Enigmes

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 #1 - 20-11-2013 13:44:42

Sasorii
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 2
Messages : 6

enigme chzussures

Bonjour,

J'ai une enigme a vous proposer,

Jacques a quinze paire de chaussures, 15 gauches et 15 droites.

Il veut les déposer l'une a coté de l'autre sans qu'il y ait une intervalle de 10 chaussures contenant 5 gauches et 5 droites.

Exemple:

GGGGGGGGGGGGGGGDDDDDDDDDDDDDDD ==> La c'est pas bon parce que au milieu il ya une intervalle de 5 chaussure gauche et 5 droites.

La question:

Prouver moi mathematiquement que c'est impossible de les déposer l'une a coté de l'autre comme le veut Jacques.



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 #2 - 20-11-2013 18:40:44

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Enigmee chaussures

Transformons G et D en unités + et -, comme 15+ et 15-, la somme algébrique totale est nulle.
Un intervalle de 10 a une somme paire: avec j+i=10, j représentant les +, i représentant les -, Ij-iI est forcément paire car i et j sont de même parité. 
Si on décale un intervalle d'une unité (passer de 1/10 à 2/11 par exemple) on change la somme algébrique de 0, +2 ou -2.

Dans le 1er intervalle, il faut une somme S non nulle, sinon c'est fini. Si S+, alors la somme des 20 autres éléments est S-. Coupons en 2 intervalles: 11/20 et 21/30. L'un d'eux est forcément -, car on ne peut avoir ces 2 intervalles + avec une somme -.
En partant de l'intervalle 1/10 qui est +, il faudra bien arriver à cet intervalle -. Or, comme on décale de 2 en 2 seulement, nécessairement, on devra passer par un O, donc une égalité de + et -.

CQFD

 #3 - 20-11-2013 19:15:06

Sasorii
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 2
Messages : 6

Enigme haussures

C'est bien! big_smile,

Sinon j et i sont égal a quoi enfaite?

Si d'autres ont une autre réponse, n'hésitez pas!

PS:

Tu peux m'expliquer ce passage:

Un intervalle de 10 a une somme paire: si j+et i- avec j>i dans cet intervalle, alors i- et i+ ont une somme nulle, et j-i=10-2i est paire, j et i de même parité.

Merci d'avance!

 #4 - 20-11-2013 19:35:35

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

znigme chaussures

j et i sont les répartitions des + et des - dans un intervalle de 10, donc j+i=10. Par exemple 3+ et 7-.
Tiens, en écrivant cela, je trouve une simplification pour démontrer que la somme algébrique est tjs paire. je corrige mon 1er msg en conséquence.

 #5 - 20-11-2013 19:44:02

Sasorii
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 2
Messages : 6

Eniigme chaussures

nodgim a écrit:

i et j sont de même parité.

Je comprends tout sauf ceci maintenant,

Merci beaucoup hein,

Enfaite je suis néerlandophone c'est pour ça, désolé big_smile

 #6 - 20-11-2013 19:50:17

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

enihme chaussures

Si i+j=10 alors ils sont de même parité, non ?
Si i pair, j également. Si i impair, j également.
Donc j-i aussi.

 #7 - 20-11-2013 20:17:42

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Enigme chasusures

En gros nodgim te dis que si tu as autant de chaussures gauches que de chaussures noires dans les dix premières, c'est perdu.

Donc il y en a plus ou moins et la différence est paire (somme égale à 10)

Dans les dix autres, la différence est la même mais inversée.

Si on décale les 10 d'un cran on a -2 0 ou +2 et donc pour passer de -n(pair) à +n(pair) de 2 en  2 on passe par 0.

 #8 - 20-11-2013 20:29:25

Klimrod
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3766
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Enigme chaussurres

Du coup, ce n'est pas seulement vrai pour un intervalle de 10 chaussures.
C'est aussi vrai pour des intervalles de 8 chaussures contenant 4 gauches et 4 droites, ou bien des intervalles de 12 chaussures contenant 6 gauches et 6 droites, etc...


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #9 - 20-11-2013 20:42:17

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Enigme chhaussures

Exactement.  smile

 #10 - 20-11-2013 21:02:45

Lui-meme
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Messages : 2583
Lieu: Île de France

Enigmee chaussures

Ca marche aussi avec des chaussettes ? lol

OK, je sors... cool

 #11 - 23-11-2013 12:06:17

nodgim
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Enigme chassures

Klimrod a écrit:

Du coup, ce n'est pas seulement vrai pour un intervalle de 10 chaussures.
C'est aussi vrai pour des intervalles de 8 chaussures contenant 4 gauches et 4 droites, ou bien des intervalles de 12 chaussures contenant 6 gauches et 6 droites, etc...

C'est vrai pour un nombre quelconque de paires de  chaussures quand l'intervalle est pair.

 #12 - 23-11-2013 12:20:44

titoufred
Elite de Prise2Tete
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enigme chaussutes

Pas d'accord.

 #13 - 23-11-2013 12:51:41

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,471E+3

rnigme chaussures

Je ne crois pas non plus. Ca semble valable pour tout n plus petit ou égal à la moitié des paires mais pas au-dessus.

Exemple :
GGGGG-DDDDDDDDDD-GGGGG pas moyen de faire plus de 5 et 5 (à part 10)

Donc pas d'intervalle de 12 14 16 ou 18.

 #14 - 23-11-2013 19:03:08

nodgim
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Messages : 2953

enigmz chaussures

Bien vu. Je m'imaginais à tort que la somme algébrique des intervalles devait être nulle. Grossière erreur !

 #15 - 24-11-2013 16:11:33

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Engime chaussures

On a n paires de chaussures et l'on ne veut pas qu'il y ait un intervalle avec k gauches et k droites.

Pour quelles valeurs de k et n peut-on y arriver ?

 #16 - 24-11-2013 18:13:09

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,471E+3

Enime chaussures

pour tout k compris strictement entre n/2 et n

Dans ce cas il suffit de mettre une sorte de chaussure au milieu des autres pour y arriver.

pour k=n c'est trivialement impossible et pour k inférieur ou égal à n/2, la différence entre les deux passera par 0 en faisant glisser l'intervalle.

 #17 - 24-11-2013 19:09:30

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1746

Enige chaussures

Tu peux me dire comment tu fais pour k=3 et n=5 ?

 #18 - 24-11-2013 19:17:21

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,471E+3

Ennigme chaussures

J'avais loupé le coup du "impair" C'est donc ent(n/2) +1 < k <n si n est impair.
En gros, k doit être supérieur à la séparation de n en 2 parties les plus égales possibles.

 #19 - 26-11-2013 10:06:16

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Enigem chaussures

Pas d'accord avec ça non plus.

 #20 - 26-11-2013 17:48:14

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Enigme chauussures

S'il y a 2n chaussures, il peut donc y avoir une séquence de n G ou n D consécutives. Si on ne veut aucune  séquence de k G ou k D, alors il faut k>n.
Ou alors j'ai mal compris la question posée.

 #21 - 26-11-2013 18:28:53

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

EEnigme chaussures

nodgim, c'est pour k fixé.

Par exemple, dans l'énoncé initial avec n=15 paires, si on met des intervalles de 8 à la place des intervalles de 10, est-ce possible ?

Et si on met des intervalles de 14 ? Et de 12 ? etc...

Quelles sont les valeurs de k qui font que c'est possible ?

J'ai ouvert un sujet sur cette généralisation pour ceux qui veulent essayer, c'est intéressant je trouve.

 

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