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 #1 - 09-01-2011 12:49:04

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le grand théormèe de Tamref

Ca y est , avec 2010 la fameuse conjecture de Tamref est tombée smile

Résoudre en entiers naturels : [latex]n^x+n^y=n^z[/latex]

Qui sera le prochain Seliw ?

Vasimolo



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 #2 - 09-01-2011 14:41:26

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

lr grand théorème de tamref

Bon déjà pour commencer si [latex]n=1[/latex] alors il n'éxiste aucun couple d'entier naturel [latex](x,y,z)[/latex] tel que [latex]n^x+n^y=n^z[/latex] car si
[TeX]x=y=z=0[/latex] le plus entier naturel on aura : [latex]1^0+1^0=1^0 [/TeX]
[latex]2=1[/latex] c'est faux.

Bon je pense que je ne peux pas aller plus loin, je pense que les logarithmes et peut-être les modulos sont de rigeure pour résoudre cette horreur smile
Heureux d'avoir pu commencer un peu lol
Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 09-01-2011 14:45:10

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: UK

Le grannd théorème de Tamref

Tamref
[TeX]n^x+n^y=n^z[/TeX]
Considérant l'équation en base n, toute puissance de entière de n s’écrit d'un 1 suivi de zéro(s). Par exemple 5^4=625 s’écrit 1000 en base 5. Pour que la somme de tels nombres reste un 1 suivi de 0, il faut que n=2 et que les 1 soient  à la même place  i.e. x=y

Cette équation diophantienne réfère à celle de Fermat [latex]x^n+y^n=z^n[/latex]

Fermat aurait écrit "Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet (*)" dans la marge de son livre Arithmetica en grec ancien de Diophante. On notera l'expression "équation diophantienne" que se réfère à une est une équation dont les coefficients sont des nombres entiers et dont les solutions recherchées sont également entières

(*) il est impossible pour un cube d'etre la somme de deux cubes, pour une puissance quatre d’être la somme de deux puissances quatres, ou en généralisant que toute puissance supérieure à 2 ne peut être la somme de deux puissances similaires. J'ai decouvert une demonstration veritablement merveilleuse mais la marge de cet ouvrage est trop étroite pour la contenir.

Cette conjecture de Fermat fut résolue par le Mathématicien britannique Andy Wiles big_smile

Une brillante question de Vasimolo dont je salue le retour smile


The proof of the pudding is in the eating.

 #4 - 09-01-2011 16:09:44

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

le grand théorème de tamred

J'dirais bien qu'il n'y a de solutions que pour n=2, et qu'elles sont les éléments de l'ensemble des triplets (x,y,z) tels que x=y et z=x+1, mais je dis ça au hasard...

ok, j'avoue, j'ai omis les solutions triviales : x=0 et y=z (et vice-versa) qui marchent pour tout n. Merci de me permettre de compléter :-)

C'est plus facile de suivre les traces de Seliw que celles de Wiles big_smile

 #5 - 09-01-2011 16:48:27

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Le grand thérème de Tamref

Si n=0, alors les triplets (x,y,z) de la forme (0,b,0) , (a,0,0) ,(a,b,c), avec a,b,c non nuls conviennent (convention 0^0=1).

Si n=1
, alors l'équation est 2=1, pas de solution.

sinon :

x, y et z sont entiers naturels, donc positifs, donc z est plus grand que x et que y.
Les rôles de x et y étant symétriques, supposons que [latex]x\leq y\leq z[/latex].

Divisons par [latex]n^x[/latex].

L'équation est alors équivalente à [latex]1+n^{y-x}=n^{z-x}[/latex], ou encore
[latex]1+n^{a}=n^{b}[/latex], avec n, a et b entiers naturels ([latex]a\leq b[/latex]).

Si a différent de 0 (et donc b), alors modulo n (différent de 1), l'équation devient 1=0
pas de solution.

Donc a=0, et [latex]n^b=2[/latex], ie n=2 et b=1

Donc, n=2 et x=y=z-1

 #6 - 09-01-2011 17:15:07

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1986
Lieu: Paris

Lee grand théorème de Tamref

Essayons de ne pas mettre 300 ans pour résoudre cette conjecture, comme Wiles pour celle de Fermat :-)

Pour le cas n=0 :
Si z est nul, avec la convention 0^0=1, on doit avoir pour x et y : un nul et un non nul.
Si z est non nul, alors x et y doivent être non nuls.

