80% = 4/5

Pour dépasser ou égaler ce taux, on augmente le numérateur en même temps que le dénominateur.
n/d < 4/5
(n+1)/(d+1) >= 4/5

Après simplification au maximum, l'écart entre le dénominateur et le numérateur est de 1.

Donc oui, on est obligé de passer par 80% exactement.

(... et non, je ne sais pas le démontrer, les maths c'est pas ma tasse de thé)

On passera forcément par 80% vu qu'au moment où on passe cette barre, il y a plus de 4 fois plus de pile que de face. Donc, en passant par tous les entiers,  il y en avait exactement 4 fois plus au coup précédent.

De la même manière, pour tous les partages menant à des multiples entiers, on tombera sur 20% 25% 50% 75% ...

C'est plus évident avec à imaginer avec 50% : entre le moment où il y a moins de piles que de face et celui où il y en a plus, il y a forcément un moment où il y en a autant.

Beaucoup d'affirmations non justifiées

On a par exemple $\frac{3}{17}<\frac{20}{100}<\frac{4}{18}$

On peut donc passer de moins de 20% à plus de 20% sans passer par 20%

Bien sur on peut remplacer 80% par d'autres fractions mais par n'importe laquelle quand même .

Pas de réponse complète pour le moment alors avis aux amateurs .

Vasimolo

Je ne comprends pas ce qui manque. Soit i et n deux entiers naturels quelconques tels que l'on soit en dessous de 0.8

i:nombre de piles
n:nombre de coups

Alors, à chaque pile, i et n incrémentent de 1 en même temps. Pour passer au dessus de 0.8, on a nécessairement à un moment donné k piles consécutifs. Par conséquent la proportion Pj suit à partir de ce moment la formule (i+j)/(n+j).

On sait qu'il existe toujours un entier k tel que (i+k)/(n+k) = 0.8 (avec les hypothèses déjà expliquées sur i et n). Il est unique car Pj est strictement croissante.

Comme Pj est croissante et que sa limite vaut 1, elle passe nécessairement par 0.8 et ce, exactement quand j=k

Bien vu Titou

Après on peut essayer de généraliser .

Vasimolo

Ma démo fonctionne pourtant pour 80% il me semble, non ? Et cette méthode fonctionne d'ailleurs pour plusieurs fractions > 50%...

Je reprends en essayant d'être plus clair et plus complet :

Sont sortis p piles et f faces.
Proportion de pile : p/(p+f)
si p/(p+f)<0.8 alors p<0.8p+0.8f => 0.2p<0.8f donc p<4f
hypothèse : 1 pile sort et je franchi la barre de 80% sans m'y arrêter, alors :
(p+1)/(p+f+1)>0.8 c'est à dire p+1>0.8p+0.8f+0.8 => 0.2p+0.2>0.8f donc p+1>4f

Finalement j'ai : p<4f<p+1, ce qui est impossible si p f est un nombre entier !

L'hypothèse de départ est fausse et je suis donc bien obligé de passer par 80%...

*******************************
Je pourrai faire la même démo pour 2/3 comme je le proposais :
Sont sortis p piles et f faces.
Proportion de pile : p/(p+f)
si p/(p+f)<2/3 alors 3p<2p+2f donc p<2f
hypothèse : 1 pile sort et je franchi la barre de 2/3 sans m'y arrêter, alors :
(p+1)/(p+f+1)>2/3 c'est à dire 3p+3>2p+2f+2 donc p+1>2f

Finalement j'ai : p<2f<p+1, ce qui est impossible si p f est un nombre entier !

*********************************

Pour 20% (1/5) ma méthode fonctionne toujours puisque qu'elle ne démontre pas quelque chose de faux :
Sont sortis p piles et f faces.
Proportion de pile : p/(p+f)
si p/(p+f)<1/5 alors 5p<p+f donc 4p<f
hypothèse : 1 pile sort et je franchi la barre de 1/5 sans m'y arrêter, alors :
(p+1)/(p+f+1)>1/5 c'est à dire 5p+5>p+f+1 donc 4(p+1)>f

Finalement j'ai : 4p<f<4(p+1), ce qui est tout à fait possible cette fois !

C'est plutôt bluffant si on ne pense pas au complémentaire. ça se produira pour tous les ratios a/(a+1) car le complémentaire vaut alors 1/(a+1).
Par exemple, Pile cesse de sortir, le total s'incrémente d'une unité à la fois, à un moment donné, le total de lancés atteindra un multiple des Piles, le ratio de Pile deviendra 1/n.
Je dois dire que ça m'a bien surpris au début...

J'ai bien aimé cette énigme. Ca change un peu.
Curieusement la réponse est oui.

Supposons que juste avant de franchir la limite des 80% l'on ait fait N tirages dont P piles. On a donc $\dfrac{P}N<0,8$ et $\dfrac{P+1}{N+1} \ge 0,8$.

On regarde maintenant $\Delta(N)=\dfrac{P+1}{N+1}-\dfrac{P}N=\dfrac{N-P}{N(N+1)}$.
Pour éviter de franchir d'un coup la limite de 80% (arrondis en pourcentage entier), il faut que $\Delta(N) \le 0,005$.
$$\dfrac{P+1}{N+1} \ge 0,8 \Leftrightarrow P \ge 0,8(N+1)-1 \Leftrightarrow -P \le -0,8.N+0,2$$
$$\Leftrightarrow N-P \le \dfrac2{10}(N+1) \Leftrightarrow \Delta(N) \le \dfrac{2(N+1)}{10N(N+1)}=\dfrac2{10N}$$
Donc si on choisit N tel que $\dfrac2{10N}\le 0,005$ alors on est sûr que l'on passe par 80% (arrondi au pourcentage entier).

Donc pour $N \ge 40$ on est sûr de passer par 80%.

Ceci dit, je dois louper un truc car ça n'arrive pas en dessous à cause de l'écart entre
E(0,8N)/N et 80%...

Edit: Je n'avais pas bien compris la question. Je n'avais pas compris qu'on demandait si on tombait exactement sur 80% mais qu'on ne pouvait pas le franchir d'un bond assez grand pour l'éviter, en valeur entière.

Le résultat est valable pour toute fraction du type $\frac{n}{n+1}$ , 80% =4/5 était un leurre .

en effet $\frac{m}{n}<\frac{a}{a+1}\leq\frac{m+1}{n+1}$ entraîne que $m(a+1)<na\leq m(a+1)+1$ donc $\frac{a}{a+1}=\frac{m+1}{n+1}$ et c'est fini . Les mêmes inégalités fournissent facilement un contre-exemple quand la fraction n'est pas sous la forme voulue .

L'idée de l'énigme m'est venue en regardant un exercice de collège et je n'avais pas pensé à regarder ce qui se passe "à l'envers" pour les fractions du type 1/a . Peut-être quelques prolongements à suivre ...

Merci pour la participation et les nombreuses idées

Vasimolo

Mais pourquoi est-ce que tu imposes n=a+k ? Il n'y a aucune raison.

Petit cachottier, tu as supprimé ta démo foireuse !

Effectivement, la réciproque nécessite Bézout. Ce qui n'est pas si simple que ça. Au niveau des connaissances à avoir, on passe d'un niveau collège pour le sens direct à un niveau TS-Spé pour la réciproque...

En fait cette dernière démonstration était ma première . J'ai voulu faire un raccourci un peu foireux comme tu dis , je l'ai corrigé en même temps que tu répondais .

En choisissant $n=a+k$ il n'existe aucun $m$ vérifiant la double inégalité on ne récupère donc pas un contre-exemple

Vasimolo