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 #51 - 16-11-2013 18:05:30

titoufred
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Promenosn-nous dans le train

@gwen : Il y a les 18 A/R de 1-2 à 1-19 qui font 18x19 plus la montée finale 1-20 qui fait 19. On trouve bien 19x19.

C'est le raisonnement "oscillatoire" proposé par kossi, dont la justification a été donnée par Mathias.

#0 Pub

 #52 - 16-11-2013 18:12:47

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Promenons-nous dans le trian

Rah zut! Je pensais avoir oublié le premier déplacement, en fait j'ai oublié toute la montée, bah oui ! 18 en aller retour + 1 en montée =19 en moyenne à chaque wagon.

 #53 - 16-11-2013 18:16:27

Franky1103
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Promenons--nous dans le train

elpafio a écrit:

Et, en moyenne, parce que 6 heures c'est long, il faut aussi compter 5 à 10 minutes de plus lors du passage dans la voiture-bar wink

Sur P2T aussi, il y a des assoiffés !!!

 #54 - 16-11-2013 21:35:32

eudoxie
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Pormenons-nous dans le train

Voici un début de justification (tout est calculé avec un ordi )

Remarque préliminaire :
on ne peut arriver en W20 qu'au bout de 19 minutes au minimum . Si l'on considère que l'on part du wagon 2 , on ne peut arriver en W20 que lors de minutes paires . On  appellera alors mouvement un déplacement de 2 minutes (2 wagons) Dans la colonne [latex]C_x[/latex] on notera les probabilités d'être d'être de haut en bas en W2, W4 ..... W18 (soit au bout de [latex]2 x + 1[/latex] minutes)
Un calcul simple de probabilité nous donne donc la matrice: [latex]
\begin{math} A:=\left(   \begin{array}{ccccccccc}\cfrac{3}{4} & \cfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} \end{array} \right)  \end{math}
[/latex]

et on a [latex]C_{x+1}= A \times C_x[/latex]

Les conditions initiales:[latex]
\begin{math} C_0:=\left(   \begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)  \end{math}


[/latex]

qui indiquent qu'au mouvement de départ on est dans le wagon 2 avec une proba de 1 .

Par exemple après  500 mouvements :[latex]

\begin{math} {C_{500}} = \left(   \begin{array}{c}0,006830615603203 \\ 0,006644294215632 \\ 0,00627673380224 \\ 0,005737960452947 \\ 0,005042670500243 \\ 0,004209829641555 \\ 0,003262155604454 \\ 0,002225498466269 \\ 0,001128135531367 \end{array} \right)  \end{math}

[/latex]

La probabilité de de ne pas être en W20 après 500 mouvements est donc la somme des termes de la colonne :
[TeX]
\begin{math} \displaystyle \sum_{ l=1}^{ 9}{{{C_{500}}_{l\,1}}} = 0,04135789381791 \end{math}
[/TeX]
La probabilité de sortie au 500e mouvement est alors la différence entre le 499e mouvement et le 500e mouvement :
[TeX]
\begin{math} p:=\displaystyle \sum_{ l=1}^{ 9}{{{C_{499}}_{l\,1}}} - \displaystyle \sum_{ l=1}^{ 9}{{{C_{500}}_{l\,1}}} \end{math}
[/TeX]
En général: [latex]
\begin{math}\displaystyle \sum_{ l=1}^{ 9}{{{C_{x - 1}}_{l\,1}}} - \displaystyle \sum_{ l=1}^{ 9}{{{C_{x}}_{l\,1}}} \end{math}
[/latex]

est la probabilité d'arriver au wagon 20 au mouvement x .
Finalement :
L'espérance:[latex]  \begin{math} E:=2 \times \displaystyle \sum_{ x=1}^{ m}{x \times  \left( \displaystyle \sum_{ l=1}^{ 9}{{{C_{x - 1}}_{l\,1}}} - \displaystyle \sum_{ l=1}^{ 9}{{{C_{x}}_{l\,1}}} \right) } + 1 \end{math}
[/latex]

En calculant cette somme jusqu'à [latex]x = 5000[/latex] on trouve[latex] E = 361[/latex]

Il ne reste plus qu'à démontrer que cette formule donne [latex]19^2[/latex]

 #55 - 16-11-2013 22:01:14

shadock
Elite de Prise2Tete
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Promenons-nous dans le trai

J'ai jamais vu quelqu'un qui avait la fois d'écrire des matrices 9x9 sur de site yikes
En tout cas chapeau l'artiste pour le détail du calcul big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #56 - 16-11-2013 23:16:57

fix33
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promenons-nous dans le ttain

Bravo aussi à Francky pour sa belle et simple démonstration !
Elle m'énerve un peu (j'ai passé un peu de temps avec des formules longues comme le bras) ! lol
Mais je vais tâcher de persévérer dans ma méthode ingrate, si j'en ai encore le temps et le courage...