Dans le cas n=1, tout triplet (x,y,z) est solution aucune solution évidemment, 1+1 = 2 et n'est jamais égal à 1 ...

Pour n>2, petite astuce : on va raisonner en base n.
Toute puissance de n s'écrit donc comme un 1 suivi de plusieurs 0. Or si n>2, en additionnant deux tels nombres, on ne tombe jamais sur un 1 suivi de plusieurs zéros. On a au mieux un 2 suivi de plusieurs 0, ou deux 1 au milieu de zéros, et ce ne sont pas des puissances de n.

Reste le cas n=2.
D'après ce qui précède, la seule possibilité est x=y, et z=x+1.

Finalement les solutions sont pour (n,x,y,z) :
(0,x>0,y>0,z>0)
(0,0,y>0,0)
(0,x>0,0,0)
(1,x,y,z)
(2,x,x,x+1)

EDIT
Je me rends compte que j'ai oublié deux cas :
(0,x>0,0,0) et (0,0,y>0,0)

 #7 - 09-01-2011 18:01:51

Klimrod
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Messages : 3761
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

le grand théorème se tamref

Bonjour Vasimolo,

J'ignore qui est Tamref (Fermat tombé sur la tête ?) et si ton énigme est une blague...
Mais la conjecture de Fermat [latex]x^n+y^n=z^n[/latex] est tombée en 1993 et 1994, grâce à Andrew Wiles.

En 2010, c'est la conjecture de Poincaré qui est tombée, grâce à Grigori Perelman.
La conjecture de Poincaré (1904) s'énonce ainsi : « Soit une variété compacte V simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à une hypersphère de dimension 3. »

A noter qu'il existe 6 autres défis mathématiques non résolus à ce jour et faisant l'objet d'une dotation de 1 million de dollars à celui qui en résoudrait un.

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #8 - 09-01-2011 18:12:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le grand théorème de amref

Déjà une réponse complète de Toni77 et quasi-complète de Gasole et Looping007 smile

Essayez , c'est facile wink

Vasimolo

 #9 - 09-01-2011 18:54:47

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

Le grand théorème dde Tamref

Bonjour,
n^x+n^y=n^z
Examinons rapidement le cas où x=y
on a alors 2*n^x=n^z et donc n=2 et z=x+1

Dans ce qui suit on va supposer que y>x
on sait que z>x et z>y donc z>y>x
on a alors 1+n^(y-x)=n^(z-x)
soit n^(y-x)*[n^(z-y)-1]=1
on a forcément n^(y-x)=1 et n^(z-y)=1
Or n=1 ne marche pas et x=y=z non plus

La seule solution est donc n=2; x=y et z=x+1
Bonne soirée.
Frank

 #10 - 09-01-2011 19:25:52

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le grand théoorème de Tamref

Je rappelle qu'en France 0 est considéré comme un entier naturel tongue

Vasimolo

 #11 - 09-01-2011 20:01:17

franck9525
Elite de Prise2Tete
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le grand théorème de ramref

Les cas à la mords-moi le noeud sont bons pour les crêpages de chignons des mathématiciens en manque capillaire !


The proof of the pudding is in the eating.

 #12 - 09-01-2011 21:45:54

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Le grand théoèrme de Tamref

On choisira de chercher [latex](x,y,z)[/latex] tels que [latex]x \leq y[/latex] (ce n'est qu'un choix).

On considèrera que [latex]n[/latex] est non nul (j'y reviendrai).

Si [latex]x=0[/latex] l'équation devient [latex]n^y + 1 = n^z[/latex] : deux puissances du même entier non nul séparées de 1, ça n'existe que pour 2. Si [latex]n=2[/latex], le triplet [latex](0,0,1)[/latex] est solution.

Pour [latex]x \neq 0[/latex] on peut écrire : [latex]n^x + n^y = n^z \Leftrightarrow n^x(1 + n^{y-x})=n^z \Leftrightarrow 1 + n^{y-x} = n^{z-x}[/latex] : idem, et le triplet [latex](x,x,x+1)[/latex] est donc solution pour [latex]n=2[/latex] (pas de solution pour n autre que 2).

