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 #1 - 22-08-2013 22:23:35

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le vieux dossier de Grand-Prèe : N°2

Salut à vous,
Pour cette 2ième énigme du vieux dossier, je reste dans l'ensemble [latex]N[/latex].
Les entiers naturels non nuls, sont rangés dans un tableau comme ci-dessous.

http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-Distrib_Nombre.jpg

9 a pour position (3,2),
16 a pour position (1,6),

Quelle est la position du nombre 2500? Réponse à valider dans la case réponse sous forme de (x,y) sans espace mais avec les parenthèses.

Pour tout nombre entier naturel [latex]n[/latex], on note par [latex](x_n,y_n)[/latex] sa position.
Peut-on exprimer [latex]x_n[/latex] et [latex]y_n[/latex] en fonction de [latex]n[/latex]?

Merci pour votre participation smile



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 #2 - 22-08-2013 23:01:19

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

le voeux dossier de grand-père : n°2

Les nombres de la première ligne sont de la forme [latex]\frac{k(k+1)}{2}[/latex]

Ceci va nous permettre de repérer la diagonale \ sur laquelle se trouve 2500.

Le rang de la diagonale cherchée est le plus petit [latex]k[/latex] (positif) tel que
[TeX]\frac{k(k+1)}{2} \geq 2500[/latex].

Cela revient à résoudre [latex]k^2+k-5000 \geq 0[/TeX]
La solution positive de ce trinôme est [latex]\frac{-1+\sqrt{20001}}{2} \simeq 70,2[/latex]

Donc 2500 se trouve sur la diagonale 71.

Comme (71,1) = 71x72/2 = 2556, alors sur la diagonale 71 on a (71-x, 1+x) = 2556-x.

Pour x=56, on obtient (15, 57) = 2500.

Pour le cas général, il suffit de recopier le raisonnement fait pour 2500 :

On note [latex]k = \lceil{\frac{-1+\sqrt{8n+1}}{2}}\rceil[/latex]

n se trouve sur la diagonale k.

On note alors [latex]\delta = \frac{k(k+1)}{2}-n[/latex]

Et [latex](k-\delta, 1+\delta) = n[/latex]

 #3 - 22-08-2013 23:58:35

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le vieux dossier de Grand-Pre : N°2

Excellente réponse de titoufred, BRAVO!

 #4 - 23-08-2013 10:52:23

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Le vieux dossier de Grand-PPère : N°2

Je trouve pour 2500, (15,57). La ligne du bas avec y=1 et x variable est la suite de la somme des n premiers chiffres. Donc, (x,1) = [x(x+1)]/2. Du coup on prend un élément de la suite strictement supérieur ou égal au nombre recherché. Si c'est égal, la position du nombre est (x,1). Si c'est supérieur, il faut ajouter la valeur de la différence à 1 et la supprimer à x.

Dans le cas de 2500, x=71 car [71*(71+1)]/2=2556. La différence est égal à 2556-2500=56. On retranche 56 à 71, ce qui nous donne 15 et ajoute 56 à 1, ce qui nous donne 57, d'où la position (15,57).

Pour exprimer xn et yn en fonction de n, j'ai pas trouvé.

 #5 - 23-08-2013 11:12:16

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le vieux dossier de Grnad-Père : N°2

@SabanSuresh: nickel pour 2500. Pour n quelconque, c'est exactement la même méthode; tu as déjà fait 90% du job smile

 #6 - 23-08-2013 11:18:03

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Le vieux doossier de Grand-Père : N°2

Je vais traiter directement le cas général.
J'appelle [latex]X_n[/latex] et [latex]Y_n[/latex] les coordonnées dans un repère commençant en (0,0).
Donc [latex]X_1=0, Y_1=0[/latex].
Pour la solution, on aura donc [latex]x_n=X_n+1[/latex] et [latex]y_n=Y_n+1[/latex]

Je numérote les diagonales descendantes en partant de 0. La diagonale 0 contient le nombre 1. La diagonale 1 est celle qui contient 2 et 3, ...

Pour un nombre n, je note [latex]d_n[/latex] le numéro de la diagonale qui le contient et [latex]g_d[/latex] le plus petit nombre (en haut à gauche) de la diagonale numéro d.

