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 #1 - 15-12-2012 12:37:55

DrMath
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 12

Equation de la droite deuler

Salut,

Je recherche les coordonnées cartésiennes des sommets d'un triangle dont la droite d'euler a pour équation 30x+30=y.

Pour cela, j'ai cherché à trouver une équation générale de la droite d'Euler d'un triangle ABC avec A(a,d) B(b,e) C(c,f).

J'ai fais pas mal de calcul  mais j'arrive à un monstre d'équation qu'il sera compliqué de résoudre pour trouver ce que je cherche. Soit je me goure, soit je me suis trompé d'angle d'attaque.

En gros, j'obtiens ceci:

y= ((-a/3-b/3-c/3+x)  (-((b-a)  (a b-a c-b c-d f+c^2+f^2+e d-e f))/(b f+c d-a f-b d+e a-e c)+(2 f)/3-d/3-e/3)  ((e-d)  (b-c)+(e-f)  (a-b) ))/((d b^2)/3+(f a^2)/3-(d c^2)/3-(f b^2)/3+f d^2-d f^2+(2 a c d)/3+(2 b c f)/3-(2 a b d)/3-(2 a c f)/3+(2 e a b)/3-(2 e b c)/3+(e c^2)/3-(e a^2)/3+e f^2-e d^2+e^2  d-e^2  f)+d/3+f/3+e/3

En gros si vous avez des idées, je prends...

Merci d'avance à ceux qui se casseront un peu la tête :-)


PS: Si vous vous demandez pourquoi je recherche ça, ce n'est pas très compliqué. Un ami aura 30ans la semaine prochaine et un des défis qu'il aura à faire lors de sa soirée sera de résoudre 30 énigmes mathématiques de niveau secondaire (voire un peu +). Toutes ses énigmes doivent faire apparaître le nombre 30. Con et flippant mais il "kiffera" :-D



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 #2 - 15-12-2012 14:43:00

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Equatio de la droite d'euler

Il y a beaucoup plus simple je pense : Cherche juste à trouver les coordonnées du point C du triangle ABC tel que A et B soient fixés !
avec A(-2;0), B(2;0) et C(c;f) :

Le centre de gravité G a pour coordonnées :
G[(a+b+c)/3;(d+e+f)/3] = G[c/3;f/3]

or G appartient à ta droite (d):30x+30=y

Donc 30c+90=f

Ensuite calcule les coordonnées du centre O du cercle circonscrit :
O appartient à la médiatrice de [AB] donc xO=0
également à la médiatrice de [AC]. Vecteur AC-> : (c+2;f)
Equation d'un vecteur normal à AC-> : (-f;c+2)
Coef directeur de la médiatrice de [AC] : -(c+2)/f

Or cette médiatrice passe par le milieu I de [AC]: I[(c+2)/2;f/2)]
Donc la médiatrice a pour équation : y=-(c+2)x/f+f/2+(c+2)²/(2f)

Or xO=0 donc yO=f/2+(c+2)²/(2f)

Et O appartient à la droite d'Euler : 30x+30=y donc f/2+(c+2)²/(2f)=30

Comme f=30c+90 :

15c+45+(c+2)²/(60c+180)=30
c²+4c+4=60(-15-15c)(c+3)
c²+4c+4=-900(c+1)(c+3)=-900(c²+4c+3)
901c²+3604c+2704=0

Enfin voilà l'idée, reste à voir si je n'ai pas fait d'erreurs de calculs qui restent d'ailleurs à terminer !

 #3 - 16-12-2012 00:48:20

DrMath
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 12

Equation d ela droite d'euler

Merci. Je comprends effectivement le raisonnement qui est plus simple en fixant 2 points. Maintenant, je ne comprends pas bien le raisonnement avec les vecteurs que j'ai peu l'habitude d'utiliser. Qu'entend-on par vecteur normal ?

Bref, sinon je trouve un point C situé en (-2+30/√901,(900 √901)/901+30). Je dois maintenant vérifier que cela fonctionne bien.

Maintenant, il serait intéressant de réfléchir si ayant des coefficients entiers pour l'équation de la droite d'euler, s'il est possible de trouver des coordonnées entières pour les sommets. Mais je deviens gourmand.

Encore merci :-)


Edith m'a forcé à creuser pour obtenir le même résultat sans passer par les vecteurs. Mais ça m'intéresse quand même de savoir :-D

 #4 - 16-12-2012 00:56:10

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

equation de la droite f'euler

Un vecteur normal est un vecteur orthogonal, perpendiculaire quoi wink

 #5 - 16-12-2012 11:02:18

DrMath
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 12

Equation e la droite d'euler

Merci :-)

 #6 - 16-12-2012 11:19:08

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

equation dz la droite d'euler

Et François Hollande est un président orthogonal. smile


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #7 - 16-12-2012 11:36:02

DrMath
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 12

Equation de lla droite d'euler

Mdr. En refaisant les calcul j'ai quand même trouver une petite erreur.

Or cette médiatrice passe par le milieu I de [AC]: I[(c+2)/2;f/2)]

C'est plutôt I[(c-2)/2;f/2)] puisque A est en (-2,0). Non ?

 #8 - 16-12-2012 20:16:09

DrMath
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 12

Equuation de la droite d'euler

Si jamais ca intéresse des gens, j'ai continué mes calculs pour voir si je pouvais trouver des coordonnées entières et j'ai trouvé. La réponse à ma question plus haut était donc "oui".

Les coordonnées des sommets du triangle dont la droite d'euler a pour équation y=30x+30 peuvent être: A(-960,0) B(960,0) C(30,990)

Au plaisir et encore merci pour l'aide. wink

 #9 - 16-12-2012 20:41:47

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

equatiin de la droite d'euler

Exact DrMath, ta correction est juste. Et bravo pour les coordonnées entières ! wink

 

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