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#1 - 20-11-2013 13:44:42
- Sasorii
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Enigme chaussurse
Bonjour,
J'ai une enigme a vous proposer,
Jacques a quinze paire de chaussures, 15 gauches et 15 droites.
Il veut les déposer l'une a coté de l'autre sans qu'il y ait une intervalle de 10 chaussures contenant 5 gauches et 5 droites.
Exemple:
GGGGGGGGGGGGGGGDDDDDDDDDDDDDDD ==> La c'est pas bon parce que au milieu il ya une intervalle de 5 chaussure gauche et 5 droites.
La question:
Prouver moi mathematiquement que c'est impossible de les déposer l'une a coté de l'autre comme le veut Jacques.
#2 - 20-11-2013 18:40:44
- nodgim
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Enigme chasusures
Transformons G et D en unités + et -, comme 15+ et 15-, la somme algébrique totale est nulle. Un intervalle de 10 a une somme paire: avec j+i=10, j représentant les +, i représentant les -, Ij-iI est forcément paire car i et j sont de même parité. Si on décale un intervalle d'une unité (passer de 1/10 à 2/11 par exemple) on change la somme algébrique de 0, +2 ou -2.
Dans le 1er intervalle, il faut une somme S non nulle, sinon c'est fini. Si S+, alors la somme des 20 autres éléments est S-. Coupons en 2 intervalles: 11/20 et 21/30. L'un d'eux est forcément -, car on ne peut avoir ces 2 intervalles + avec une somme -. En partant de l'intervalle 1/10 qui est +, il faudra bien arriver à cet intervalle -. Or, comme on décale de 2 en 2 seulement, nécessairement, on devra passer par un O, donc une égalité de + et -.
CQFD
#3 - 20-11-2013 19:15:06
- Sasorii
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Enigme chausssures
C'est bien! ,
Sinon j et i sont égal a quoi enfaite?
Si d'autres ont une autre réponse, n'hésitez pas!
PS:
Tu peux m'expliquer ce passage:
Un intervalle de 10 a une somme paire: si j+et i- avec j>i dans cet intervalle, alors i- et i+ ont une somme nulle, et j-i=10-2i est paire, j et i de même parité.
Merci d'avance!
#4 - 20-11-2013 19:35:35
- nodgim
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enigme chaussyres
j et i sont les répartitions des + et des - dans un intervalle de 10, donc j+i=10. Par exemple 3+ et 7-. Tiens, en écrivant cela, je trouve une simplification pour démontrer que la somme algébrique est tjs paire. je corrige mon 1er msg en conséquence.
#5 - 20-11-2013 19:44:02
- Sasorii
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Eigme chaussures
nodgim a écrit:i et j sont de même parité.
Je comprends tout sauf ceci maintenant,
Merci beaucoup hein,
Enfaite je suis néerlandophone c'est pour ça, désolé ![big_smile](img/smilies/big_smile.png)
#6 - 20-11-2013 19:50:17
- nodgim
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Enigme chausssures
Si i+j=10 alors ils sont de même parité, non ? Si i pair, j également. Si i impair, j également. Donc j-i aussi.
#7 - 20-11-2013 20:17:42
- gwen27
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enigme cgaussures
En gros nodgim te dis que si tu as autant de chaussures gauches que de chaussures noires dans les dix premières, c'est perdu.
Donc il y en a plus ou moins et la différence est paire (somme égale à 10)
Dans les dix autres, la différence est la même mais inversée.
Si on décale les 10 d'un cran on a -2 0 ou +2 et donc pour passer de -n(pair) à +n(pair) de 2 en 2 on passe par 0.
#8 - 20-11-2013 20:29:25
- Klimrod
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Enigme chassures
Du coup, ce n'est pas seulement vrai pour un intervalle de 10 chaussures. C'est aussi vrai pour des intervalles de 8 chaussures contenant 4 gauches et 4 droites, ou bien des intervalles de 12 chaussures contenant 6 gauches et 6 droites, etc...
J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.
#9 - 20-11-2013 20:42:17
- gwen27
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enigme chaussutes
Exactement. ![smile](img/smilies/smile.png)
#10 - 20-11-2013 21:02:45
- Lui-meme
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enigme chaussires
Ca marche aussi avec des chaussettes ? ![lol](img/smilies/lol.png)
OK, je sors... ![cool](img/smilies/cool.png)
#11 - 23-11-2013 12:06:17
- nodgim
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Enigme cahussures
Klimrod a écrit:Du coup, ce n'est pas seulement vrai pour un intervalle de 10 chaussures. C'est aussi vrai pour des intervalles de 8 chaussures contenant 4 gauches et 4 droites, ou bien des intervalles de 12 chaussures contenant 6 gauches et 6 droites, etc...
C'est vrai pour un nombre quelconque de paires de chaussures quand l'intervalle est pair.
#12 - 23-11-2013 12:20:44
- titoufred
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#13 - 23-11-2013 12:51:41
- gwen27
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Enigme chuassures
Je ne crois pas non plus. Ca semble valable pour tout n plus petit ou égal à la moitié des paires mais pas au-dessus.
Exemple : GGGGG-DDDDDDDDDD-GGGGG pas moyen de faire plus de 5 et 5 (à part 10)
Donc pas d'intervalle de 12 14 16 ou 18.
#14 - 23-11-2013 19:03:08
- nodgim
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enigme chaussuees
Bien vu. Je m'imaginais à tort que la somme algébrique des intervalles devait être nulle. Grossière erreur !
#15 - 24-11-2013 16:11:33
- titoufred
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enugme chaussures
On a n paires de chaussures et l'on ne veut pas qu'il y ait un intervalle avec k gauches et k droites.
Pour quelles valeurs de k et n peut-on y arriver ?
#16 - 24-11-2013 18:13:09
- gwen27
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enigme vhaussures
pour tout k compris strictement entre n/2 et n
Dans ce cas il suffit de mettre une sorte de chaussure au milieu des autres pour y arriver.
pour k=n c'est trivialement impossible et pour k inférieur ou égal à n/2, la différence entre les deux passera par 0 en faisant glisser l'intervalle.
#17 - 24-11-2013 19:09:30
- titoufred
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enigme chausqures
Tu peux me dire comment tu fais pour k=3 et n=5 ?
#18 - 24-11-2013 19:17:21
- gwen27
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enigme chayssures
J'avais loupé le coup du "impair" C'est donc ent(n/2) +1 < k <n si n est impair. En gros, k doit être supérieur à la séparation de n en 2 parties les plus égales possibles.
#19 - 26-11-2013 10:06:16
- titoufred
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Eigme chaussures
Pas d'accord avec ça non plus.
#20 - 26-11-2013 17:48:14
- nodgim
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Enigme caussures
S'il y a 2n chaussures, il peut donc y avoir une séquence de n G ou n D consécutives. Si on ne veut aucune séquence de k G ou k D, alors il faut k>n. Ou alors j'ai mal compris la question posée.
#21 - 26-11-2013 18:28:53
- titoufred
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Engime chaussures
nodgim, c'est pour k fixé.
Par exemple, dans l'énoncé initial avec n=15 paires, si on met des intervalles de 8 à la place des intervalles de 10, est-ce possible ?
Et si on met des intervalles de 14 ? Et de 12 ? etc...
Quelles sont les valeurs de k qui font que c'est possible ?
J'ai ouvert un sujet sur cette généralisation pour ceux qui veulent essayer, c'est intéressant je trouve.
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