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 #1 - 12-09-2010 23:01:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâetau 33

Il m'aura fallu du temps mais j'ai réussi à coincer mon tourmenteur tonguetonguetongue

J’ai commandé à mon pâtissier un clafoutis emballé dans une boîte en forme de prisme dont la base doit être un quadrilatère . L’aire du quadrilatère doit être 8 dm²  , la somme de ses diagonales doit faire  8 dm et l’un de ses côtés doit être le double d’un autre . Le clafoutis devra bien sûr toucher les quatre côtés de la boîte .

http://img40.imageshack.us/img40/7512/sanstitrefn.png

Quel devra être le diamètre du clafoutis désiré ? La valeur exacte en cm est souhaitée mais une valeur approchée avec neuf chiffres significatifs vous permettra de contrôler votre résultat dans la case réponse .

Mon pâtissier sèche sur ce problème depuis une semaine et ce n’est pas moi qui irai l’aider , et vous ???

C'est un gâteau fait maison et ce n'est pas de la tarte alors avis aux amateurs smile
 
Vasimolo

PS : Je donnerai des indices mais je laisse d'abord une chance aux as du forum smile

Indice 1 : Spoiler : [Afficher le message] en utilisant uniquement l'indice sur la somme des diagonales on peut trouver un majorant ( simple ) du produit des diagonales . 

Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message] En utilisant l'indice 1 , montrer que les diagonales sont égales et perpendiculaires .

Indice 3 : Spoiler : [Afficher le message] Le quadrilatère admet un cercle inscrit et ce n'est pas sans conséquence sur la somme des côtés opposés

Indice 4 : Spoiler : [Afficher le message] La base de la boîte est un cerf-volant . 



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 #2 - 13-09-2010 00:06:03

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Gââteau 33

J'ai fait une serie de calcul et obtient 20\sqrt{11} pour le diametre. Y'a qu'un p'tit probleme : le cercle inscrit n'est pas tangent au 4 cotes...oups
Le gato n'est probablement pas symetrique... la suite demain


The proof of the pudding is in the eating.

 #3 - 13-09-2010 06:40:26

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

fâteau 33

mmmh....
problème interessant, je vais y reflechir ce soir!!!!


Un promath- actif dans un forum actif

 #4 - 13-09-2010 22:47:38

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâeau 33

J'ai ajouté un indice qui correspond à la méthode que j'ai utilisée pour determiner le diamètre .

J'ai souvent vu pour les énigmes que j'ai proposées des solutions bien plus malines et plus courtes que les miennes alors n'hésitez pas à explorer d'autres voies si le coeur vous en dit smile

Vasimolo

 #5 - 13-09-2010 23:26:48

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

âGteau 33

J'ai souvent vu pour les énigmes que j'ai proposées des solutions bien plus malines et plus courtes que les miennes

tu es trop bon avec nous ;-)


http://enigmusique.blogspot.com/

 #6 - 13-09-2010 23:30:29

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Gâtaeu 33

J'ai finalement trouvé une solution. Cette solution a été trouvée à partir de deux hypothèses: les diagonales sont perpendiculaires et les cotés c et 2c sont adjacents.

----
EDIT 14.09.10
un MP me signale que je dois me remettre au travail !
Effectivement, il n'est pas très compliqué de prouver que la solution trouvée par tâtonnement est en fait l'unique solution.

La somme des diagonales est 80. Dans le meilleur des cas, lorsque les diagonales sont perpendiculaires, l'aire de la boite à gato est égale à la moitié du produit des diagonales.
soit D1=x, D2=x-80 => A=x(80-x)/2
A est maximum quand 80-2x=0=> x=40 => Amax = 800 cm²

C'est justement ce qui est demandé au pâtissier (auquel je file un coup de main, juste pour ennuyé Vasimolo et ainsi avoir un nouveau challenge). Les diagonales doivent chacune mesurées 40cm et doivent être diagonales.

Pourquoi allez-vous me demander l'aire est maximum lorsque les diagonales sont perpendiculaires. La plus simple solution est sans doute visuelle. Il suffit de tracer un quadrilatère avec des diagonales non perpendiculaires pour avoir l'impression de ne pas le voir de face !

