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 #1 - 13-12-2019 10:38:25

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 287

Les 3 booutiques de souvenirs .

Bonjour , 

Encore un petit problème dans un autre registre ; ce n'est pas si évident de construire des énigmes . Après j'en ai d'autres sous le coude si ça vous intéresse . Je raconte l'histoire :
Plusieurs cars de touristes s'apprêtent à quitter le village breton qu'ils viennent de visiter .
Une bonne partie des visiteurs rentrent dans les trois boutiques de souvenirs du village .Chaque boutique a sa spécialité ; par contre les commerçants se sont entendus sur un point , les cartes postales sont vendues le même prix : 20 centimes d'euro ; et pour cinq cartes achetées , 2 cartes supplémentaires sont offertes .
Dans la première boutique , les touristes qui y sont entrés ont acheté trois types d'articles locaux :  une ou plusieurs boites de chocolats à 13 euros pièce , une ou plusieurs boites de biscuits à 7 euros pièce et enfin des cartes postales .
​Dans la seconde boutique : une ou plusieurs bouteilles d'alcool local à 17 euros , une ou plusieurs bouteilles de vin à 11 euros la bouteille , mais aussi des cartes postales .
Dans la dernière boutique ont été vendus : au moins un superbe coffret couteaux à 23 euros , au moins une petite aquarelle à 19 euros et aussi des cartes postales .
(mais pas de crayon) .
De chacun de ces 3 magasins sont sortis exactement 100 articles ; chacun des 3 commerçants a encaissé 1000 euros .
Maintenant , à vos crayons !
Sachant qu'un des 3 commerçant a vendu autant de cartes postales que les deux autres réunis , il est demandé le détail de la vente de ces 3 boutiques . 

                                                              Bon courage .



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 #2 - 13-12-2019 12:09:24

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3058
Lieu: Luxembourg

mes 3 boutiques de souvenirs .

Il faut résoudre:
13.A1 +   7.B1 + 0,2.C1 = 1000, avec: A1 + B1 + C1 + 2.ent(C1/5) = 100
17.A2 + 11.B2 + 0,2.C2 = 1000, avec: A2 + B2 + C2 + 2.ent(C2/5) = 100
23.A3 + 19.B3 + 0,2.C3 = 1000, avec: A3 + B3 + C3 + 2.ent(C3/5) = 100
Et aussi avec: C3 = C1 + C2, puisque: C1 < C2 < C3
Bon, ça fait: 9 inconnues et 7 équations

Pour simplifier, on va supposer que les cartes sont vendues par paquets de 5,
avec: Ci = 5.Di
13.A1 +   7.B1 + D1 = 1000, avec: A1 + B1 + 7.D1 = 100
17.A2 + 11.B2 + D2 = 1000, avec: A2 + B2 + 7.D2 = 100
23.A3 + 19.B3 + D3 = 1000, avec: A3 + B3 + 7.D3 = 100

En triturant, on trouve:
3450 = 45.A1 + 24.B1 = 59.A2 + 38.B2 = 80.A3 + 66.B3

Pour le premier magasin, on a quatre valeurs possibles:
(A1;B1;D1) = (50;50;0) ou (58;35;1) ou (66;20;2) ou (74;5;3)
Pour le deuxième magasin, on a une seule valeur possible:
(A2;B2;D2) = (34;38;4)
Pour le troisième magasin, on a deux valeurs possibles:
(A3;B3;D3) = (6;45;7) ou (39;5;8)

La condition C3 = C1 + C2 (ou D3 = D1 + D2) va donner deux solutions finales:
soit (A1;B1;C1;A2;B2;C2;A3;B3;C3) = (58;35;5+2;34;38;20+8;39;5;40+16)
soit (A1;B1;C1;A2;B2;C2;A3;B3;C3) = (74;5;15+6;34;38;20+8;6;45;35+14)


Remarque: je suis parti du principe que les cartes offertes font partie des cartes vendues, puisqu'elles sont sorties des magasins

Edit: je me suis planté dans un calcul élémentaire: il n'y a qu'une solution

 #3 - 13-12-2019 14:37:25

elpafio
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 963

eLs 3 boutiques de souvenirs .

Bonjour smile


Première boutique :
74 boites de chocolats, 5 boites de biscuits, et 15 cartes postales plus 6 gratuites.