D'où le grand théorème de Tamref :

Noitauqé'l [latex]n^x+n^y=n^z[/latex] a'n sap ed snoitulos serèitne elleuq euq tios al ruelav ed [latex]n[/latex] non ellun te etneréffid ed 2.

Ruop [latex]n=2[/latex], tuot telpirt [latex](x,x,x+1)[/latex] tse noitulos ceva [latex]x[/latex] reitne lerutan.

En revanche, si [latex]n[/latex] est nul, tout triplet [latex](x,y,z)[/latex] où aucun de ces entiers n'est nul fait bien entendu l'affaire, grâce au fameux théorème de la Tête a Toto.

Je rajoute : puisque [latex]0^0=1[/latex] par convention, alors les triplets [latex](x,0,0)[/latex] et [latex](0,x,0)[/latex] sont aussi solutions pour [latex]n=0[/latex].


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #13 - 10-01-2011 00:24:13

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

le grabd théorème de tamref

Je n'étais pas parti dans la bonne direction mais la ça va mieux smile

Je note les solutions (n, x, y, z).

n=0 tout d'abord, attention au piège [latex]0^0=1[/latex]
Si z > 0 alors pour tout x et y > 0 on a une solution
Si z= 0, 0^0=1 et donc x ou y mais pas les deux doit être 0 aussi.

En bref: (0, >0, >0, >0) et (0, 0, >0, 0) et (0, >0, 0, 0)

Dans la suite on suppose n<>0
Tout d'abord on note que z>x (1). En effet, si z <= x alors [latex]n^x+n^y>n^z[/latex] (car [latex]n^y > 0[/latex]).
[TeX]n^x[/latex] est toujours différent de 0 on peut donc diviser membre à membre, on obtient:
[latex]1+n^{y-x}=n^{z-x}[/TeX]
D'après (1) z-x>0 donc le membre de droite est entier donc celui de gauche aussi et donc y>=x ou n=1. Or il est évident qu'il n'y a pas de solution avec n=1. Donc y>=x.
Supposons maintenant que y>x et p un nombre premier divisant n et donc [latex]n^{z-x}[/latex], p divise aussi [latex]n^{y-x}[/latex] et donc p divise 1, ce qui est absurde.
On a donc forcément y=x et donc l'équation devient: [latex]2=n^{z-x}[/latex] qui en entier n'a comme solution que n=2 et z-x=1.
On trouve donc la famille de solutions: (2, x, x, x+1)

Je pense avoir fait le tour des solutions.
Merci pour cette énigme inédite et intéressante.

SAVIR.

 #14 - 10-01-2011 08:01:09

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

le grand théorème de yamref

Les solutions seront notées (N,X,Y,Z)
On va distinguer plusieurs cas suivant N:

Cas N=0
Dans ce cas, on a plusieurs possibilités: 0^a = 1 si a vaut 0, et 0 sinon.
Donc {(0,x,y,z) tq x>0, y>0, z>0} est un ensemble de solutions, ainsi que {(0,x,0,0) tq x>0} et {(0,0,y,0) tq y>0}

Cas N=1
Dans ce cas, pour tout A, n^A = 1, et comme on n'a pas 2 = 1, il n'y a pas de solution.

Cas N=2
Sous-cas: x et y son égaux
Dans ce cas, 2^x+2^x = 2*2^x = 2^(x+1); donc {(2,x,x,x+1)} est un ensemble de solutions
Autre sous-cas: x et y sont différents
Dans ce cas, en binaire, 2^x et 2^y n'ont pas le même nombre de zéros et leur somme s'écrit donc avec 2 fois le chiffre 1 (un en position x, l'autre en position y; en commençant à compter de 0 par la droite). Un tel nombre n'est pas une puissance de 2 et ne peut donc pas s'écrire sous la forme 2^z. Il n'y a donc pas de solutions dans ce cas.

Enfin, cas N>2.
Le même raisonnement que ci-dessus, en base N, reste valable: si x=y, alors 2^x+2^y s'écrit "20000..." en base N, qui n'est pas une puissance de N; sinon il s'écrit avec deux fois le chiffre 1, et même constat dans ce cas.


