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Mathématiques pour les nuls 6 (idf 3-4/5)

Je triche un peu smile

Il est connu que le plus grand triangle qu'on peut inscrire dans un cercle est le triangle équilatéral donc x=1/2 .

Vasimolo

 #4 - 09-10-2010 18:34:57

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

Mathématiques pour les nuls 6 dif 3-4/5)

C'est pour AMN équilatéral, c'est-à-dire Oh=0,5.
Je pense que le problème est plus facile avec pour variable l'angle (OA,OM). La fonction aire passe par un maximum pour 2pi/3 (120°).


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #5 - 09-10-2010 18:52:52

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

Mathématiques pou les nuls 6 (dif 3-4/5)

Je préfère résoudre le problème en introduisant
[TeX]\alpha=\widehat{BOM}[/TeX]
Il suffit de varier cet angle entre 0 et pi pour décrire toutes les possibilités.
L'aire du triangle AMN est alors
[TeX]\mathcal A=\sin\alpha(1+\cos\alpha)[/TeX]
L'aire est maximale quand sa dérivée est nulle. Ce qui nous conduit à résoudre cette équation:
[TeX]2X^2+X-1=0[/latex], avec [latex]X=\cos\alpha[/TeX]
La solution qui nous intéresse est [latex]X=1/2[/latex].
L'aire est donc maximale quand h est entre O et B et quand
[TeX]x=\left|{X}\right|=1/2[/TeX]

 #6 - 10-10-2010 00:12:02

gelule
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 778

mathématiques pour lrs nuls 6 (dif 3-4/5)

de manière intuitive je dirai: cos45°

oups.. j'ai confondu A et O, et j'ai pas le temps de calculer....

 #7 - 10-10-2010 09:46:36

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

Mathématiques puor les nuls 6 (dif 3-4/5)

avec [latex]x=\cos\theta[/latex], l'aire du triangle est   [latex](1+\cos\theta)\sin\theta[/latex]

que je derive [latex]-\sin^2\theta+(1+\cos\theta)\cos\theta=\cos^2\theta-1+\cos\theta+\cos^2\theta=2x^2+x-1=0[/latex]

qui donne
[TeX]x=\frac{-1\pm3}{4}=-1,1/2[/TeX]
j'en deduis que l'aire est maximale en 1/2. c'est le triangle equilateral.

et sinon l'aire vaut exactement [latex](x+1)\sqrt{1-x^2}[/latex]  que l'on peut aussi deriver en
[TeX]\sqrt{1-x^2}+(x+1)\frac12\frac{-2x}{\sqrt{1-x^2}}[/TeX]
qu'on multiplie par [latex]\sqrt{x^2-1}[/latex] (x=1,-1 n'etant certainement pas solution):

[latex](1-x^2)+(x+1)\frac12(-2x)=-2x^2-x+1[/latex]    qui ressemble pas mal au truc au dessus...

 #8 - 10-10-2010 12:45:31

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
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Mathématiques pour les nusl 6 (dif 3-4/5)

L'aire du triangle est (x+1)*sqrt(1-x^2)
L'aire est maximale ou minimale quand la dérivée de cette fonction est nulle.
La dérivée est (-2x^2+x+3)/(2*sqrt(1-x^2))
si x=1 ou -1, le denominateur est 0, donc ce sont des cas impossibles.
Donc pour -2x^2+x+3=0
qui a 2 solutions: -1 et 3/2. -1 étant impossible, on a 3/2 comme solution unique.

Cependant, 3/2 nous donne une solution en dehors du cercle....
Une tentative avec OpenOffice Calc me donne 0.5 comme solution.

Intuitivement, il est logique de penser que la solution maximale existe pour un triangle equilateral. donc pour x=0.5

Je ne sais pas ou j'ai une erreur.... Donc je vais attendre les resultats.