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #57 - 17-11-2013 08:59:47

Papy04
Ricocheur en Chef
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Promenons-nous dans e train

titoufred a écrit:

@papy : tu prends 2 séries possibles de PILE ou FACE parmi tellement d'autres... Pourquoi celles-là ? La moyenne se fait sur toutes les séries possibles.

Bah, dans l'énoncé tu demandes la durée moyenne de sa promenade. Pour moi, à partir du moment ou une des durées possibles est infinie, je ne vois pas comment la durée moyenne peut être finie.
A moins, suis-je sot, qu'on ne divise par un nombre infini lui aussi. Je ferais mieux de me cantonner aux jeux de lettres, elles sont moins vicieuses que les chiffres wink


Nous les souiris nous avons un défaut, nous sommes prétentieux. Mais nous nous sommes corrigés. Maintenant nous sommes parfaits

 #58 - 17-11-2013 10:07:08

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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promebons-nous dans le train

Approfondissement:

Et si monsieur le voyageur bougeotte était monté dans une voiture quelconque notée d? Combien de temps en moyenne mettrait-il pour arriver en dernière voiture notée k?

AN: k=20 et d=9

Je suis arrivé rapidement avec ma théorie oscillatoire à:
[TeX]TempsMoyen(k,d)=(k-d)(k+d-2)[/TeX][TeX]AN: TempsMoyen(20,9)=11*27=297min=4h57min[/TeX]
Quelqu'un peut-il confirmer? A vous!

 #59 - 17-11-2013 10:07:46

eudoxie
Habitué de Prise2Tete
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Promenons-nous dans le rtain

papy, bien sûr  certains  arrivent au wagon 20 après un temps infini . cela n'empêche pas la moyenne d'être finie .
L'idée est qu'après un certain temps, la probabilité d 'arrivée au W 20 est tellement faible , qu'elle n'influe plus sur la moyenne .
Tu peux trouver en maths d'autres exemples pas trop compliqués analogues à celui là .
Par ex si tu additionnes [latex]1+  \dfrac{ 1}{ 2}  +  \dfrac 1 3 + ...  \dfrac 1 n ...[/latex] , qui est une somme infinie, tu trouves un résultat infini (c'est la série harmonique).
Par contre si tu additionnes de même [latex]1 + \dfrac 1 4 + \dfrac 1 9 +...+\dfrac 1 {n^2} [/latex]...  on démontre sans problème que bien qu'on additionne un nombre infini de termes, on trouve [latex]  \dfrac {\pi^2} 6 [/latex] .
(lire par ex l'article wiki sur série de Riemann) .

 #60 - 17-11-2013 10:42:32

titoufred
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Promenons-onus dans le train

kossi_tg a écrit:

Approfondissement:

Et si monsieur le voyageur bougeotte était monté dans une voiture quelconque notée d? Combien de temps en moyenne mettrait-il pour arriver en dernière voiture notée k?

Je suis arrivé rapidement avec ma théorie oscillatoire à:
[TeX]TempsMoyen(k,d)=(k-d)(k+d-2)[/TeX]
Quelqu'un peut-il confirmer? A vous!

Oui, c'est bien ça kossi.

Nous avons vu que [latex]TempsMoyen(k,1)=(k-1)^2[/latex]

Ce qui donne
[TeX]TempsMoyen(k,d)=TempsMoyen(k,1)-TempsMoyen(d,1)[/TeX]
[TeX]=(k-1)^2-(d-1)^2[/TeX]

 #61 - 17-11-2013 10:54:23

kossi_tg
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Promenons-nous dans le trin

Bien vu titoufred, c'est carrément plus facile comme ca et dire que j'ai refait les calculs... mad

 #62 - 17-11-2013 11:28:20

MthS-MlndN
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Promennons-nous dans le train

Oh mon Dieu, mon erreur est si débile hmm m'apprendra à partir bille en tête lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #63 - 17-11-2013 11:48:29

nodgim
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promenonq-nous dans le train

Perso, j'ai du mal à faire le lien entre les mouvements d'aller retour de kossi et le problème posé au départ. Je vois bien que ça marche, mais je ne comprends pas bien pourquoi...