FIN D'EDIT
-----
J'ai toutes les valeurs de la boite mais je peine un peu pour calculer le rayon du clafoutis. mais bon voila ce que j'ai;




la présentation s’améliorera avec la pratique tongue

----
EDIT 14.09.10 (suite et fin)
Note: je n'avais pas lu l'indice et avait bien fait lol
Si le coeur vous en dit pour pouvez poursuivre le calcul. lol
le rayon du cercle est la hauteur du triangle 40/3 , le côté [latex]c[/latex] et du morceau de bissectrice. Cette dernière a pour valeur [latex]a=\frac{40(\sqrt7-1)}{3}[/latex]
La formule pour la hauteur est
[TeX]\frac{\sqrt{4a^2b^2-(c^2-b^2-a^2)^2)}}{2c}[/TeX]
b et c étant donnés dans le schéma.

La compteuse me donne finalement une valeur pour le diamètre:
26.0695672914089 cm [overheating brain smiley]


The proof of the pudding is in the eating.

 #7 - 14-09-2010 23:46:32

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

fâteau 33

Franck avance à grand pas ( ça reste quand même un peu compliqué ) .

J'ajoute un deuxième indice smile

Vasimolo

 #8 - 15-09-2010 00:00:08

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Gâteau 333

i agree big_smile


The proof of the pudding is in the eating.

 #9 - 16-09-2010 18:31:24

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâeau 33

Je viens d'ajouter un troisième indice qui j'espère , inspirera certains smile

Vasimolo

 #10 - 17-09-2010 17:00:34

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

fâteau 33

VA-SI-MO-LO!
Relis ton post et tu remarqueras
Je viens d'ajouté hem hem,
Tu pourrais juste corriger cette faute s'il te plaît?tongue


Un promath- actif dans un forum actif

 #11 - 17-09-2010 23:31:18

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteeau 33

J'ai corrigé , maintenant plus rien ne t'empêche de résoudre le problème smile

Vasimolo

 #12 - 18-09-2010 20:14:16

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtea u33

J'ai ajouté un dernier indice smile

Vasimolo

 #13 - 19-09-2010 07:21:38

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Gâtau 33

yes, j'ai trouvé 2,775cm de diamètre c'est ca?


Un promath- actif dans un forum actif

 #14 - 21-09-2010 19:36:40

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

âteau 33

Une solution détaillée smile

On note [latex]x , y , z , t[/latex] les côtés du quadrilatère , [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] les diagonales et [latex]\hat{a}[/latex] l'angle qu'elles forment .
On a [latex]0\leq (a-b)^2\leq (a+b)^2-4ab\leq 64-4ab[/latex] donc [latex]ab \leq 16 [/latex] avec égalité si et seulement si [latex]a=b=4[/latex] .

Si [latex]A[/latex] est l'aire du quadrilatère : [latex]16=2A=ab\sin\hat{a}\leq 16\sin\hat{a}[/latex] .

Donc [latex]\hat{a}=90^\circ[/latex], les diagonales sont égales et perpendiculaires .
http://img827.imageshack.us/img827/5063/inscrit.jpg

Dans un quadrilatère admettant un cercle inscrit les sommes des côtés opposés sont égales donc [latex]x+z=y+t[/latex] .

En utilisant la propriété de Pythagore :

http://img821.imageshack.us/img821/7070/perpendiculaires.jpg
[TeX]\sqrt{k^2+m^2}+\sqrt{l^2+n^2}=\sqrt{k^2+n^2}+\sqrt{l^2+m^2}[/TeX]
En élevant au carré et en simplifiant : [latex](k^2-l^2)(n^2-m^2)=0[/latex]

Donc l'une des diagonales est coupée au milieu par l'autre c'est à dire que le quadrilatère est un cerf-volant .

On a par exemple [latex]z=t=2x=2y[/latex] .

Plaçons nous dans un demi-cerf-volant :
http://img180.imageshack.us/img180/5292/rayons.jpg
L'aire du triangle : [latex]A=4=\frac{3Rx}{2}[/latex] donc [latex]R=\frac{8}{3x}[/latex] .

En utilisant à nouveau deux fois la propriété de Pythagore :
[TeX]2\sqrt{d^2+4}=\sqrt{(4-d^2)+4}[/latex] et en élevant au carré on obtient une équation du deuxième degré : [latex]3d^2+8d-4=0[/TeX]
[latex]d=\frac{2\sqrt{7}-4}{3}[/latex]  , [latex]x=\frac{4}{3}\sqrt{5-\sqrt{7}}[/latex] et [latex]D=\frac{2}{3}\sqrt{10+2\sqrt{7}}[/latex] .

Merci à ceux qui ont essayé et bravo à Franck smile

Vasimolo

 

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