On attendra une quinzaine de jours avant de réouvrir ce topic.
C'est peut-être un devoir... on verra ce qu'il en est en 2014.

En attendant, on ferme !


EDIT : On ré-ouvre !
Le posteur m'ayant donné une réponse en privé !

Faites-vous plaisir !

shadock a écrit:

Ca veut dire quoi, quasi-disjointe?

A-priori leurs intersections sont des segments ?

Bonjour

Le problème a déjà été évoqué ici http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=9419

Vasimolo

Voici la solution que je vous propose :

Spoiler : [Afficher le message]
Préliminaires :

Soit [latex][a,b] \times [c,d][/latex] un rectangle

Soit [latex]f[/latex] la fonction définie par [latex]f(x,y)= \mathrm e^{2i \pi (x+y)}[/latex]

L'application du théorème de Fubini permet d'écrire :
[TeX]\int_a^b \int_c^d f(x,y) \, \mathrm dy \mathrm dx = \int_a^b \int_c^d \mathrm e^{2i \pi x} \mathrm e^{2i \pi y} \, \mathrm dy \mathrm dx = \int_a^b \mathrm e^{2i \pi x} \, \mathrm dx \int_c^d \mathrm e^{2i \pi y} \, \mathrm dy[/TeX]
Et [latex]\int_a^b \mathrm e^{2i \pi x} \, \mathrm dx = [\frac{\mathrm e^{2i \pi x}}{2i \pi}]_a^b = \frac{\mathrm e^{2i \pi b} - \mathrm e^{2i \pi a}}{2i \pi} = \frac{\mathrm e^{2i \pi a}}{2i \pi} (\mathrm e^{2i \pi (b-a)}-1)[/latex]

De même [latex]\int_c^d \mathrm e^{2i \pi y} \, \mathrm dy = \frac{\mathrm e^{2i \pi c}}{2i \pi} (\mathrm e^{2i \pi (d-c)}-1)[/latex]

Les intégrales [latex]\int_a^b \mathrm e^{2i \pi x} \, \mathrm dx[/latex] et [latex]\int_c^d \mathrm e^{2i \pi y} \, \mathrm dy[/latex] sont respectivement nulles si [latex]b-a \in \mathbb{N}[/latex] et [latex]d-c \in \mathbb{N}[/latex] car alors [latex]\mathrm e^{2i \pi x} = 1[/latex] et [latex]\mathrm e^{2i \pi y} = 1[/latex]

Par conséquent [latex]\int_a^b \int_c^d f(x,y) \, \mathrm dy \mathrm dx = 0 \Longleftrightarrow b-a \in \mathbb{N}[/latex] et/ou [latex]d-c \in \mathbb{N}[/latex]

Application :

Chaque rectangle [latex]r_i[/latex] ayant un coté de longueur entière [latex]\int \int_{r_i} f(x,y) \, \mathrm dy \mathrm dx = 0  \forall  r_i[/latex]

Et comme [latex]R[/latex] est la réunion quasi-disjointe des [latex]r_i[/latex] : [latex]\int \int_{R} f(x,y) \, \mathrm dy \mathrm dx = \sum_{i=1}^n \int \int_{r_i} f(x,y) \, \mathrm dy \mathrm dx = 0[/latex]

Donc R a un coté de longueur entière.


Ce n'est sans doute pas la plus évidente mais elle reste abordable techniquement

shadock a écrit:

Ca veut dire quoi, quasi-disjointe?

Quasi-disjoints = leurs intérieurs sont disjoints. En gros, leur intersection est vide ou ne se fait que sur un côté.

Pas d'idée de démo arithmétique de mon côté... mais, genre, vraiment aucune.

J'ai peut-être un début d'idée, même si je ne sais pas si elle est valable mathématiquement.

(Je vais oublier pour l'exemple les dimensions de type PI... )

1) On prend des dimensions de type 0,5 - 1 - 1,5 - 2 - 2,5...
On a une maille de 1/2

Chaque rectangle unitaire a donc une surface de (2n)*m avec n et m entiers peu importe ... mais le nombre de mailles sera pair.

La surface totale sera donc y*x mailles  (x et y entiers)  avec un des deux forcément pair. Un des côté aura donc un nombre pair de mailles.

Si on considère la maille minimale (qu'elle soit de 1/3, 1/4 ou 1/k )  qui permet de paver chaque rectangle, ça marche. Après, je ne vois pas comment pousser le raisonnement pour des nombres comme PI ou Racine(2) mais ça marche clairement pour tous les rationnels si on part du ppcm k des ratios.

n est muet dans l'expression de la somme donc il n'y a pas de problème en [latex]+\infty[/latex] !

Moi ce qui m’intéresse si n tend vers l'infini c'est de savoir si il y a un théorème comme le théorème d'intégration sous le signe somme qui existe pour les intégrales doubles?