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 #9 - 10-10-2010 17:35:24

Khyros
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 18

mathématiques pour les nuls 6 (sif 3-4/5)

C'est pas une question d'analyse plutôt que d'algèbre ?
Logiquement le x est entre O et B pour sa valeur maximale.
On va dire que A est à droite et B à gauche.
Comme on est sur le cercle trigo, on associe un angle "a" entre Pi/2 et Pi aux valeurs de x tel que cos(a) = -x donc cos²(a) = x²

La base [NM] du triangle mesure 2*sin(a)
La hauteur [hA] mesure  x + 1/2
On note A(x) l'aire en fonction de x du triangle.
A(x) = Base*Hauteur/2 = (x+1/2)*sin(a) = (x+1/2)*racine(1-x²)

Là on dérive et on voit qu'on a un maximum quand -2x² -x/2 +1 s'annule, donc pour une valeur de x de ( -1 + racine( 33 ) ) / 8 si je ne m'abuse, ce qui donne un truc pas si loin de 5/8ème.

Dis moi si j'me plante ^^

 #10 - 10-10-2010 18:28:41

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

mathématiques pour les nyls 6 (dif 3-4/5)

Déjà un bravo à franck9525 / Vasimolo(qui aurait pu faire un petit effort! tongue) / scrablor / luthin / McFlambi. Pour dhrm77 tu t'es trompé sur l'aire du triangle wink et pour Khyros l'aire de ton triangle est juste mais tu n'as pas le bon résultat vérifie tes calculs tu y es presque smile.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #11 - 10-10-2010 21:22:26

Khyros
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 18

Mathématiques pouur les nuls 6 (dif 3-4/5)

C'est corrigé à priori, à moins d'une autre erreur.

 #12 - 11-10-2010 10:26:28

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

mathématiques pour leq nuls 6 (dif 3-4/5)

Merci pour ce petit exercice me rappelant ma jeunesse. smile
Dans tous les cas, on conjecture que l'aire maximale sera atteinte pour le triangle équilatéral. Montrons le.

J'appelle [latex]\theta[/latex] l'angle [latex]\hat{BOM}[/latex].

On a [latex]x=cos\theta, MH=sin\theta[/latex].
J'appelle [latex]A(\theta)[/latex] l'aire du triangle en fonction de [latex]\theta[/latex]. On a: [latex]A(\theta)=(1+cos\theta)sin\theta=sin\theta+cos\theta.sin\theta=sin\theta+\dfrac12sin\theta[/latex]
Ensuite, comme d'habitude, on dérive et on annule pour trouver les extrema:
[TeX]A'(\theta)=cos\theta+cos2\theta[/TeX]
[TeX]A'(\theta)=0 \Leftrightarrow cos2\theta=-cos\theta[/TeX]
Les solutions sont:
[TeX]2\theta \equiv \theta+\pi [2\pi] \Leftrightarrow \theta \equiv \pi [2\pi] [/latex] qui nous donne le minimum de [latex]A(\theta)[/TeX]
OU:
[TeX]2\theta \equiv \pi-\theta [2\pi] \Leftrightarrow \theta \equiv \dfrac\pi3 [2\pi] [/latex] qui nous donne le maximum de [latex]A(\theta)[/TeX][TeX]\hat{MOB}=\dfrac{\pi}3 \Rightarrow \hat{MAB}=\dfrac{\pi}6[/latex] (angle au centre) et donc [latex]\hat{MAN}=\dfrac{\pi}3[/latex], la figure étant symétrique par rapport à AB, MAN est bien équilatéral.

Et finalement sa surface est: [latex]A=sin(\dfrac\pi3)+\dfrac12sin(\dfrac{2\pi}3)=\dfrac{3\sqrt3}4[/TeX]
PS: Je ne suis pas sûr que ça soit de l'Algèbre et en géométrie pure (pas analytique je veux dire), les points sont toujours désignés par des majuscules (H, pas h) smile

 #13 - 13-10-2010 09:37:31

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Haute-Marne

mathématiques pour les buls 6 (dif 3-4/5)

Sympa ce p'tit problème !

