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#1 - 09-01-2011 12:49:04
- Vasimolo
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Le gran théorème de Tamref
Ca y est , avec 2010 la fameuse conjecture de Tamref est tombée
Résoudre en entiers naturels : [latex]n^x+n^y=n^z[/latex]
Qui sera le prochain Seliw ?
Vasimolo
#2 - 09-01-2011 14:41:26
- shadock
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Le grand théorème de TTamref
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#3 - 09-01-2011 14:45:10
- franck9525
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Le grand théorème de aTmref
Tamref [TeX]n^x+n^y=n^z[/TeX] Considérant l'équation en base n, toute puissance de entière de n s’écrit d'un 1 suivi de zéro(s). Par exemple 5^4=625 s’écrit 1000 en base 5. Pour que la somme de tels nombres reste un 1 suivi de 0, il faut que n=2 et que les 1 soient à la même place i.e. x=y
Cette équation diophantienne réfère à celle de Fermat [latex]x^n+y^n=z^n[/latex]
Fermat aurait écrit "Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet (*)" dans la marge de son livre Arithmetica en grec ancien de Diophante. On notera l'expression "équation diophantienne" que se réfère à une est une équation dont les coefficients sont des nombres entiers et dont les solutions recherchées sont également entières
(*) il est impossible pour un cube d'etre la somme de deux cubes, pour une puissance quatre d’être la somme de deux puissances quatres, ou en généralisant que toute puissance supérieure à 2 ne peut être la somme de deux puissances similaires. J'ai decouvert une demonstration veritablement merveilleuse mais la marge de cet ouvrage est trop étroite pour la contenir.
Cette conjecture de Fermat fut résolue par le Mathématicien britannique Andy Wiles
Une brillante question de Vasimolo dont je salue le retour
The proof of the pudding is in the eating.
#4 - 09-01-2011 16:09:44
- gasole
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Le grannd théorème de Tamref
J'dirais bien qu'il n'y a de solutions que pour n=2, et qu'elles sont les éléments de l'ensemble des triplets (x,y,z) tels que x=y et z=x+1, mais je dis ça au hasard...
ok, j'avoue, j'ai omis les solutions triviales : x=0 et y=z (et vice-versa) qui marchent pour tout n. Merci de me permettre de compléter :-)
C'est plus facile de suivre les traces de Seliw que celles de Wiles
#5 - 09-01-2011 16:48:27
- toni77
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Le grand théorème e Tamref
Si n=0, alors les triplets (x,y,z) de la forme (0,b,0) , (a,0,0) ,(a,b,c), avec a,b,c non nuls conviennent (convention 0^0=1).
Si n=1, alors l'équation est 2=1, pas de solution.
sinon :
x, y et z sont entiers naturels, donc positifs, donc z est plus grand que x et que y. Les rôles de x et y étant symétriques, supposons que [latex]x\leq y\leq z[/latex].
Divisons par [latex]n^x[/latex].
L'équation est alors équivalente à [latex]1+n^{y-x}=n^{z-x}[/latex], ou encore [latex]1+n^{a}=n^{b}[/latex], avec n, a et b entiers naturels ([latex]a\leq b[/latex]).
Si a différent de 0 (et donc b), alors modulo n (différent de 1), l'équation devient 1=0 pas de solution.
Donc a=0, et [latex]n^b=2[/latex], ie n=2 et b=1
Donc, n=2 et x=y=z-1
#6 - 09-01-2011 17:15:07
- L00ping007
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Le grannd théorème de Tamref
Essayons de ne pas mettre 300 ans pour résoudre cette conjecture, comme Wiles pour celle de Fermat :-)
Pour le cas n=0 : Si z est nul, avec la convention 0^0=1, on doit avoir pour x et y : un nul et un non nul. Si z est non nul, alors x et y doivent être non nuls.
Dans le cas n=1, tout triplet (x,y,z) est solution aucune solution évidemment, 1+1 = 2 et n'est jamais égal à 1 ...