On remarque que le long d'une même diagonale, on a: [latex]X_n+Y_n=d_n[/latex] (1)

On a aussi immédiatement:
[TeX]X_n=n-g_{d_n}[/latex] (2)

Il faut donc exprimer [latex]g_d[/latex] et [latex]d_n[/latex] en fonction de n.

Le premier nombre d'une diagonale est le premier nombre de la diagonale précédente augmenté du nombre de nombre de la diagonale précédente. Or il y a d+1 nombres sur la diagonale d. Donc: [latex]g_{d+1}=g_d+d+1[/latex] et [latex]g_0=1[/latex].

Ce qui donne: [latex]g_d=\dfrac{d(d+1)}{2}+1[/latex] (3)

Pour [latex]d_n[/latex]: Puisque n appartient à la diagonale [latex]d_n[/latex] il est compris entre [latex]g_{d_n}[/latex] inclus et [latex]g_{d_{n+1}}[/latex] exclus.

Soit: [latex] \dfrac{d_n(d_n+1)}{2}+1 \leq n < \dfrac{(d_n+1)(d_n+2)}{2}+1 [/latex].

On résout: [latex]d_n(d_n+1)=2(n-1)[/latex] et on garde la partie entière.

On trouve: [latex]d_n=E(\dfrac{\sqrt{8n-7}-1}2)[/TeX]
Et donc finalement d'après (1), (2), (3) et le résultat précédent:
[TeX]X_n=n-g_{d_n}=n-\dfrac{d_n(d_n+1)}{2}-1[/TeX]
Et donc: [latex]x_n=n-n-g_{d_n}=n-\dfrac{d_n(d_n+1)}{2}[/latex]
et [latex]y_n=d_n-x_n+2[/latex].

Pour un n donné, il suffit de calculer [latex]d_n[/latex], puis [latex]s_n[/latex] et enfin [latex]y_n[/latex].

Pour n=2500, on trouve [latex]d_{2500}=70[/latex] (2500 est sur la 71eme diagonale) et [latex]x_{2500}=15, y_{2500}=57[/latex].

(15,57) est validé par la case réponse.

Pour les amateurs de grosses formules smile:
[TeX]x_n=n-\dfrac{E(\dfrac{\sqrt{8n-7}-1}2)E(\dfrac{\sqrt{8n-7}+1}2)}{2}[/TeX][TeX]y_n=\dfrac{E(\dfrac{\sqrt{8n-7}-1}2)E(\dfrac{\sqrt{8n-7}+5}2)}{2}-n+2[/TeX]
A NOTER: Cette construction nous donne une bijection de [latex]\mathbb{N}^2[/latex] dans [latex]\mathbb{N}[/latex], ce qui prouve qu'il y a "autant" de couples d'entiers que d'entiers et donc aussi "autant" de rationnels que d'entiers...

Merci pour cette énigme.

 #7 - 23-08-2013 11:33:45

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

le vieux sossier de grand-père : n°2

Bravo rivas... l'excellence dans l'âme smile

J'en profite pour partager cette formule que je trouve belle avec tout le monde lol

« Un jour, à force de fouiller l'atome, un savant expliquera peut-être la joie et la paix de l'esprit par des formules mathématiques. »

de Bernard Moitessier

 #8 - 23-08-2013 12:51:08

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

Le vieuux dossier de Grand-Père : N°2

Je calcule d'abord:
m = ent [ (1/2) + V(2n-1) ]
où ent[N] représente la partie entière de N
et V(N) la racine carrée de N

Et j'obtiens:
xn = -m²/2 + m/2 + n
yn = m²/2 + m/2 + 1 - n
J'ai bien une démo, mais un peu fastidieuse.

AN: n = 2500 donne: m = 71
puis: xn = 15 et yn = 57
validés par la case réponse.

