Les nombres de la première ligne sont de la forme [latex]\frac{k(k+1)}{2}[/latex]

Ceci va nous permettre de repérer la diagonale \ sur laquelle se trouve 2500.

Le rang de la diagonale cherchée est le plus petit [latex]k[/latex] (positif) tel que
[TeX]\frac{k(k+1)}{2} \geq 2500[/latex].

Cela revient à résoudre [latex]k^2+k-5000 \geq 0[/TeX]
La solution positive de ce trinôme est [latex]\frac{-1+\sqrt{20001}}{2} \simeq 70,2[/latex]

Donc 2500 se trouve sur la diagonale 71.

Comme (71,1) = 71x72/2 = 2556, alors sur la diagonale 71 on a (71-x, 1+x) = 2556-x.

Pour x=56, on obtient (15, 57) = 2500.

Pour le cas général, il suffit de recopier le raisonnement fait pour 2500 :

On note [latex]k = \lceil{\frac{-1+\sqrt{8n+1}}{2}}\rceil[/latex]

n se trouve sur la diagonale k.

On note alors [latex]\delta = \frac{k(k+1)}{2}-n[/latex]

Et [latex](k-\delta, 1+\delta) = n[/latex]

Je trouve pour 2500, (15,57). La ligne du bas avec y=1 et x variable est la suite de la somme des n premiers chiffres. Donc, (x,1) = [x(x+1)]/2. Du coup on prend un élément de la suite strictement supérieur ou égal au nombre recherché. Si c'est égal, la position du nombre est (x,1). Si c'est supérieur, il faut ajouter la valeur de la différence à 1 et la supprimer à x.

Dans le cas de 2500, x=71 car [71*(71+1)]/2=2556. La différence est égal à 2556-2500=56. On retranche 56 à 71, ce qui nous donne 15 et ajoute 56 à 1, ce qui nous donne 57, d'où la position (15,57).

Pour exprimer xn et yn en fonction de n, j'ai pas trouvé.

Je vais traiter directement le cas général.
J'appelle [latex]X_n[/latex] et [latex]Y_n[/latex] les coordonnées dans un repère commençant en (0,0).
Donc [latex]X_1=0, Y_1=0[/latex].
Pour la solution, on aura donc [latex]x_n=X_n+1[/latex] et [latex]y_n=Y_n+1[/latex]

Je numérote les diagonales descendantes en partant de 0. La diagonale 0 contient le nombre 1. La diagonale 1 est celle qui contient 2 et 3, ...

Pour un nombre n, je note [latex]d_n[/latex] le numéro de la diagonale qui le contient et [latex]g_d[/latex] le plus petit nombre (en haut à gauche) de la diagonale numéro d.

On remarque que le long d'une même diagonale, on a: [latex]X_n+Y_n=d_n[/latex] (1)

On a aussi immédiatement:
[TeX]X_n=n-g_{d_n}[/latex] (2)

Il faut donc exprimer [latex]g_d[/latex] et [latex]d_n[/latex] en fonction de n.

Le premier nombre d'une diagonale est le premier nombre de la diagonale précédente augmenté du nombre de nombre de la diagonale précédente. Or il y a d+1 nombres sur la diagonale d. Donc: [latex]g_{d+1}=g_d+d+1[/latex] et [latex]g_0=1[/latex].

Ce qui donne: [latex]g_d=\dfrac{d(d+1)}{2}+1[/latex] (3)

Pour [latex]d_n[/latex]: Puisque n appartient à la diagonale [latex]d_n[/latex] il est compris entre [latex]g_{d_n}[/latex] inclus et [latex]g_{d_{n+1}}[/latex] exclus.

Soit: [latex] \dfrac{d_n(d_n+1)}{2}+1 \leq n < \dfrac{(d_n+1)(d_n+2)}{2}+1 [/latex].

On résout: [latex]d_n(d_n+1)=2(n-1)[/latex] et on garde la partie entière.

On trouve: [latex]d_n=E(\dfrac{\sqrt{8n-7}-1}2)[/TeX]
Et donc finalement d'après (1), (2), (3) et le résultat précédent:
[TeX]X_n=n-g_{d_n}=n-\dfrac{d_n(d_n+1)}{2}-1[/TeX]
Et donc: [latex]x_n=n-n-g_{d_n}=n-\dfrac{d_n(d_n+1)}{2}[/latex]
et [latex]y_n=d_n-x_n+2[/latex].