Pour n>2, petite astuce : on va raisonner en base n. Toute puissance de n s'écrit donc comme un 1 suivi de plusieurs 0. Or si n>2, en additionnant deux tels nombres, on ne tombe jamais sur un 1 suivi de plusieurs zéros. On a au mieux un 2 suivi de plusieurs 0, ou deux 1 au milieu de zéros, et ce ne sont pas des puissances de n.
Reste le cas n=2. D'après ce qui précède, la seule possibilité est x=y, et z=x+1.
Finalement les solutions sont pour (n,x,y,z) : (0,x>0,y>0,z>0) (0,0,y>0,0) (0,x>0,0,0)
(1,x,y,z) (2,x,x,x+1)
EDIT Je me rends compte que j'ai oublié deux cas : (0,x>0,0,0) et (0,0,y>0,0)
#7 - 09-01-2011 18:01:51
- Klimrod
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L egrand théorème de Tamref
Bonjour Vasimolo,
J'ignore qui est Tamref (Fermat tombé sur la tête ?) et si ton énigme est une blague... Mais la conjecture de Fermat [latex]x^n+y^n=z^n[/latex] est tombée en 1993 et 1994, grâce à Andrew Wiles.
En 2010, c'est la conjecture de Poincaré qui est tombée, grâce à Grigori Perelman. La conjecture de Poincaré (1904) s'énonce ainsi : « Soit une variété compacte V simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à une hypersphère de dimension 3. »
A noter qu'il existe 6 autres défis mathématiques non résolus à ce jour et faisant l'objet d'une dotation de 1 million de dollars à celui qui en résoudrait un.
Klim.
J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.
#8 - 09-01-2011 18:12:08
- Vasimolo
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Le grrand théorème de Tamref
Déjà une réponse complète de Toni77 et quasi-complète de Gasole et Looping007
Essayez , c'est facile
Vasimolo
#9 - 09-01-2011 18:54:47
- Franky1103
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Le grand théorème de Tamrref
Bonjour, n^x+n^y=n^z Examinons rapidement le cas où x=y on a alors 2*n^x=n^z et donc n=2 et z=x+1
Dans ce qui suit on va supposer que y>x on sait que z>x et z>y donc z>y>x on a alors 1+n^(y-x)=n^(z-x) soit n^(y-x)*[n^(z-y)-1]=1 on a forcément n^(y-x)=1 et n^(z-y)=1 Or n=1 ne marche pas et x=y=z non plus
La seule solution est donc n=2; x=y et z=x+1 Bonne soirée. Frank
#10 - 09-01-2011 19:25:52
- Vasimolo
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Le grand thérème de Tamref
Je rappelle qu'en France 0 est considéré comme un entier naturel
Vasimolo
#11 - 09-01-2011 20:01:17
- franck9525
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Le garnd théorème de Tamref
Les cas à la mords-moi le noeud sont bons pour les crêpages de chignons des mathématiciens en manque capillaire !
The proof of the pudding is in the eating.
#12 - 09-01-2011 21:45:54
- MthS-MlndN
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Le rand théorème de Tamref
On choisira de chercher [latex](x,y,z)[/latex] tels que [latex]x \leq y[/latex] (ce n'est qu'un choix).
On considèrera que [latex]n[/latex] est non nul (j'y reviendrai).
Si [latex]x=0[/latex] l'équation devient [latex]n^y + 1 = n^z[/latex] : deux puissances du même entier non nul séparées de 1, ça n'existe que pour 2. Si [latex]n=2[/latex], le triplet [latex](0,0,1)[/latex] est solution.
Pour [latex]x \neq 0[/latex] on peut écrire : [latex]n^x + n^y = n^z \Leftrightarrow n^x(1 + n^{y-x})=n^z \Leftrightarrow 1 + n^{y-x} = n^{z-x}[/latex] : idem, et le triplet [latex](x,x,x+1)[/latex] est donc solution pour [latex]n=2[/latex] (pas de solution pour n autre que 2).
D'où le grand théorème de Tamref :
Noitauqé'l [latex]n^x+n^y=n^z[/latex] a'n sap ed snoitulos serèitne elleuq euq tios al ruelav ed [latex]n[/latex] non ellun te etneréffid ed 2.