 #64 - 17-11-2013 12:31:05

kossi_tg
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promenons-nous dans le trzin

nodgim,
mathias a émis une phrase qui explique bien ma théorie:

Si j'ai une chance sur deux de réussir quelque chose à chaque tentative, j'y arriverai en moyenne la deuxième fois.

En effet de manière successives, je procède comme ci-après:
*** en voiture m: il a 1 chance sur 2 d'aller en m+1 donc il faut s'y prendre 2 fois en moyenne. Il revient donc en voiture 1 et tente sa chance la 2è fois.
*** il fait ces tentatives pour toutes les voitures jusqu'à la voiture finale d'où mes aller/retour que j'ai mécaniquement appelés "mouvement oscillatoire" (clin d'oeil aux cours de méca de prépa).

 #65 - 17-11-2013 13:51:25

MthS-MlndN
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promenons-nous danq le train

Par contre, une fois qu'il échoue à passer en n+1 et repasse en n-1, quel sera son temps de parcours pour revenir en n ? Clairement plus que 1. Et c'est là où je bloque...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #66 - 17-11-2013 14:17:20

fix33
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Promenons-ous dans le train

Mathias, il me semble que là où tu t'es trompé dans ton raisonnement, c'est en considérant que, partant du wagon n, le temps moyen pour arriver au wagon n+1 la 2ème fois était le même que la 1ère fois.
La formule de Francky donne à mon avis la réponse (#30) : le temps moyen pour atteindre le wagon n+1 vaut le temps moyen pour atteindre le wagon n, plus 50% de 1 minute (cas favorable), plus 50% de 1 minute et le temps moyen pour aller du wagon n-1 au wagon n+1 (cas défavorable) : 
t(n+1) = t(n) + 0,5*1 + 0,5*[1+t(n+1) - t(n-1)]
d'où t(n+1) = 2t(n) - t(n-1) + 2


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #67 - 17-11-2013 18:45:20

titoufred
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Promennos-nous dans le train

Voici l'explication du raisonnement oscillatoire de kossi en utilisant l'argument donné par Mathias :

J'appelle montée le passage d'un wagon en wagon supérieur. Hormis la montée du wagon 1 au wagon 2 qui est automatique, chacune des autres montées va être réussie en moyenne à la deuxième tentative.
Une promenade de durée moyenne est donc une promenade où chaque montée est réussie à la deuxième tentative. Pour chaque montée dans un wagon donné, on a donc un ratage, puis une réussite, puis un ratage, etc..

Voici un exemple de promenade de durée moyenne du wagon 1 au wagon 5 :

temps 00 : wagon 1 : montée automatique
temps 01 : wagon 2 : 1ère Tentative de montée en 3 (ratée)
temps 02 : wagon 1 : montée automatique
temps 03 : wagon 2 : 2ème Tentative de montée en 3 (réussie)
temps 04 : wagon 3 : 1ère Tentative de montée en 4 (ratée)
temps 05 : wagon 2 : 1ère Tentative de montée en 3 (ratée)
temps 06 : wagon 1 : montée automatique
temps 07 : wagon 2 : 2ème Tentative de montée en 3 (réussie)
temps 08 : wagon 3 : 2ème Tentative de montée en 4 (réussie)
temps 09 : wagon 4 : 1ère Tentative de montée en 5 (ratée)
temps 10 : wagon 3 : 1ère Tentative de montée en 4 (ratée)
temps 11 : wagon 2 : 1ère Tentative de montée en 3 (ratée)
temps 12 : wagon 1 : montée automatique
temps 13 : wagon 2 : 2ème Tentative de montée en 3 (réussie)
temps 14 : wagon 3 : 2ème Tentative de montée en 4 (réussie)
temps 15 : wagon 4 : 2ème Tentative de montée en 5 (réussie)
temps 16 : wagon 5 :

On se rend compte que l'on fait des allers-retours de plus en plus loin jusqu'à la montée finale.

 #68 - 17-11-2013 19:37:11

MthS-MlndN
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Promenons-nous dan sle train

fix33 a écrit:

Mathias, il me semble que là où tu t'es trompé dans ton raisonnement, c'est en considérant que, partant du wagon n, le temps moyen pour arriver au wagon n+1 la 2ème fois était le même que la 1ère fois.