Deuxième boutique :
34 bouteilles d'alcool, 38 bouteilles de vin, et 20 cartes postales plus 8 gratuites.

Troisième boutique :
6 coffrets de couteaux, 45 aquarelles, et 35 cartes postales plus 14 gratuites.

http://www.prise2tete.fr/upload/elpafio-enaibave.jpeg
J'étais sûrement dans la première boutique big_smile

 #4 - 13-12-2019 17:28:46

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 287

Les 3 boutiues de souvenirs .

bonsoir ,

@elpafio : bravo !

@Franky : bravo pour ta seconde  solution . C'est la seule de toute façon .

 #5 - 13-12-2019 22:07:54

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 886

les 3 boutiques de souvrnirs .

Salut,

je trouve 11 solutions différentes. En voici deux.

Boutique 1
75 chocolats => 975 €
3 biscuits => 21 €
22 cartes => 4 € (1 paquet de 7 et 15 à 0,20€)

Boutique 2
43 alcools => 731 €
24 vins => 264 €
33 cartes => 5 € (4 paquets de 7 et 5 à 0,20€)

Boutique 3
34 coffrets => 782 €
11 aquarelles => 209 €
55 cartes => 9 € (5 paquets de 7 et 20 à 0,20€)

Mais aussi :

Boutique 1
74 chocolats => 962 €
5 biscuits => 35 €
21 cartes => 3 € (3 paquets de 7)

Boutique 2
43 alcools => 731 €
24 vins => 264 €
33 cartes => 5 € (4 paquets de 7 et 5 à 0,20€)

Boutique 3
29 coffrets => 667 €
17 aquarelles => 323 €
54 cartes => 10 € (2 paquets de 7 et 40 à 0,20€)

 #6 - 14-12-2019 08:46:42

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 287

Les 3 boutiques de sovenirs .

bonjour ,

Ebichu , tu achètes 5 cartes et tu ne refuses pas les 2 qui te sont offertes , non ?

Donc en toute logique , tu paies un multiple de 5 et tu sors un multiple de 7 .

Finalement j'aurais du préciser que les touristes étaient des rapetous .

Et ça se résout mathématiquement .

 #7 - 14-12-2019 08:56:15

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3773

les 3 boutiqurs de souvenirs .

Ce genre de problème est bien plus difficile à mettre au point qu'à résoudre, il me semble.

Une seule solution possible:

B1 : (13)*74 + (7)*5 + (0,2)*15 = 1000 et 74 + 5 + 21 = 100
B2 : (17)*34 + (11)*38 + (0,2)*20 = 1000 et 34 + 38 + 28 = 100
B3 : (23)*6 + (19)*45 + (0,2)*35 = 1000 et 6 + 45 + 49 = 100

 #8 - 14-12-2019 10:36:04

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 886

Les 3 boutiques de sovuenirs .

Ta solution suppose que tous les touristes achètent des paquets de 5+2 cartes. Mais il aurait pu y avoir des touristes qui n'achètent qu'une ou deux cartes, et qui n'ont donc pas de carte gratuite. Sans être rapetou, si les cartes sont moches, ça ne donne pas envie d'aller jusqu'à 5 wink

Avec cette précision supplémentaire, la seule solution possible est 74-5-21 34-38-28 6-45-49.

 #9 - 14-12-2019 18:00:22

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 287

Les 3 boutiques de souvenis .

Les pièces jaunes ont disparu ; Ou vont disparaître .

 #10 - 14-12-2019 18:37:14

nobodydy
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1494

les 3 boutiques dr souvenirs .

Salut
Sauf erreur, je propose


Magasin 1 :
74 boites de chocolats + 5 boîtes de Biscuits + 3*5cartes + 6 offertes

Magasin 2 :
34 bouteilles d'alcool + 38 bouteilles de vin + 4*5cartes +8 offertes

Magasin 3 :
6 coffrets + 45 aquarelles + 7*5 cartes + 14 offertes


Bonne soirée

 #11 - 15-12-2019 10:00:02

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 287

led 3 boutiques de souvenirs .

bonjour,

nodgim & nobodydy : c'est tout bon .

Pour les autres je vais compléter ; effectivement , celui qui crée une énigme n'a pas toujours la même perception que celui qui va chercher derrière .
Je clarifie donc : le commerçant comptabilise ses cartes postales vendues , et dès qu'il en compte 5 , il propose 2 cartes gratuites qui seront prises par d'autres clients si un des acheteurs n'en veut pas .
Pour faire simple , les cartes postales sont vendues 1/7 d'euros . Comme ça tout le monde sera d'accord . Et là , la pièce jaune 1/7 eu n'existant pas , la vente par lots de 7 devient forcée .
Le calcul se fait manuellement .