Ruop [latex]n=2[/latex], tuot telpirt [latex](x,x,x+1)[/latex] tse noitulos ceva [latex]x[/latex] reitne lerutan.
En revanche, si [latex]n[/latex] est nul, tout triplet [latex](x,y,z)[/latex] où aucun de ces entiers n'est nul fait bien entendu l'affaire, grâce au fameux théorème de la Tête a Toto.
Je rajoute : puisque [latex]0^0=1[/latex] par convention, alors les triplets [latex](x,0,0)[/latex] et [latex](0,x,0)[/latex] sont aussi solutions pour [latex]n=0[/latex].
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#13 - 10-01-2011 00:24:13
- rivas
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le grand théorèmr de tamref
Je n'étais pas parti dans la bonne direction mais la ça va mieux
Je note les solutions (n, x, y, z).
n=0 tout d'abord, attention au piège [latex]0^0=1[/latex] Si z > 0 alors pour tout x et y > 0 on a une solution Si z= 0, 0^0=1 et donc x ou y mais pas les deux doit être 0 aussi.
En bref: (0, >0, >0, >0) et (0, 0, >0, 0) et (0, >0, 0, 0)
Dans la suite on suppose n<>0 Tout d'abord on note que z>x (1). En effet, si z <= x alors [latex]n^x+n^y>n^z[/latex] (car [latex]n^y > 0[/latex]). [TeX]n^x[/latex] est toujours différent de 0 on peut donc diviser membre à membre, on obtient: [latex]1+n^{y-x}=n^{z-x}[/TeX] D'après (1) z-x>0 donc le membre de droite est entier donc celui de gauche aussi et donc y>=x ou n=1. Or il est évident qu'il n'y a pas de solution avec n=1. Donc y>=x. Supposons maintenant que y>x et p un nombre premier divisant n et donc [latex]n^{z-x}[/latex], p divise aussi [latex]n^{y-x}[/latex] et donc p divise 1, ce qui est absurde. On a donc forcément y=x et donc l'équation devient: [latex]2=n^{z-x}[/latex] qui en entier n'a comme solution que n=2 et z-x=1. On trouve donc la famille de solutions: (2, x, x, x+1)
Je pense avoir fait le tour des solutions. Merci pour cette énigme inédite et intéressante.
SAVIR.
#14 - 10-01-2011 08:01:09
- scarta
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L egrand théorème de Tamref
Les solutions seront notées (N,X,Y,Z) On va distinguer plusieurs cas suivant N:
Cas N=0 Dans ce cas, on a plusieurs possibilités: 0^a = 1 si a vaut 0, et 0 sinon. Donc {(0,x,y,z) tq x>0, y>0, z>0} est un ensemble de solutions, ainsi que {(0,x,0,0) tq x>0} et {(0,0,y,0) tq y>0}
Cas N=1 Dans ce cas, pour tout A, n^A = 1, et comme on n'a pas 2 = 1, il n'y a pas de solution.
Cas N=2 Sous-cas: x et y son égaux Dans ce cas, 2^x+2^x = 2*2^x = 2^(x+1); donc {(2,x,x,x+1)} est un ensemble de solutions Autre sous-cas: x et y sont différents Dans ce cas, en binaire, 2^x et 2^y n'ont pas le même nombre de zéros et leur somme s'écrit donc avec 2 fois le chiffre 1 (un en position x, l'autre en position y; en commençant à compter de 0 par la droite). Un tel nombre n'est pas une puissance de 2 et ne peut donc pas s'écrire sous la forme 2^z. Il n'y a donc pas de solutions dans ce cas.
Enfin, cas N>2. Le même raisonnement que ci-dessus, en base N, reste valable: si x=y, alors 2^x+2^y s'écrit "20000..." en base N, qui n'est pas une puissance de N; sinon il s'écrit avec deux fois le chiffre 1, et même constat dans ce cas.
