Enigmes

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 #1 - 13-06-2012 23:04:09

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteauu 53

Bonsoir à tous smile

On parle beaucoup de découpes sur le forum en ce moment ce qui me rappelle un problème que m'avait proposé mon pâtissier il y a quelques années .

A l'époque on se voyait toutes les semaines avec nos épouses ( les enfants n'étaient pas encore là smile ) et le dessert était toujours l'occasion d'un défi . Lors d'un de nos premiers dîners il m'avait particulièrement bluffé en me demandant d'apporter un gâteau à 4 côtés ( quadrilatère convexe ) et de marquer soigneusement le milieu de chaque côté . Il avait alors fait quelques signes énigmatiques au dessus du gâteau avant de repérer un point et de le joindre aux milieux afin de faire quatre parts égales ( de même surface ) .

http://img811.imageshack.us/img811/244/gteau53.jpg

Je suis toujours demandé comment il avait fait et si le choix de son point "central" était unique .

Ne cherchez pas trop compliqué et surtout amusez-vous bien smile

Vasimolo

PS : Aurais-je pu le surprendre en lui proposant un gâteau pour lequel un tel partage aurait été impossible ?



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 #2 - 14-06-2012 00:25:31

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3306

gâtezu 53

Certainement une histoire de barycentres ! Reste à comprendre comment le faire de tête.

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 14-06-2012 19:46:01

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

Gteau 53

Sauf erreur, il me semble que ton dessin est improbable.
En terme d'aire, BFG = CFG et  AGE = DEG

donc  ABFE = DEFC donc O doit être logiquement sur  EF sinon, dans le cas de ton dessin :
vert + rouge > bleu + jaune.

O est donc en toute logique au croisement de IH et EF et on ne devrait pouvoir le décaler que si deux des côtés sont parallèles, non ?
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-gateau53.jpg

 #4 - 14-06-2012 22:49:03

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâyeau 53

Au vu des premières réponses je précise ( c'est le cas de la majorité des gâteaux ) que la réponse est de niveau collège .

Donc un peu d'astuce et pas de grosse Bertha lol

Vasimolo

 #5 - 15-06-2012 12:02:40

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2988
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

âGteau 53

J'ai une petite idée.. au feeling..
Si on joint les 4 sommets 2 a 2, on trouve un point d'intersection A.
Si on joint les 4 centres 2 a 2, on trouve un point d'intersection B.
Je suppose que le point a trouver C est symmetriquement opposé a A par rapport a B.

J'essayerais de poser les équations et de voir si ca marche...

A plus.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #6 - 15-06-2012 12:02:42

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Gâteau 5

Le point central est le symétrique de l'intersection des deux diagonales par rapport au centre de gravité du gâteau (intersection des médianes).

PS Je ne vois pas comment le partage pourrait être impossible avec un gâteau convexe.

 #7 - 15-06-2012 18:55:08

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

gâtezu 53

C'est un peu compliqué à répondre sans dessin.
Si ce pt existe et qu'on joint les 4 sommets à cet pt, alors on déduit que les 4 triangles formés doivent être de même surface 2 à 2 (les non-adjacents).
Pour construire ce point, il faut alors chercher, pour chaque couple de 2 cotés opposés, la droite dont chaque point est à distance proportionnellement uniforme de ces 2 cotés (cette droite passe par l'intersection des prolongements des 2 cotés). Construire cette droite est un peu long à expliquer, mais je sais le faire, ce n'est pas bien compliqué: elle est bien sûr plus proche du grand coté, pour que le rapport de distance aux 2 cotés soit exactement l'inverse du rapport de la longueur des cotés (pour l'égalité de surface).
Le pt à chercher est donc l'intersection de ces 2 droites et il est unique.
Je n'ai pas trouvé de configuration où on ne puisse pas le tracer (dans un quadrilatère convexe, chaque droite coupe forcément les cotés opposés).