Soit a l'angle MOB :
http://www.prise2tete.fr/upload/LeSingeMalicieux-Pour_les_nuls.PNG

On cherche x = cos a

L'aire A du triangle AMN est :
A  =  (1/2 + cos a) * 2.sin a

On dérive cette fonction :
cos a + 2.cos² a - 2.sin² a
=  cos a + 2.(cos² a - sin² a)
=  cos a + 2.(1 - 2sin² a)
=  cos a + 2 - 4.sin² a
=  3 - 5.sin² a

Puis on cherche pour quelle valeur de a la dérivée est nulle :
3 - 5.sin² a  =  0
5.sin² a  =  3
sin² a  =  3/5
sin a  =  √(3/5)
a  =  arcsin( √(3/5) )

Ainsi, on en déduit x :
x  =  cos ( arcsin √(3/5) )

Ce qui nous donne une aire maximale de AMN pour x ≈ 0,63246
(soit un angle a ≈ 50,77°)


Remarque après coup :
Je viens de voir qu'en faisant mon dessin, sans connaître la réponse, j'ai placé h à un pixel près de sa position optimale ! Quel feeling big_smile
(en considérant bien sûr que je ne me sois pas gourré...)


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #14 - 13-10-2010 10:21:54

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 330

Mathématiques pour les nuls 6 d(if 3-4/5)

l'aire du triangle est [latex](\frac{1}{2}+x)\sqrt(\frac{1}{4}-x^2)[/latex]
la dérivée s'annule en 1/4 et est positive avant et négative apres
L'aire atteint donc son max pour x= 1/4 soit [latex]\frac{3 \sqrt{3}}{16}[/latex]

 #15 - 13-10-2010 14:29:03

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

mathématiques pour mes nuls 6 (dif 3-4/5)

On pose OH = x. L'aire du triangle AMN est base*hauteur = AH * MN+/2
Comme MHO est rectangle en H, que OH = x et que OM = 1, on a MH = racine (1-x^2)
Comme MH = HN et H sur [MN], MN = 2*racine(1-x^2)
Ensuite, on a deux cas.
1) H sur [OB] => AH = AO + OH = 1+x
Dans ce cas, l'aire vaut (1+x).racine(1-x^2).
Sa dérivée est racine(1-x^2)-(1+x)x/racine(1-x^2)
qu'on peut aussi écrire racine(1-x^2) [ 1+x/(x-1)]
On voit que la dérivée est positive si x < 1/2, donc l'aire admet un maximum en 1/2, qui vaut 3.racine(3)/4

2) H sur [OA] => AH  = OA-OH = 1-x

Dans ce cas, l'aire vaut (1-x).racine(1-x^2).
Sa dérivée est -racine(1-x^2)-(1-x)x/racine(1-x^2)
qu'on peut aussi écrire -racine(1-x^2) [1+x/(1+x)]
On voit que la dérivée est positive si x < -1/2, donc l'aire décroissante pour x compris entre 0 et 1, le maximum local est donc atteint en x=0 et l'aire vaut alors 1

Conclusion: le bon cas est le cas 1, H se situe au milieu de [OB] et l'aire vaut 3racine(3)/4

 #16 - 13-10-2010 16:21:57

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1744

Mathématiques pour les nuls 6 (if 3-4/5)

Bonjour

L'aire du triangle AMN est égale à Ah * MN/2

Ah = AO+Oh = 1+x
Oh² + (MN/2)²  = 1 soit MN/2 = sqrt (1-x²)


L'aire du triangle AMN est donc est [latex](1+x) * sqrt(1-x^2)[/latex]

On dérive cette expression ....(fonction, domaine de validité x<>1 ...)
[TeX]sqrt(1-x^2)+ [-2x/2sqrt(1-x^2)] (1+x)[/TeX]
elle s'annule pour x vérifiant 1-x²-x-x² = 0
soit 2x²+x-1 = 0  qui a deux racines x=-1 et x=1/2

le cas x=-1 n'est pas rigolo ...

x=1/2 est plus intéressant dans ce cas l'aire maximale vaut [latex]3sqrt3 / 4 [/latex]

Merci pour cette énigme, si j'ai le temps je remettrai une petite couche de rigueur dans la dérivation et la recherche des extrêmes ...