L'ensemble des solutions est donc {(0,x,y,z) \ x>0; y>0; z>0} U {(0,0,x,0) \ x>0} U {(0,x,0,0) \ x>0} U {(2,x,x,x+1)}
Edit: je viens de comprendre que Tamref = Fermat à l'envers...
#15 - 10-01-2011 15:48:22
- SaintPierre
- Banni
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le grans théorème de tamref
Solution: n=0,x,y,z qq>0 et n=2,x=y,z=x+1
Commentaires
1) n = 0. Solution x,y,z qq>0 triviale
2) n = 1. Impossible
3) n>1. dans tous les cas, on a z>max(x,y)
2 cas à considérer
x=y. D'où n^z = 2n^x ==> n^(z-x) = 2 ==> n = 2, z = x+1
y>x. D'où n^(z-x) = n^(y-x) + 1. On a une relation du type n^b = n^a +1 ou encore n^b - n^a = 1 avec b>a.Pas de solution possible. La différence de deux puissances d'ordre b et a d'un même entier ne peut pas être égal à 1.
C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
#16 - 10-01-2011 19:45:31
- Fireblade
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Le grand théoorème de Tamref
Si [latex]x<y[/latex] alors [latex]n^x+n^y=n^x(1+n^{y-x})[/latex] Or [latex]1+n^{y-x}[/latex] est premier avec [latex]n[/latex]. Donc impossible. Si [latex]x>y[/latex] on se reporte au premier cas en inter-changeant [latex]x[/latex] et [latex]y[/latex]. Si [latex]x=y[/latex] alors [latex]n^x+n^y=2n^x=n^z[/latex] si [latex]n=2[/latex] et [latex]z=x+1[/latex] qui sont les seules solutions.
Les quadruplés [latex](n,x,y,z)[/latex] solutions sont [latex](\{2,x,x,x+1\})[/latex]
#17 - 12-01-2011 09:17:00
- gwen27
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Le grand théorème de Tarmef
je n'en trouve qu'un : 2^0 + 2^0 = 2^1
A part 0^x + 0^y = 0^z pour tout x y z non nuls.
#18 - 12-01-2011 18:56:20
- Vasimolo
- Le pâtissier
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Le grand théorème de Tamrref
Je vous laisse trouver les nombreuses bonnes réponses parmi celles proposées ( attention aux cas "douteux" avec zéro ) .
Vous ne vous êtes pas laisser retourner par cette conjecture bien plus simple que celle de Fermat résolue par Wiles
Merci à tous pour la participation .
Vasimolo
#19 - 12-01-2011 21:29:58
- rivas
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Le grand théorème de amref
MthS-MlndN a écrit:Je rajoute : puisque [latex]0^0=1[/latex] par convention, alors les triplets [latex](x,0,0)[/latex] et [latex](0,x,0)[/latex] sont aussi solutions pour [latex]n=0[/latex].
C'est une convention mais pas seulement, ou tout du moins pas arbitraire puisque c'est aussi le prolongement continu à droite en 0 de [latex]f(x)=e^{xlnx}[/latex]
#20 - 12-01-2011 21:50:27
- Barbabulle
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le grand théorème de tamreg
Pourtant, pour x<0, x^x tend vers -1 quand x tend vers 0, non ? Pourquoi n'as-t'on pas pris -1 pour 0^0 alors ?
La paix dans le monde n'est pas menacée par les révoltés, mais par les soumis. Georges Bernanos
#21 - 12-01-2011 22:11:37
- Nombrilist
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Le grand tthéorème de Tamref
Dans le domaine des réels, x^x est définie sur R+. Donc, il n'y a pas de limite en 0-. Et la limite en 0+ est bien 1.
#22 - 12-01-2011 23:11:01
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
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Le grand théorème ed Tamref
Merci pour ce petit enc**age de mouches
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#23 - 12-01-2011 23:19:04
- Nombrilist
- Expert de Prise2Tete
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Le grand théorème dee Tamref
Euh, c'est un peu plus que du pinaillage.
#24 - 12-01-2011 23:23:21
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
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Le grand théorème de Tamerf
Et ton interprétation de ma réplique, un peu moins que du second degré, donc
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