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 #1 - 19-12-2013 23:31:26

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 143

Une réunino au sommet

[TeX]R[/latex] est un rectangle réunion quasi-disjointe de [latex]n [/latex] rectangles [latex]r_i[/latex] : [latex]R=\bigcup_{i = 1}^n r_i\[/TeX]
Chaque rectangle [latex]r_i[/latex] a un coté de longueur entière, montrer qu'il en est de même pour [latex]R[/latex]


Bonne chance wink



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 #2 - 20-12-2013 00:35:29

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 166

Une réunnion au sommet

Publicité pour cette énigme :


C'est un joli problème qui sonne comme un exercice de math à  faire en devoir maison...
Mais il existe tellement de méthodes astucieuses (Spoiler : [Afficher le message] Fubini, invariance de l'aire dans le plan... ) pour en trouver la réponse que cette énigme a complétement sa place par ici. Je dois avouer que je suis très curieux de lire ce que vont écrire les chercheurs du site... Ils vont nous régaler de leurs pistes originales...cool

 #3 - 20-12-2013 13:52:23

ash00
Sage de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,565E+3

une réunion au spmmet

On attendra une quinzaine de jours avant de réouvrir ce topic.
C'est peut-être un devoir... on verra ce qu'il en est en 2014.

En attendant, on ferme !


EDIT : On ré-ouvre !
Le posteur m'ayant donné une réponse en privé !

Faites-vous plaisir ! lol

 #4 - 24-12-2013 22:19:34

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3311

Une réunion au somme

Ca veut dire quoi, quasi-disjointe? big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #5 - 25-12-2013 10:28:51

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Une réunion au sommett

shadock a écrit:

Ca veut dire quoi, quasi-disjointe? big_smile

A-priori leurs intersections sont des segments ?

 #6 - 25-12-2013 10:48:07

Lui-meme
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2578
Lieu: Île de France

Une rénion au sommet

Je n'y connais ni n'y comprend rien, mais il en est question dans ce document au chapitre 2 - Intégrales doubles.

Aller, je m'éclipse et vous laisse entre pros des maths!

http://perso.univ-rennes1.fr/frederic.t … double.pdf

 #7 - 25-12-2013 12:08:20

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

une réinion au sommet

Bonjour

Le problème a déjà été évoqué ici http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=9419

Vasimolo

 #8 - 25-12-2013 13:30:04

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Une réuion au sommet

J'aimerais bien tout de même savoir s'il existe une preuve abordable.
Vasimolo ?

 #9 - 25-12-2013 15:07:40

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 143

nUe réunion au sommet

Voici la solution que je vous propose :

Spoiler : [Afficher le message]
Préliminaires :

Soit [latex][a,b] \times [c,d][/latex] un rectangle

Soit [latex]f[/latex] la fonction définie par [latex]f(x,y)= \mathrm e^{2i \pi (x+y)}[/latex]

L'application du théorème de Fubini permet d'écrire :
[TeX]\int_a^b \int_c^d f(x,y) \, \mathrm dy \mathrm dx = \int_a^b \int_c^d \mathrm e^{2i \pi x} \mathrm e^{2i \pi y} \, \mathrm dy \mathrm dx = \int_a^b \mathrm e^{2i \pi x} \, \mathrm dx \int_c^d \mathrm e^{2i \pi y} \, \mathrm dy[/TeX]
Et [latex]\int_a^b \mathrm e^{2i \pi x} \, \mathrm dx = [\frac{\mathrm e^{2i \pi x}}{2i \pi}]_a^b = \frac{\mathrm e^{2i \pi b} - \mathrm e^{2i \pi a}}{2i \pi} = \frac{\mathrm e^{2i \pi a}}{2i \pi} (\mathrm e^{2i \pi (b-a)}-1)[/latex]

De même [latex]\int_c^d \mathrm e^{2i \pi y} \, \mathrm dy = \frac{\mathrm e^{2i \pi c}}{2i \pi} (\mathrm e^{2i \pi (d-c)}-1)[/latex]

Les intégrales [latex]\int_a^b \mathrm e^{2i \pi x} \, \mathrm dx[/latex] et [latex]\int_c^d \mathrm e^{2i \pi y} \, \mathrm dy[/latex] sont respectivement nulles si [latex]b-a \in \mathbb{N}[/latex] et [latex]d-c \in \mathbb{N}[/latex] car alors [latex]\mathrm e^{2i \pi x} = 1[/latex] et [latex]\mathrm e^{2i \pi y} = 1[/latex]