 #12 - 15-12-2019 21:31:03

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 392

Les 3 boutques de souvenirs .

Commençons par normaliser le problème:
Soit x1 le chiffre d'affaire sur les cartes du premier magasin (forcément entier). On définit x2 et x3 de la même manière.
notons a,b,c,d,e,f le nombre d'objets -1 non cartes vendus dans chaque magasin, dans l'ordre de citation.
D'après ce que je comprend des messages précédents, les clients se sont arrangés entre eux pour profiter un max des réductions, le nombre de cartes vendues dans chaque magasin sera donc 7x1, etc...
On a donc
98 = a+b+7x1
98 = c+d+7x2
98 = e+f+7x3
980 = 13a + 7b + x1
972 = 17c + 11d + x2
959 = 23e + 18f + x3

980 <= 13a+7b+x1 <= 13(a+b)+x1 = 13(98-7x1)
Donc 13*7x1 <= 13*98 - 980
Soit 91x1 <= 294
Soit x1 <= 3

De même, x2 <= 5 et x3 >= 7
C'est donc le 3ème marchand qui a vendu le plus de cartes.

On a 972 = 17c + 11d + x2 = 6c + 11(c+d) + x2 = 6c + 11(98 - 7x2) + x2
Donc 972 - 11(98 - 7x2) - x2 = 0[6]
Soit (2 - x2) - x2 = 0[6]
Soit 2x2 = 2[6]
ou encore x2 = 1 ou 4 [6]
Comme x2 <= 5, x2 = 1 ou 4
La seule solution est donc x1 = 3, x2 = 4 et x3 = 3+4 = 7

Après dénormalisation:
Le premier marchand a vendu 21 cartes postales, 5 boites de biscuit et 74 boites de chocolat
Le deuxième marchand a vendu 28 cartes postales, 38 bouteilles de vin et 34 d'alcool local
Le troisième marchand a vendu 49 cartes postales, 36 aquarelles et 15 coffrets à couteaux

 #13 - 16-12-2019 10:59:41

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 287

Less 3 boutiques de souvenirs .

bonjour,

@caduk , d'accord avec les cartes postales ; mais es - tu sûr de ton résultat concernant la troisième boutique qui  a vendu pour 1036 eu ?

 #14 - 16-12-2019 21:41:21

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 392

Les 3 boutiques de souveirs .

Purée, j'ai fait tout mes calculs en prenant 18€ pour l'aquarelle...
Le raisonnement reste exactement le même, on obtient 49 cartes postales, 45 aquarelles et 6 coffrets à couteaux...

 #15 - 17-12-2019 09:34:13

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 287

Les 3 bboutiques de souvenirs .

bonjour ,

@caduk , alors là , d'accord .

 #16 - 17-12-2019 18:56:14

TOUFAU
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 89

mes 3 boutiques de souvenirs .

Hello,
Donc si j’ai bien tout compris, les touristes achètent des lots de 7 cartes à 1€, chaque carte est un article.

Si Ai, Bi et Ci sont les articles des boutiques (Ci les cartes), on a
Ai+Bi+7Ci =100 (i)
nAi+mBi+Ci =1000 (ii) par exemple pour la première boutique, 13A1+7B1+C1=1000.

(i) donne Ci=14-Ki et Ai+Bi=7Ki+2, Ki entier entre 0 et 14.
(ii) donne Ai=[986-2m-(7m-1)Ki]/(n-m) et Bi=[(7n-1)Ki+2n-986)]/(n-m)

On obtient
A1=162-8K1 et B1=15K1-160. Impose K1 compris entre 11 et 14, et C1 entre 0 et 3
A2=160-12K2+(2-2K2)/3 et B2=19K2-158+(2K2-2)/3. Impose K2 entre 9 et 12, de la forme 3p+1. Donc K2=10. Et C2=4.
A3=237-33K3 et B3=40K3-235. Impose K3 = 6 ou 7, et C3=7 ou 8.

Nécessairement C3=C1+C2. Seule possibilité C1=3, C3=7. Le reste suit.
Boutique 1 : 74, 5 et 3 lots de cartes
Boutique 2 : 34, 38 et 4 lots
Boutique 3 : 6, 45 et 7 lots.