 #9 - 23-08-2013 15:02:31

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3758
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Le vieux dossier de Grand--Père : N°2

Bonjour,

Coordonnées horizontales :
1-3-6-10 ....
On remarque qu'il s'agit de la suite Xn = n + Xn-1 avec X1=1
La solution est Xn = n(n+1)/2

Coordonnées verticales :
1-2-4-7-11
On remarque par construction que Yn = Xn-1 + 1
Donc Yn = 1 + n(n-1)/2

Coordonnées du nombre 2500 :
Pour trouver les coordonnées de 2500, il faut commencer par chercher le Xn immédiatement supérieur : X71 = 2556.
Il faut reculer de 56 crans horizontalement et par conséquent monter de 56 crans verticalement pour trouver le nombre 2500.
Réponse = (15,57)

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #10 - 23-08-2013 16:00:46

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

le vieuw dossier de grand-père : n°2

Le nombre 2500 se trouve en (15,57).

La "base" d'un nombre [latex]n_0[/latex] (dont le y vaut 1) est située à x tel que [latex]n_0=\frac {x(x+1)}2[/latex]
Ainsi pour [latex]n_0[/latex]=15, x=5 on a bien [latex]n_0=\frac {5*6}2[/latex]
Donc, partant de [latex]n_0[/latex], x est la racine positive de l'équation [latex]x²+x-2n_0=0[/latex]

d'où [latex]x=\frac{-1+\sqrt{8n_0+1}}2[/latex]

Pour [latex]n[/latex] quelconque, x+y vaut [latex]\Big\lceil{\frac{\sqrt{8n+1}+1}2\Big\rceil[/latex] (valeur arrondie à l'entier supérieur)

vérification : n=15, x+y=6, x=5, y=1
                   n=16, x+y=7, x=1, y=6
                   n=21, x+y=7, x=6, y=1
                   n=22, x+y=8, x=1, y=7
                   n=2500, x+y=72, x=15, y=57

Si [latex]n[/latex] n'est pas un [latex]n_0[/latex], x vaut [latex]n-n_0[/latex], et y vaut (x+y)-x.
Le nombre [latex]n_0[/latex] précédant n se trouve en [x+y-2, 1] et vaut [latex]\frac{(x+y-2)(x+y-1)}2[/latex]
D'où x et y.

Pour n=2500, x+y=72, [latex]n_0[/latex]=70*71/2=2485, d'où x=2500-2485=15, et y = 72-15=57

 #11 - 23-08-2013 18:27:20

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

le vieix dossier de grand-père : n°2

Que de bonnes réponses, bravo!
Merci pour votre participation smile

 #12 - 23-08-2013 18:33:35

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

le vieux dossier de hrand-père : n°2

la 1ère rangée à l'abscisse x vaut x(x+1)/2.
Pour un nombre N, il suffit de trouver x tel que x(x+1)/2 soit immédiatement >N.
On relève la différence R entre x(x+1)/2 et N.
Les coordonnées du nombre dans le tableau sont (x-R;R+1)

Pour trouver rapidement x connaissant N, on a x(x+1)=2N environ
x=rac(2N) environ. On corrige éventuellement à x+1.

Pour 2500, 2N=5000, x=70.7, il faut prendre 71.
(71*72)/2-2500=56

On trouve 2500 aux coordonnées (15,57)

 #13 - 23-08-2013 21:25:05

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Le iveux dossier de Grand-Père : N°2

Bonjour, smile

Les nombres sur la première ligne sont ce qu'on appelle les nombres triangulaires.
Ce sont les nombres de la forme n(n+1)/2 pour s'en rendre compte il suffit de suivre le trajet en zigzag. On part de 1, en suite on ajoute 2 nombres qui sont 2, 3, ensuite on en ajoute 3 (4, 5 et 6) et on obtient un triangle de plus en plus grand.

Donc les coordonnées (k,1)  correspondent au nombre k(k+1)/2.

Maintenant si on par d'un nombre de coordonné (k,1), et qu'on suit le trajet en zigzag, alors :
-Si on avance de 1, on tombe sur (1,k+1),
-Si on avance de 2, on tombe sur (2,k),
-Si on avance de 3, on tombe sur (3,k-1), ...

De manière générale, si on avance de j (avec j <k+2) on tombe sur (j,k+2 - j).

Donc pour atteindre le nombre de coordonnées [latex](x_n,y_n)[/latex], on peut partir du nombre de coordonnées [latex](x_n+y_n-2,1)[/latex] et avancé de x_n en suivant le trajet en zigzag.

