Sauf erreur, il me semble que ton dessin est improbable.
En terme d'aire, BFG = CFG et  AGE = DEG

donc  ABFE = DEFC donc O doit être logiquement sur  EF sinon, dans le cas de ton dessin :
vert + rouge > bleu + jaune.

O est donc en toute logique au croisement de IH et EF et on ne devrait pouvoir le décaler que si deux des côtés sont parallèles, non ?

J'ai une petite idée.. au feeling..
Si on joint les 4 sommets 2 a 2, on trouve un point d'intersection A.
Si on joint les 4 centres 2 a 2, on trouve un point d'intersection B.
Je suppose que le point a trouver C est symmetriquement opposé a A par rapport a B.

J'essayerais de poser les équations et de voir si ca marche...

A plus.

C'est un peu compliqué à répondre sans dessin.
Si ce pt existe et qu'on joint les 4 sommets à cet pt, alors on déduit que les 4 triangles formés doivent être de même surface 2 à 2 (les non-adjacents).
Pour construire ce point, il faut alors chercher, pour chaque couple de 2 cotés opposés, la droite dont chaque point est à distance proportionnellement uniforme de ces 2 cotés (cette droite passe par l'intersection des prolongements des 2 cotés). Construire cette droite est un peu long à expliquer, mais je sais le faire, ce n'est pas bien compliqué: elle est bien sûr plus proche du grand coté, pour que le rapport de distance aux 2 cotés soit exactement l'inverse du rapport de la longueur des cotés (pour l'égalité de surface).
Le pt à chercher est donc l'intersection de ces 2 droites et il est unique.
Je n'ai pas trouvé de configuration où on ne puisse pas le tracer (dans un quadrilatère convexe, chaque droite coupe forcément les cotés opposés).

Le quadrilatère reliant les 4 milieux est, par construction, un parallélogramme. On le prouve facilement avec Thalès, ses côtés sont parallèles aux diagonales du quadrilatère quelconque et de longueur moitié moindre.

Donc, par proportion, le point doit se situer sur les deux lignes vertes, parallèles aux diagonales et à égale distance des deux sommets opposés.


Le point défini est donc unique.  Est-il toujours possible de le construire ? Je pense.

Bien vu, c'était pas facile à trouver...

Au temps pour moi. J'avais lu un peu trop rapidement cette énigme, et ma réponse était complètement à coté de la plaque !
C'est pourquoi je l'ai carrément supprimée .
J'espérais proposer ma solution avant l'écoulement du temps, mais d'autres occupations en ont décidé autrement .
Voici quand même ma démonstration. Dans ce qui suit, le symbole [...] signifie "aire du polygone".

Soient le point E l'intersection des segments AB et CD, F celle de AD et BC, et O le point recherché.

Puisque [AGOJ] = [DJOI) et, J étant milieu de AD, [AOJ] = [DJO],
    alors leurs diférences :   [AGO] = [DOI] et donc : [ABO] = [CDO]

Les hauteurs de ces triangles sont donc inversement proportionnelles à leur base et la demi-droite EO est donc le lieu des points situés à des distances des segments AB et DC dans le rapport DC/AB.

De la même manière, la demi-droite FO est le lieu des points situés à des distances des segments AD et BC dans le rapport BC/AD.

Le point O, intersection de ces 2 demi-droites est donc unique.

J'ai eu la même démarche que Jack, le dessin en moins...