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 #1 - 30-06-2013 12:53:12

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Propriété remarquable (Reformulation d el'énoncé)

Voici une énigme tirée d'un résultat très élégant :

Soit a, b et c trois nombres réels distincts deux à deux.
Trouvez trois nombres p, q, r exprimés en fonction de a, b et c tels que que l'on ait la propriété suivante :
[TeX](p+q+r)^2=p^2+q^2+r^2[/latex].

L'énoncé ci-dessus n'est pas très clair, et en lisant vos remarque je me suis aperçu
qu'il y avait une solution non trivial mais simple (mais qui par contre n'est pas très élégante smile ). Donc je vais reformuler l'énoncé (en essayant de définir plus précisément le concept de "solution élégante" lol) :

Trouver trois fonctions f, g et h (non trivial wink ) telles que quelque soit trois nombre réels a, b et c distincts deux à deux on ait :

[latex](f(a,b,c)+g(a,b,c)+h(a,b,c))^2 = f(a,b,c)^2+g(a,b,c)^2+h(a,b,c)^2[/TeX]
Une solution élégante est une solution où f g et h sont les mêmes fonctions à permutations des variables près.

Du coup je rajoute aussi un peu de temps.



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Il y a sûrement plus simple.
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 #2 - 30-06-2013 13:05:02

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Propriété remarquable (Refomrulation de l'énoncé)

Euh ... c pas (a+b+c)²=p²+q²+r² ???

 #3 - 30-06-2013 13:30:54

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Proprriété remarquable (Reformulation de l'énoncé)

Non, c'est bien (p+q+r)²=p²+q²+r², où p, q et r doivent-être exprimé en fonction de a, b et c.


Il y a sûrement plus simple.

 #4 - 30-06-2013 13:37:06

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

propriété remarquablz (reformulation de l'énoncé)

La solution est de la forme [latex]p=\frac{-qr}{q+r}[/latex] avec q et r quelconques.

 #5 - 30-06-2013 13:46:01

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

Propriété remarquable (Reformulation de l'énoncéé)

Euh, je ruse :
p=a-a
q=b-b
r=c-c
lol

 #6 - 30-06-2013 14:16:52

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Propriété remarquable (Reformulation de l'énoncé

Bon, d'accord je préçise que je voudrais une solution non trivial smile .
Et je rappelle que p, q et r doivent être exprimés en fonction de a, b, c, autrement dit j'attend  un truc du genre :

p= f(a,b,c) ; q= g(a,b,c) ; r= h(a,b,c), avec f,g et h des fonctions à déterminées avec une preuve (très élégante smile )  que Si p,q et r sont exprimés comme ci-dessus alors on a (p+q+r)²=p²+q²+r².

Il est vrai que le fait que ce soit seulement une condition suffisante, mais pas nécessaire, implique qu'il est possible qu'il existe des solutions différentes à laquelle je m'attends.


Il y a sûrement plus simple.

 #7 - 30-06-2013 15:25:17

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

Propriiété remarquable (Reformulation de l'énoncé)

C'est quoi a, b et c?

Parce que [latex](a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2[/latex] si [latex]2(ab+bc+ca)=0[/latex]... hmm


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #8 - 30-06-2013 15:43:40

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

propriéré remarquable (reformulation de l'énoncé)

@shadock : a, b et c sont trois nombres distincts deux à deux, c'est dans l'énoncé.
On ne veut pas que la relation soit vérifié par a , b, et c, mais à partir de ces trois nombre on veut construire trois autres nombres, disons p, q et r, qui eux vérifient la relation de l'énoncé, et donc qui vérifient effectivement la condition que tu as donné.


Il y a sûrement plus simple.

 #9 - 30-06-2013 15:57:06

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3771
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Propriété remarquable (Reformullation de l'énoncé)

Bonjour,

Soient trois nombres a, b et c (tels que a différent de -b). Si a=-b, alors on échange b et c.

Posons p=a, q=b et r=-ab/(a+b).
Alors (p+q+r)^2 = p^2 + q^2 + r^2

Ca répond à ta question, mais je doute que ce soit la réponse attendue.
Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #10 - 30-06-2013 16:09:56

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

Propriété remarquable (Reformulaion de l'énoncé)

Si je pose
[TeX]p=a+b[/TeX]
[TeX]q=b+c[/TeX]
[TeX]r=a+c[/TeX]
Il suffit que [latex]a²+b²+c²+3(ab+bc+ac)[/latex] soit différent de 0 et l'égalité est vérifiée.

Mais je peux trouver une infinité d'exemple qui collent avec l'énoncé. Je ne suis pas sûr de comprendre sad


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #11 - 30-06-2013 16:39:31

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Propriété remarquable ((Reformulation de l'énoncé)

@shadock : En fait il faut trouver trois nombres exprimés en fonction de a, b et c pour que ces trois nombres vérifient la relation de l'énoncé sans avoir à rajouter de conditions sur a, b et c autre que celle données dans l'énoncé.
Dans ton exemple, si tu calcul (p+q+r)² tu ne trouveras pas p²+q²+r².
(sauf si a,b et c vérifient la condition que tu donne, mais ça tu n'en sais rien, la seule chose que tu sais sur a,b et c c'est que ce sont des nombres distinct deux à deux).