Les biscuits et les couteaux devaient être bien nazes.

 #17 - 17-12-2019 20:50:50

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 287

Les 3 butiques de souvenirs .

bonsoir ;

@Toufau , c'est Toubon !

 #18 - 19-12-2019 17:27:30

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 287

les 3 boutiquzs de souvenirs .

Bonjour ,

et merci pour vos réponses . Je poste donc ma résolution :

Avant tout , comme la pièce de 1/7 euro n'existe pas encore , on comprend que les cartes postales doivent être vendues par lot de 7 dont 2 offertes.

1)   Les deux premières équations sont les suivantes :
[TeX]x + y + z = 100[/TeX]
[TeX]7x + 13y + \frac{z}{7} = 1000  [/TeX]
[TeX]49x + 91y + z = 7000  =>  49x + 91y + 100 - x - y = 7000 [/TeX]
Soit : [latex]8x + 15y = 1150 [/latex].

On résout l'identité de Bézout suivante :
[TeX] 8x + 15y = 1  [/TeX]
  Recherchons une solution particulière .
15 = 8 + 7 = 2 x 8  -  1  =>  8 x 2  -  15 x 1  = 1 ;             
x = 2  & y = -1  sont solutions particulières immédiates ;
  et 8x + 15y  = 8 x (2) + 15 x (-1)
   8 . (2 - x)  =  15 . (1 + y)  .  8 & 15 sont premiers entre eux ;
donc 8 divise 1 + y  et  15 divise  2 - x  .
1 + y = 8k   et  2 - x = 15k   =>   x =  2 - 15k  &  y =  -1 + 8k  .  (1)
On résout l'équation  8x + 15y = 1150   .  8 x (2) + 15 x (-1) = 1  ;  on multiplie par 1150 .
8 x 2300  +  15 x (-1150)  =  1150    est une solution particulière .  avec x = 2300  &  y = -1150   .

Alors avec (1)  ,  x = 2300 - 15k   et  y = -1150 + 8k   .  On cherche deux entiers   0 <  x & y < 100   .

2300 / 15  = 153.333..   ;  k = 153 est la plus grande valeur utilisable .

si k = 153 :  x = 5  ,  y = 74   &  z = 21    =>  7 x 5 + 13 x 74  +  3  = 1000  est vérifié .
si k = 152 :  x = 20 , y = 66  &  z = 14
si k = 151 :  x = 35 , y = 58  &  z = 7
si k = 150 :  x = y = 50  &  z = 0 

Seules les 3 premières solutions sont à retenir puisque des cartes postales ont été vendues .
D'où les 3 triplets solutions  (x , y , z) : (5 , 74 , 21) ; (20 , 66 , 14) ; (35 , 58 , 7) .

2) Dans le second magasin :
11x   +  17y  + z/7 = 1000  .
On procède de la même façon et on est amené à résoudre : 38x + 59y = 3450  .
Résoudre l'équation [latex]38x + 59y = 1[/latex]  . On peut trouver une solution particulière .
A la louche ,  59 = 38 + 21  , 59 = 2 x 38 - 17  ,
je multiplie tout par 3 ;  3 x 59 = 6 x 38  - 51
3 x 59 = 6 x 38 - 38 - 13  = 5 x 38  - 13  ;  je multiplie tout par 3  ;
9 x 59  =  15 x 38 - 39  =  14 x 38 - 1
Soit  14 x 38  -  9 x 59  = 1   =>   (x ; y)  = (14 ; -9)  est une solution particulière .     
La solution finale pour cette équation est unique : (x = 38  , y = 34  & z = 28).

3) dans le troisième magasin :
19x + 23y + z/7 = 1000 .  On finit par résoudre 33x + 40y = 1725  .
On résout donc : [latex]33x + 40y = 1[/latex]
Il en résulte 2 triplets solutions : (5 ; 39 ; 56) & (45 ; 6 ; 49) .
D'après l'énoncé , puis dans ce cas :  Z3 = Z1 + Z2  .  La solution est unique :

( 5 ; 74 ; 21 ) pour le premier magasin .
( 38 ; 34 ; 28 ) pour le second .
( 45 ; 6 ; 49 ) pour le dernier puisque 49 = 28 + 21 . ( 56 est trop grand ) .

 

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