L'ensemble des solutions est donc
{(0,x,y,z) \ x>0; y>0; z>0} U {(0,0,x,0) \ x>0} U {(0,x,0,0) \ x>0} U {(2,x,x,x+1)}


Edit: je viens de comprendre que Tamref = Fermat à l'envers...

 #15 - 10-01-2011 15:48:22

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Le grand théoèrme de Tamref

Solution: n=0,x,y,z qq>0 et n=2,x=y,z=x+1

Commentaires

1) n = 0. Solution x,y,z qq>0 triviale

2) n = 1. Impossible

3) n>1. dans tous les cas, on a z>max(x,y)

2 cas à considérer

x=y. D'où n^z = 2n^x ==> n^(z-x) = 2 ==> n = 2, z = x+1

y>x. D'où n^(z-x) = n^(y-x) + 1. On a une relation du type n^b = n^a +1 ou encore n^b - n^a = 1 avec b>a.Pas de solution possible. La différence de deux puissances d'ordre b et a d'un même entier ne peut pas être égal à 1.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #16 - 10-01-2011 19:45:31

Fireblade
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 34

Le grand théorème de Taamref

Si [latex]x<y[/latex] alors [latex]n^x+n^y=n^x(1+n^{y-x})[/latex] Or [latex]1+n^{y-x}[/latex] est premier avec [latex]n[/latex]. Donc impossible.
Si [latex]x>y[/latex] on se reporte au premier cas en inter-changeant [latex]x[/latex] et [latex]y[/latex].
Si [latex]x=y[/latex] alors [latex]n^x+n^y=2n^x=n^z[/latex] si [latex]n=2[/latex] et [latex]z=x+1[/latex] qui sont les seules solutions.

Les quadruplés [latex](n,x,y,z)[/latex] solutions sont [latex](\{2,x,x,x+1\})[/latex]

 #17 - 12-01-2011 09:17:00

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Le grand théroème de Tamref

je n'en trouve qu'un : 2^0 + 2^0 = 2^1

A part 0^x + 0^y = 0^z pour tout x y z non nuls.

 #18 - 12-01-2011 18:56:20

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le grand théorèm ede Tamref

Je vous laisse trouver les nombreuses bonnes réponses parmi celles proposées ( attention aux cas "douteux" avec zéro ) .

Vous ne vous êtes pas laisser retourner par cette conjecture bien plus simple que celle de Fermat résolue par Wiles smile

Merci à tous pour la participation .

Vasimolo

 #19 - 12-01-2011 21:29:58

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

le grand théorème de tamred

MthS-MlndN a écrit:

Je rajoute : puisque [latex]0^0=1[/latex] par convention, alors les triplets [latex](x,0,0)[/latex] et [latex](0,x,0)[/latex] sont aussi solutions pour [latex]n=0[/latex].

C'est une convention mais pas seulement, ou tout du moins pas arbitraire puisque c'est aussi le prolongement continu à droite en 0 de [latex]f(x)=e^{xlnx}[/latex]

 #20 - 12-01-2011 21:50:27

Barbabulle
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 237

L grand théorème de Tamref

Pourtant, pour x<0, x^x tend vers -1 quand x tend vers 0, non ? Pourquoi n'as-t'on pas pris -1 pour 0^0 alors ?


La paix dans le monde n'est pas menacée par les révoltés, mais par les soumis.        Georges Bernanos

 #21 - 12-01-2011 22:11:37

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Le grnad théorème de Tamref

Dans le domaine des réels, x^x est définie sur R+. Donc, il n'y a pas de limite en 0-. Et la limite en 0+ est bien 1.

 #22 - 12-01-2011 23:11:01

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Le rand théorème de Tamref

Merci pour ce petit enc**age de mouches wink


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #23 - 12-01-2011 23:19:04

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Le grand théorèème de Tamref

Euh, c'est un peu plus que du pinaillage.

 #24 - 12-01-2011 23:23:21

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Le grand théoorème de Tamref

Et ton interprétation de ma réplique, un peu moins que du second degré, donc lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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