Par conséquent [latex]\int_a^b \int_c^d f(x,y) \, \mathrm dy \mathrm dx = 0 \Longleftrightarrow b-a \in \mathbb{N}[/latex] et/ou [latex]d-c \in \mathbb{N}[/latex]

Application :

Chaque rectangle [latex]r_i[/latex] ayant un coté de longueur entière [latex]\int \int_{r_i} f(x,y) \, \mathrm dy \mathrm dx = 0  \forall  r_i[/latex]

Et comme [latex]R[/latex] est la réunion quasi-disjointe des [latex]r_i[/latex] : [latex]\int \int_{R} f(x,y) \, \mathrm dy \mathrm dx = \sum_{i=1}^n \int \int_{r_i} f(x,y) \, \mathrm dy \mathrm dx = 0[/latex]

Donc R a un coté de longueur entière.


Ce n'est sans doute pas la plus évidente mais elle reste abordable techniquement tongue

 #10 - 25-12-2013 16:24:51

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Une réunion au somet

Pas de preuve arithmétique ?
Parce que celle là, je ne la classe pas vraiment dans la catégorie des simples. Enfin, pour mon niveau en tout cas.

 #11 - 25-12-2013 16:36:13

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Une réunio nau sommet

shadock a écrit:

Ca veut dire quoi, quasi-disjointe? big_smile

Quasi-disjoints = leurs intérieurs sont disjoints. En gros, leur intersection est vide ou ne se fait que sur un côté.

Pas d'idée de démo arithmétique de mon côté... mais, genre, vraiment aucune.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #12 - 25-12-2013 19:50:34

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Un réunion au sommet

C'est étonnant. Pas d'idée non plus alors que ça parait évident quand on cherche des contre-exemples. Mais il y a tellement de cas imbriqués qu'on trouve toujours un contre-exemple au contre-exemple.

(un peu comme ce problème de la demi-surface d'un carré pavé, je ne sais plus où)

 #13 - 25-12-2013 20:11:50

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Uen réunion au sommet

J'ai peut-être un début d'idée, même si je ne sais pas si elle est valable mathématiquement.

(Je vais oublier pour l'exemple les dimensions de type PI... )

1) On prend des dimensions de type 0,5 - 1 - 1,5 - 2 - 2,5...
On a une maille de 1/2

Chaque rectangle unitaire a donc une surface de (2n)*m avec n et m entiers peu importe ... mais le nombre de mailles sera pair.

La surface totale sera donc y*x mailles  (x et y entiers)  avec un des deux forcément pair. Un des côté aura donc un nombre pair de mailles.

Si on considère la maille minimale (qu'elle soit de 1/3, 1/4 ou 1/k )  qui permet de paver chaque rectangle, ça marche. Après, je ne vois pas comment pousser le raisonnement pour des nombres comme PI ou Racine(2) mais ça marche clairement pour tous les rationnels si on part du ppcm k des ratios.

 #14 - 25-12-2013 22:42:37

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3311

Une rééunion au sommet

Avant toute chose, par souci de simplicité en LaTeX les intégrales multiples s'écrivent avec un nombre de i égal au nombre d'intégrale

Code:

\iint_R f(x,y)dxdy

donne [latex]\iint_R f(x,y)dxdy[/latex] j'ai donc légèrement modifié le message de Sydre smile

Sydre a écrit:

Application :

Chaque rectangle [latex]r_i[/latex] ayant un coté de longueur entière [latex]\forall  r_i\text{, }\iint_{r_i} f(x,y) \, \mathrm dy \mathrm dx = 0[/latex]

Et comme [latex]R[/latex] est la réunion quasi-disjointe des [latex]r_i[/latex] : [latex]\iint_{R} f(x,y) \, \mathrm dy \mathrm dx = \sum_{i=1}^n \iint_{r_i} f(x,y) \, \mathrm dy \mathrm dx = 0[/latex]

Donc R a un coté de longueur entière.

Ma question est :
La solution est-elle valable si n tend vers l'infini ?


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #15 - 26-12-2013 00:52:30

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 143

une réunion ai sommet

n est muet dans l'expression de la somme donc il n'y a pas de problème en [latex]+\infty[/latex] !

 #16 - 26-12-2013 10:22:38

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

une réunoon au sommet

Mais le problème de base ne fait plus grand sens si n tend vers l'infini.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #17 - 26-12-2013 14:19:46

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3311

Une réuion au sommet

Moi ce qui m’intéresse si n tend vers l'infini c'est de savoir si il y a un théorème comme le théorème d'intégration sous le signe somme qui existe pour les intégrales doubles?


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

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