Autrement dit [latex](x_n,y_n) = {(x_n + y_n -2)(x_n + y_n -1)\over 2} + x_n[/latex].


Pour trouver les coordonnées d'un nombre n, on peut donc chercher quel est le plus grand nombre triangulaire inférieur à n.

Pour ça on peut résoudre l'équation n = x(x+1)/2 ce qui donne :  [latex]x^2+x-2n = 0[/latex].  La solution positive de cette équation est :
[TeX]x={-1 + \sqrt{8n+1}\over 2}[/TeX]
Donc si l'on nomme E(x) la partie entière de x arrondi à l'inférieur on a
E(x)(E(x)+1)/2 qui est le plus grand nombre triangulaire inférieur à n.

Donc d'après la formule que l'on a vu plus haut, on a :
[TeX]x_n= n-{E(x)(E(x)+1)\over 2}[/latex]   et

  [latex]y_n = E(x)+2 -x_n[/TeX]
Par exemple, pour 2500, on a :
[TeX]{-1 + \sqrt{8*2500+1}\over 2}\simeq 70,2...[/TeX]
Donc la partie entière du nombre ci-dessus est 70.
70*71/2 =2485,  donc :

[latex]x_{2500} = 2500 - 2485 = 15[/latex]  et

[latex]y_{2500} = 70 + 2 - 15 = 57[/latex].

Donc les coordonnées de 2500 sont (15,57).

Bon, voilà je ne sais pas si j'ai bien expliqué. Il y a peut-être mieux. Je n'ai pas trouvé de formule plus élégante hmm


Il y a sûrement plus simple.

 #14 - 25-08-2013 18:04:15

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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le vieux dossier de grand-pèrz : n°2

OUI cogito et nodgim smile

 #15 - 26-08-2013 11:06:21

rivas
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Le iveux dossier de Grand-Père : N°2

kossi_tg a écrit:

Bravo rivas... l'excellence dans l'âme smile

J'en profite pour partager cette formule que je trouve belle avec tout le monde lol

« Un jour, à force de fouiller l'atome, un savant expliquera peut-être la joie et la paix de l'esprit par des formules mathématiques. »

de Bernard Moitessier

Merci du compliment, tu vas me faire rougir.

A propos de ta citation, ca serait bien si ça pouvait être aussi simple smile
Remarque, il y a peut-être une formule mais elle contient alors surement la fonction random smile

 #16 - 26-08-2013 12:00:49

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: Montargis

Le vieux dossier de Grand-Père : N°

Comme quoi les sciences, aussi belles que soient elles, ne pourront pas tout satisfaire. Et quand on voit ce qu'est le monde que Berthelot prédisait radieux pour l'an 2000 grâce à la chimie; tout se comprend smile

 #17 - 26-08-2013 13:58:31

Klimrod
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Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

le cieux dossier de grand-père : n°2

Vous êtes en train de prouver que la philosophie est une matière plus importante que les sciences...

C'est peut-être pas faux big_smile !
A méditer... smile !


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #18 - 26-08-2013 15:19:59

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

Le vieux dossier de Grand-èPre : N°2

La philosophie est l'ultime recours quand la science ne peut plus rien.

 #19 - 26-08-2013 15:38:30

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: Jacou

L evieux dossier de Grand-Père : N°2

Je dirai que la philosophie (ou, plus délicat, l'absence de philosophie) est ce qui vient avant la science et qui la guide dans les buts qu'elle cherche à atteindre...

 #20 - 05-09-2013 19:55:18

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

le vieux dosqier de grand-père : n°2

Bonsoir, smile
Y aura-t-il d'autres dossiers ? smile
Ce serait dommage que cela s'arrête à 2 sad


Il y a sûrement plus simple.

 #21 - 05-09-2013 21:12:08

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

L evieux dossier de Grand-Père : N°2

kossi_tg n'a malheureusement pas retrouvé tous les dossiers de son Grand-Père big_smile

 #22 - 05-09-2013 23:17:17

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

le vieux dossiee de grand-père : n°2

La série 3 est sortie, un beau trapèze dans un cube smile

 

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