Autrement dit il faut trouver p,q et r en fonction de a, b et c  tels que
(p+q+r)² = p²+q²+r² et ce quelques soit a, b et c vérifiant les hypothèses de l'énoncé.


Il y a sûrement plus simple.

 #12 - 30-06-2013 16:54:02

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2955

propriété remarquable (reformulation de l'énonxé)

On est dans quel ensemble s'il te plait ?
N,Z,R,Q ?

 #13 - 30-06-2013 17:04:47

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Propriété remarquable (Reormulation de l'énoncé)

@nodgim : ça y est j'ai modifié l'énoncé. On est dans R, c'est vrai que je ne l'avais pas précisé.


Il y a sûrement plus simple.

 #14 - 30-06-2013 19:23:19

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Propriété remarquable (Refomrulation de l'énoncé)

Il y a un problème dans ton énoncé cogito.

Tel quel, je n'ai pas à me préoccuper de a, b, c.

Il n'y a qu'à prendre [latex]p[/latex] et [latex]q[/latex] quelconques avec [latex] p+q \neq 0[/latex] et [latex]r=-\frac{pq}{p+q}[/latex]

 #15 - 01-07-2013 10:56:18

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Propriété remarquablee (Reformulation de l'énoncé)

Déjà, je vais résoudre l'équation (x+y+z)²=x²+y²+z².
[TeX](x+y+z)²=x²+y²+z²[/TeX]
[TeX](x+y+z)²-x²-y²z²=0[/TeX]
[TeX]x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz-x²-y²-z²=0[/TeX]
[TeX]2xy+2xz+2yz=0[/TeX]
[TeX]xy+xz+yz=0[/TeX]
[TeX](y+z)x+yz=0[/TeX]
Cas 1 : [latex]x=(-yz)/(y+z)[/latex] et [latex]y+z\neq0[/latex]. Donc y et z peuvent prendre toutes les valeurs possibles à condition que y+z ne soit pas égal à 0. Dans ce cas particulier, x vaudra toujours (-yz)/(y+z).

Cas 2 : x peut prendre toutes les valeurs possibles : alors [latex]yz=0[/latex] et [latex]y+z=0[/latex] et donc y=0 et z=0.

Et là, pour les fonctions, j'ai une question : est-ce que les fonctions doivent s'appliquer à tous les nombres réels a,b,c ou on peut faire des cas tels que a=0 ou b=0 ou c=0 ?

 #16 - 01-07-2013 12:11:38

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Propriété remarqubale (Reformulation de l'énoncé)

Ton problème pourrait s'énoncer ainsi :

Trouver une fonction [latex]f[/latex] non nulle définie sur [latex]\mathbb{R}^3[/latex] telle que
[TeX]\left(f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)\right)^2 = f(a,b,c)^2+f(b,c,a)^2+f(c,a,b)^2 [/TeX]

 #17 - 01-07-2013 21:20:03

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Propriété emarquable (Reformulation de l'énoncé)

@titoufred : oui, on pourrait dire ça comme ça, mais la formulation avec les fonctions peut induire aussi un peu en erreur dans le sens où l'on peut avoir par exemple
f(a,b,c) = a + b (c n'est pas utilisé) (cela répond aussi à la question de SabanSureh) .

Je trouve quand même la formulation avec p, q, et r un peu plus lisible.
En fait, ce que je n'arrive pas à faire comprendre c'est que :

L'énoncé N'est PAS : Donnez mois trois nombre p, q et r qui vérifie la relation (p+q+r)² = p² +q² +r².

L'énoncé N'est PAS non plus : Quelles relations doivent vérifié trois nombres p, q et r pour que  (p+q+r)² = p² +q² +r².

En fait voici une autre formulation peut-ếtre un peu plus préçise :
Je vous donne trois nombres a, b et c. La seule chose que vous savez sur ces trois nombres c'est qu'ils sont distinct deux à deux.
En utilisant les trois nombres a, b, c et les opérations élémentaires sur R,
donnez moi trois nouveaux nombres de manière à ce que si j'appelle ces trois nombres p, q et r alors la relation (p+q+r)² = p² +q² +r² est vérifié.

À titre d'exemple, plusieurs personnes ont remarqués que si on avait trois nombres j, k et l tel que  [latex]j+ k\neq 0[/latex] et [latex]l={{-ij}\over{j+k}[/latex] alors on avait la relation
[TeX](j+k+l)^2 = j^2 +k^2 +l^2 [/latex] alors une solution possible est :

[latex]p= a[/TeX]
[TeX]q= -b[/TeX]
[TeX]r= {{ab}\over{a-b}}[/TeX]
Mais ce n'est pas la solution que j'attends, (et ce n'est pas très élégant smile )
(et en plus elle n'utilise pas le nombre c).

Donc pour essayer d'orienter les recherches vers la solution attendu, je rajoute
la condition d' "élégance" (je sais c'est pas facile à définir lol )

Les deux mot qui me viennent pour définir l'élégance en mathématiques sont "symétrie" et "élémentaire" (attention élémentaire ne veux pas dire facile wink )

Bon voilà je ne sais pas trop quoi dire d'autres.
J'espère vous avoir éclairé sur l'énoncé.