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #17 - 14-10-2010 21:35:40

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
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Messages : 562

Mathémtiques pour les nuls 6 (dif 3-4/5)

x: angle (Oh, OM).
Aire du triangle: sin(x)*cos(x) = sin(2x)/2

Dérivée: cos(2x)/2

Dérivée nulle et aire maximale: x=pi/4

Aire maximale: 1/2.

 #18 - 17-10-2010 12:37:44

shadock
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3313

Mathématiques pour les nus 6 (dif 3-4/5)

Bravo à tous ceux qui on trouvé la bonne réponse! smile Et merci d'y avoir participé
x=1/2 quand je pense que j'ai fais 6 pages de calculs roll
                                              Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #19 - 17-10-2010 13:08:10

Yannek
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Messages : 60

Mathématiques ppour les nuls 6 (dif 3-4/5)

Il me semble que si la bonne réponse est [latex]x=\frac 12[/latex], la majorité des raisonnements sont incorrects. On ne peut exprimer l'aire de AMN en fonction de x, car à chaque [latex]x\neq 0[/latex] correpond deux points H possibles et distincts définissant deux triangles d'aires différentes.
Si l'on définit X comme l'abscisse de H dans un un repère orthonormé direct [latex] (O,\vec\imath,\vec\jmath)[/latex] avec [latex]\vec\imath=\vec{OB}[/latex], le raisonnement de Franck9525 fonctionne en remplaçant x par X (à condition de préciser les variations de A en fonction de x).
On conclue en disant que X=|x| donc un demi : lorsque l'aire est maximale, x vaut 0,5. (Mais la réciproque est fausse).

 #20 - 17-10-2010 16:47:32

LeSingeMalicieux
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Mathématiques pou les nuls 6 (dif 3-4/5)

Et moi il me semble que je suis un boulet. Je ne sais même plus calculer l'aire d'un triangle sans écrire n'importe quoi... hmm


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #21 - 17-10-2010 16:51:02

Promath-
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mathématiqued pour les nuls 6 (dif 3-4/5)

a*b
___
2
ca te dit rien?


Un promath- actif dans un forum actif

 #22 - 17-10-2010 16:58:55

franck9525
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Mahématiques pour les nuls 6 (dif 3-4/5)

@Promath: tu n'as peur de rien lol avant de la ramener tentes au moins d'avoir un début de réponse, la barre du ridicule a une nouvelle fois été pulvérisée...


The proof of the pudding is in the eating.

 #23 - 17-10-2010 17:22:23

dhrm77
L'exilé
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Mathmatiques pour les nuls 6 (dif 3-4/5)

Intuitivement il était évident que l'aire maximale était pour un triangle équilatéral. Cependant quand j'ai éssayé de faire les calculs par la dérivée (voir mon message plus haut), je trouve un point O en dehors du cercle.
Est-ce que quelqu'un peut me dire ou je me suis trompé?
Merci d'avance.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #24 - 17-10-2010 18:14:33

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

mathématiqyes pour les nuls 6 (dif 3-4/5)

Promath- a écrit:

a*b
___
2
ca te dit rien?

C'est surtout la barre de la prétention et de la petitesse qui viennent d'être pulvérisées...
LeSinge sait des milliers de choses que tu ne sais pas, il sait résoudre des milliers de codages auxquels tu ne comprendras rien, et il te met la pâtée en orthographe (ce qui n'est pas extraordinairement difficile, certes). Un peu de respect, STP. Je veux bien qu'à 13 ans on se prenne pour un super-héros, mais il y a des limites.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #25 - 17-10-2010 18:16:33

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Mathématiques pour les nuls 6 (dif 3-4/5))

C'est la première fois que je plussois! smile


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