Ca, j'avais compris. D'où mon auto-flagellation il y a quelques posts...


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 #69 - 17-11-2013 20:13:49

nodgim
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promenons-nouq dans le train

Merci Titou pour ton développement, mais je dois faire un blocage, je n'arrive tjs pas à assimiler les allers et retours de plus en plus longs avec le comportement hasardeux. Il y a un maillon qui m'échappe...

 #70 - 17-11-2013 22:05:13

fix33
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promenons-nous fans le train

Nodgim (je peux t'appeler Nodjuy ? smile), je ne sais pas si tu as vu mais l'exemple n'est pas pris au hasard : pour chaque tentative à 1 wagon donné, on a alternativement un échec et une réussite (conformément à la moyenne qu'on veut obtenir). Et il se trouve que ça amène à ce phénomène d’ascenseur.


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 #71 - 19-11-2013 16:13:51

masab
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promenons-nous dand le train

On note [latex]n[/latex] le nombre de wagons.

On note [latex]e_i[/latex] ([latex]1\leq i\leq n[/latex]) le vecteur colonne de longueur [latex]n[/latex], dont tous les éléments sont nuls sauf celui d'indice [latex]i[/latex] égal à [latex]1[/latex].

On note [latex]A[/latex] la matrice carrée d'ordre [latex]n[/latex] telle que
[TeX]A\,e_1=e_2\ ,\quad A\,e_n=0[/TeX][TeX]A\,e_i=\frac{e_{i-1}}{2}+\frac{e_{i+1}}{2}\quad\mathrm{ pour\ tout }\ 2\leq i\leq n-1[/TeX]
Soit [latex]k\in\mathrm{N}[/latex]. On note [latex]A^ke_1=(p_{i,k})[/latex]. Alors [latex]p_{i,k}[/latex] est la probabilité d'être dans le wagon [latex]i[/latex] au temps [latex]k[/latex] minutes.

Notons [latex]m[/latex] la durée moyenne en minutes de la promenade.
Alors [latex]m[/latex] est égale à la dernière coordonnée du vecteur
[TeX]V=\sum_{k=1}^{+\infty} k\,A^k\,e_1=
\sum_{k=1}^{+\infty} k\,A^{k-1}\,e_2=
(I_n-A)^{-2}\,e_2[/TeX]
On note [latex]B=(I_n-A)^{2}[/latex]. On a donc [latex]V=B^{-1}e_2\,[/latex].
[TeX]m[/latex] est donc le coefficient d'indice [latex](n,2)[/latex] de [latex]B^{-1}[/latex].

On note [latex]C[/latex] la matrice extraite de [latex]B[/latex] en supprimant la [latex]2^{\grave{e}me}[/latex] ligne et la dernière colonne. On a donc
                    [latex]m=(I_n-A)^{-2}[n,2]=(-1)^n\,\frac{\det C}{\det B}[/TeX]
Pour [latex]n=20[/latex]  on obtient ainsi [latex]m=361[/latex] minutes.

 #72 - 19-11-2013 17:39:18

titoufred
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Promnons-nous dans le train

Ok masab. Comment fais-tu en pratique pour calculer [latex]B[/latex] puis [latex]m[/latex] ? Le calcul est-il faisable pour [latex]n=100[/latex] ?

 #73 - 19-11-2013 18:19:55

nodgim
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promenons-nius dans le train

Personnellement, je préfère largement l'explication dite de l'ascenceur, ou oscillatoire, mais je ne suis pas satisfait par ce qui a  été avancé. Il manque dans cette explication un maillon, car on ne peut proposer ça directement comme preuve. Sauf si bien entendu ça satisfait tout le monde, car c'est le propre de la preuve de recevoir l'unanimité.

 #74 - 19-11-2013 21:03:13

fix33
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Promenon-nous dans le train

Mais tu as vu la démonstration de Francky (#30) ?


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 #75 - 19-11-2013 22:44:10

shadock
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Proomenons-nous dans le train

titoufred a écrit:

Ok masab. Comment fais-tu en pratique pour calculer [latex]B[/latex] puis [latex]m[/latex] ? Le calcul est-il faisable pour [latex]n=100[/latex] ?

A première vue le calcul pour n=100 ne se fait pas à la main, et avec un ordinateur et un programme correct ça doit prendre tout bonnement 3 secondes au maximum.

Quant au calcul pratique de B je ne vois pas ce qui a priori pose problème..., ou alors j'ai raté une étape du calcul. hmm


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

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