Pour un n donné, il suffit de calculer [latex]d_n[/latex], puis [latex]s_n[/latex] et enfin [latex]y_n[/latex].

Pour n=2500, on trouve [latex]d_{2500}=70[/latex] (2500 est sur la 71eme diagonale) et [latex]x_{2500}=15, y_{2500}=57[/latex].

(15,57) est validé par la case réponse.

Pour les amateurs de grosses formules :
[TeX]x_n=n-\dfrac{E(\dfrac{\sqrt{8n-7}-1}2)E(\dfrac{\sqrt{8n-7}+1}2)}{2}[/TeX][TeX]y_n=\dfrac{E(\dfrac{\sqrt{8n-7}-1}2)E(\dfrac{\sqrt{8n-7}+5}2)}{2}-n+2[/TeX]
A NOTER: Cette construction nous donne une bijection de [latex]\mathbb{N}^2[/latex] dans [latex]\mathbb{N}[/latex], ce qui prouve qu'il y a "autant" de couples d'entiers que d'entiers et donc aussi "autant" de rationnels que d'entiers...

Merci pour cette énigme.

Je calcule d'abord:
m = ent [ (1/2) + V(2n-1) ]
où ent[N] représente la partie entière de N
et V(N) la racine carrée de N

Et j'obtiens:
xn = -m²/2 + m/2 + n
yn = m²/2 + m/2 + 1 - n
J'ai bien une démo, mais un peu fastidieuse.

AN: n = 2500 donne: m = 71
puis: xn = 15 et yn = 57
validés par la case réponse.

Le nombre 2500 se trouve en (15,57).

La "base" d'un nombre [latex]n_0[/latex] (dont le y vaut 1) est située à x tel que [latex]n_0=\frac {x(x+1)}2[/latex]
Ainsi pour [latex]n_0[/latex]=15, x=5 on a bien [latex]n_0=\frac {5*6}2[/latex]
Donc, partant de [latex]n_0[/latex], x est la racine positive de l'équation [latex]x²+x-2n_0=0[/latex]

d'où [latex]x=\frac{-1+\sqrt{8n_0+1}}2[/latex]

Pour [latex]n[/latex] quelconque, x+y vaut [latex]\Big\lceil{\frac{\sqrt{8n+1}+1}2\Big\rceil[/latex] (valeur arrondie à l'entier supérieur)

vérification : n=15, x+y=6, x=5, y=1
                   n=16, x+y=7, x=1, y=6
                   n=21, x+y=7, x=6, y=1
                   n=22, x+y=8, x=1, y=7
                   n=2500, x+y=72, x=15, y=57

Si [latex]n[/latex] n'est pas un [latex]n_0[/latex], x vaut [latex]n-n_0[/latex], et y vaut (x+y)-x.
Le nombre [latex]n_0[/latex] précédant n se trouve en [x+y-2, 1] et vaut [latex]\frac{(x+y-2)(x+y-1)}2[/latex]
D'où x et y.

Pour n=2500, x+y=72, [latex]n_0[/latex]=70*71/2=2485, d'où x=2500-2485=15, et y = 72-15=57

la 1ère rangée à l'abscisse x vaut x(x+1)/2.
Pour un nombre N, il suffit de trouver x tel que x(x+1)/2 soit immédiatement >N.
On relève la différence R entre x(x+1)/2 et N.
Les coordonnées du nombre dans le tableau sont (x-R;R+1)

Pour trouver rapidement x connaissant N, on a x(x+1)=2N environ
x=rac(2N) environ. On corrige éventuellement à x+1.

Pour 2500, 2N=5000, x=70.7, il faut prendre 71.
(71*72)/2-2500=56

On trouve 2500 aux coordonnées (15,57)

OUI cogito et nodgim

Comme quoi les sciences, aussi belles que soient elles, ne pourront pas tout satisfaire. Et quand on voit ce qu'est le monde que Berthelot prédisait radieux pour l'an 2000 grâce à la chimie; tout se comprend

La philosophie est l'ultime recours quand la science ne peut plus rien.

Bonsoir,
Y aura-t-il d'autres dossiers ?
Ce serait dommage que cela s'arrête à 2

La série 3 est sortie, un beau trapèze dans un cube