Il y a sûrement plus simple.

 #18 - 01-07-2013 21:59:14

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2715
Lieu: Luxembourg

propriété remarquable (reformulation de m'énoncé)

p = a² - ab
q = b² - ab
r = ab

Ce système est élégant et ... répond à la question.
En effet: pq + pr + qr = 0 (que je ne détaille pas)
d'où: (p + q + r)² = p² + q² + r²

 #19 - 01-07-2013 22:19:12

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

propriété remarquable (reformulation de m'énoncé)

Oui ! Bravo Franky1103 ,même si ce n'est toujours pas la solution à laquelle je pense wink (tu n'utilise pas c).

Mais c'est exactement le genre de truc auquel je m'attend smile.


Il y a sûrement plus simple.

 #20 - 01-07-2013 23:45:17

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Propriété remarquable (Reformulatio nde l'énoncé)

La notion d'élégance est parfaitement subjective, et n'est pas liée à celle de simplicité (il suffit de regarder les magazines de mode...). Cela s'applique au maths.

L'énigme devient alors plus : "qu'est-ce que Cogito a dans la tête ?" plutôt que "résoudre cette équation"...

En prenant comme contrainte : a,b et c distincts 2 à 2 et jouent un rôle symétrique, j'ai essayé le plus simple : p=1/(a-b), q=1/(b-c) et r=1/(c-a). p,q et r vérifient pq+qr+rp=0 donc sont solutions de l'équation.

Est-ce élégant ?

 #21 - 02-07-2013 00:18:53

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Propriéé remarquable (Reformulation de l'énoncé)

Félicitation dylasse, c'est ce que j'avais dans la tête smile

Je suis d'accord, la notion d'élégance est subjective.
J'ai trouvé que c'était jolie, et j'ai essayé d'en faire une énigme.
Mais je n'ai pas réussi à exprimer clairement ce que j'attendais.
Donc j'ai rajouté certaines contraintes pour orienté les gens vers ce que
j'avais en tête. Je m'attendais un peu à ce qu'il y ait d'autres solutions.


Il y a sûrement plus simple.

 #22 - 02-07-2013 06:56:37

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2955

Propriété remarquablee (Reformulation de l'énoncé)

Une solution, qui n'est sûrement pas celle que tu attends:
si IaI désigne la valeur absolue de a:
p=ln(IaI.IbI)
q=ln(IcI/IbI)
r=-ln(IaI.IcI)

 #23 - 02-07-2013 10:45:07

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Propriété remarqable (Reformulation de l'énoncé)

Je crois que j'ai trouvé :
f(a,b,c)=p=-(a²+2ab+b²-c²)/(2(a+b))
g(a,b,c)=q=a+b+c
h(a,b,c)=r=a+b-c.

 #24 - 02-07-2013 21:36:42

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Propriété remarquable (Reforumlation de l'énoncé)

@nodgim : si a =[latex]e^1[/latex], [latex]b = e^2[/latex] et [latex]c = e^3[/latex]
alors p = 3 ; q = 1 ; r = -4 qui ne vérifient pas la relation. Pour ce que je demande, les opérations élémentaires suffisent.
@SabanSureh : Bravo, pour ta solution smile
Ce n'est pas celle à laquelle je pensais, (a,b et c ne jouent pas un rôle symétrique) . Mais maintenant que j'ai plus mûrement réfléchit au problème
je m'aperçoit que je ne peut pas vous demander de trouver forcément la solution
que j'avais en tête aux départ, dylasse à raison.


Il y a sûrement plus simple.

 #25 - 03-07-2013 10:45:26

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

propriété remarquable (reformulatuon de l'énoncé)

Voici le résultat que j'avais vu :

Soit [latex]a, b, c[/latex]  trois nombres distinct deux à deux.
Si on pose  [latex]p = {1\over{a-b}}[/latex]  ,  [latex] q = {1\over{b-c}}[/latex]  et  [latex]r = {1\over{c-a}}[/latex]  alors on a :
[TeX]{1\over p} + {1 \over q} + {1\over r} = 0[/TeX]
Si l'on réduit tout au même dénominateur nous obtenons :
[TeX]{{qr+pr+pq}\over{pqr}} = 0[/TeX]
c'est-à-dire que [latex]{qr+pr+pq} = 0[/latex]

et donc   [latex](p+q+r)^2=p^2+q^2+r^2[/latex]

Je pense que j'aurai dû posé l'énigme dans l'autre sens, c'est-à dire donné p, q et r, et demander quelle relation ils vérifient, j'ai hésité entre les deux versions.
L'énoncé au moins aurait été plus clair (mais je débute dans la création d'énigme big_smile , ce n'est pas évident, j'ai plutôt l'habitude d'essayer de les résoudre )

En tous cas merci à vous pour votre participation, et bravo à ceux qui ont trouvé des solutions (même si ce n'était pas celle-là tongue )


Il y a sûrement plus simple.
 

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