 #8 - 15-06-2012 20:09:30

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâyeau 53

Un petit résumé :

Jack :Spoiler : [Afficher le message]  je ne suis pas sûr qu'on travaille sur le même problème smile
Gwen :Spoiler : [Afficher le message]  je ne pense pas que les points E , F et G soient alignés .
Dan et Halloduda :Spoiler : [Afficher le message]  vous avez eu la même idée ( qui n'est pas très loin de la mienne ) .
Nodgim : Spoiler : [Afficher le message] On doit pouvoir faire plus simple smile

Pas de réponse complète pour le moment et je ne donne pas d'indice car , comme le montrent vos réponses , les approches sont multiples .

Vasimolo

 #9 - 16-06-2012 08:57:59

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

Gâteau 5

Le quadrilatère reliant les 4 milieux est, par construction, un parallélogramme. On le prouve facilement avec Thalès, ses côtés sont parallèles aux diagonales du quadrilatère quelconque et de longueur moitié moindre.

Donc, par proportion, le point doit se situer sur les deux lignes vertes, parallèles aux diagonales et à égale distance des deux sommets opposés.

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-gateau53bis.jpg
Le point défini est donc unique.  Est-il toujours possible de le construire ? Je pense.

 #10 - 16-06-2012 13:02:20

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gââteau 53

Bravo Gwen smile

Il est clair que ta construction donne le point quelle que soit la forme du gâteau .

J'ai une approche légèrement différente mais qui utilise pratiquement les mêmes arguments .

Vasimolo

 #11 - 17-06-2012 09:46:50

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâteeau 53

Bien vu, c'était pas facile à trouver...

 #12 - 17-06-2012 11:16:40

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâreau 53

Voilà comment j'avais fait :
http://img4.imageshack.us/img4/6489/solutiong.jpg

On trace les parallèles aux diagonales passant par les sommets du gâteau . Il reste à remarquer que l'aire de la partie centrale vaut 2(a+b+c+d) et c'est fini .

Le point de départ de la coupe n'est rien d'autre que le centre du grand parallélogramme .

Merci à tous pour la participation et bravo à Gwen pour sa jolie solution smile

Vasimolo

 #13 - 17-06-2012 11:28:24

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Gâteau 5

Au temps pour moi. J'avais lu un peu trop rapidement cette énigme, et ma réponse était complètement à coté de la plaque sad !
C'est pourquoi je l'ai carrément supprimée hmm .
J'espérais proposer ma solution avant l'écoulement du temps, mais d'autres occupations en ont décidé autrement sad .
Voici quand même ma démonstration. Dans ce qui suit, le symbole [...] signifie "aire du polygone".
http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Quadrilatere.png
Soient le point E l'intersection des segments AB et CD, F celle de AD et BC, et O le point recherché.

Puisque [AGOJ] = [DJOI) et, J étant milieu de AD, [AOJ] = [DJO],
    alors leurs diférences :   [AGO] = [DOI] et donc : [ABO] = [CDO]

Les hauteurs de ces triangles sont donc inversement proportionnelles à leur base et la demi-droite EO est donc le lieu des points situés à des distances des segments AB et DC dans le rapport DC/AB.

De la même manière, la demi-droite FO est le lieu des points situés à des distances des segments AD et BC dans le rapport BC/AD.

Le point O, intersection de ces 2 demi-droites est donc unique.

 #14 - 17-06-2012 13:06:20

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

gâteai 53

Très joli gâteau, qui fut insécable en ce qui me concerne wink
La solution est magnifique!

 #15 - 17-06-2012 17:49:49

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâeau 53

J'ai eu la même démarche que Jack, le dessin en moins...

 #16 - 17-06-2012 18:11:13

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

âGteau 53

Jackv a écrit:

Au temps pour moi. J'avais lu un peu trop rapidement cette énigme, et ma réponse était complètement à coté de la plaque sad ...

A mon tour j'avais lu trop vite ta réponse qui est tout à fait correcte smile

C'est marrant de voir le nombre d'approches différentes pour ce petit problème .

Vasimolo

 

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