Enigmes

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 #26 - 08-01-2015 19:22:47

gwen27
Elite de Prise2Tete
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gâtezu 88

Il n'y a pas trop de solution générale mais la tienne a été démontrée optimale si on a des cercles de rayon 8 dans un carré  de 24 pour tenir compte des contraintes de l'énoncé.

http://www2.stetson.edu/~efriedma/cirinsqu/

Après, se pose la question de savoir si le cercle est une forme optimale, vu que des répartitions irrégulières sont parfois plus performantes avec cette forme....

#0 Pub

 #27 - 08-01-2015 19:27:14

fix33
Elite de Prise2Tete
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Gâetau 88

Ok, c'est une fois de plus bâclé,  mais il doit y avoir la place dans ton dessin pour 4 cercles de diamètre (racine (2)- 1). Mieux on peut agrandir en suivant la courbe des cercles distants (croix faite d'arcs de cercle)...
Beh non en fait !


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #28 - 08-01-2015 19:45:58

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Gâtaeu 88

J'aime bien le dessin de Gwen, j'avais fait le même à peu de chose près ^^

 #29 - 08-01-2015 22:41:54

Vasimolo
Le pâtissier
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gâtrau 88

Je vois que personne n'a fait mieux que moi smile

Je me suis amusé à trouver une borne supérieure de l'aire nappée ne serait-ce que pour démentir les affirmations de Nodgim .

On considère un nappage maximal du carré 20X20 (en jaune ) ci dessous :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-Essai1.png

L'image du nappage N par les translations U et V de vecteurs u et v est contenue dans l'octogone d'aire 40(12+rac(3)) ci-dessus . On voit aisément que N , U(N) et V(N) sont disjoints donc l'aire nappée est inférieure à 40(12+rac(3))/3 ce qui représente environ 46% du carré initial.

Une illustration appliquée à la figure initiale pour montrer que la majoration est particulièrement grossière :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-Essai2.png

Merci aux participants .

Il n'est pas interdit de continuer à chercher smile

Vasimolo

 #30 - 09-01-2015 15:25:29

fix33
Elite de Prise2Tete
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Gâtea u88

On voit aisément que N , U(N) et V(N) sont disjoints

Je ne comprends pas pourquoi. Tu pars du principe que N a quelle forme et quelle taille ?
OK, s'il s'agit d'un disque de rayon 2, mais il ne me semble pas qu'on ait prouvé que cette forme était optimale. C'est certes tentant...
Quoi qu'il en soit, chapeau de trouver encore et encore des problèmes aussi intéressants ! smile


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #31 - 09-01-2015 18:16:34

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteeau 88

Le fait que N , U(N) et V(N) sont disjoints ne dépend pas de la forme du coulis .

On va essayer de l'expliquer sans Latex :

On a ||u||=||v||=||u-v||=4 .

Si x € N et x € U(N) alors il existe y € N tel que x=U(y) , alors d(x,y)=4 .

Si x € N et x € V(N) alors il existe y € N tel que x=V(y) , alors d(x,y)=4 .

Si x € U(N) et x € V(N) alors il existe y € N et z € N tels que x=U(y)=V(z) , alors z=V^-1 o U(y) donc d(y,z)=4 .

C'est donc impossible dans les trois cas .

Vasimolo

 #32 - 09-01-2015 19:34:56

nodgim
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gâreau 88

Vasimolo, je ne sais pas si on se comprend bien, mais ton dessin ne correspond pas du tout à ce que j'ai décrit. Je ne comprends pas les ronds de 3 couleurs différentes, et encore moins le calcul associé. Mon nappage correspond à une grosse tàche centrale unitaire de forme presque carrée. Toutes les autres tàches sont très petites et sur le pourtour.

 #33 - 09-01-2015 19:39:44

Franky1103
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Gâetau 88

Il semble en effet que seul Vasimolo comprenne ses propres énigmes lol

 #34 - 09-01-2015 19:41:20

golgot59
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Gâtea u88

Hummm, j'avoue que j'ai du mal à comprendre les explication de nodgim moi aussi.

Nodgim, tu pourrais faire un dessin de quelque chose d'approchant ?

(Mieux que des mots : Une démo !) smile

 #35 - 09-01-2015 19:42:28

gwen27
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hâteau 88

DANS ta grosse tache unitaire, aucun des points de la tache n'est distant de 4 cm d'un autre ?

Parce que sinon, la tache n'a pas plus que la superficie d'un cercle de rayon 2

 #36 - 09-01-2015 20:07:26

nodgim
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Gâtau 88

La grosse tache carrée au centre s'arrête à un peu plus de 4 cm du bord. Elle a donc une superficie de (20-2*4)²=12²=144. Comparée au 20²=400, Elle occupe donc 144/400=36% de la superficie totale. Ensuite, rien de plus facile que de mettre 16 petites tàches sur le pourtour.
N'est ce pas clair ?

 #37 - 09-01-2015 20:09:59

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Gâteaau 88

Non, car DANS ta tache il y a des points distants de 4 cm entre eux, et c'est interdit par l'énoncé (une fois qu'on le comprend lol )

 #38 - 09-01-2015 20:15:07

gwen27
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gâteai 88

OK ! Tu assimile ta tache à 1 points , Vasimolo l'assimile à un ensemble de points.

 #39 - 09-01-2015 20:17:27

nodgim
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gâyeau 88

Mais pourquoi veux tu éclater ma grosse tàche carrée ? Ma grosse tàche carrée est du coulis, c'est une tàche. ça fait quand même un moment que je demande de clarifier les contraintes, on a assez dit qu'on était libre sur la taille et la forme des taches. Alors je choisis un grosse tache carrée au centre.

 #40 - 09-01-2015 20:19:04

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Gâteua 88

OK je viens de comprendre.

 #41 - 09-01-2015 20:28:01

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4773

gâteay 88

Franky1103 a écrit:

Il semble en effet que seul Vasimolo comprenne ses propres énigmes lol

Je vois bien que c'est un trait d'humour et je sais qu'il m'arrive d'être un peu ( lollollol ) confus dans l'énoncé de mes énigmes . J'ai relu le message initial auquel je n'ai pas changé une virgule . Il me semble qu'il est clair , sauf si on considère qu'un disque est un point ou que le coulis est forcément constitué de disques de rayons 2 cm ( rien n'est dit dans ce sens ) .

L'illustration est volontairement trompeuse , il faut lire le texte de l'énigme .

Il y a sur ce forum des raccourcis bien plus hasardeux qui ne dérangent personne smile

Vasimolo

 #42 - 09-01-2015 20:38:52

Vasimolo
Le pâtissier
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GGâteau 88

A la lecture des derniers messages , je comprends enfin le malentendu de départ : une tache n'est pas un point . Je l'ai signalé tardivement car pour moi c'était une évidence smile

Vasimolo

 #43 - 10-01-2015 10:23:20

nodgim
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gâtrau 88

C'est bien moi même qui ai fait une mauvaise lecture de l'énoncé, Vasimolo n'y est pour rien.

Maintenant que c'est rentré dans l'ordre, on peut tout de même avancer une  règle pour une surface infinie. Tout d'abord, il est curieux de remarquer qu'il suffit d'énoncer qu'aux extrémités d'un segment de longueur donnée, on ne doit pas trouver 2 points rouges pour calculer un recouvrement de rouge indépendant de cette longueur: Le disque de diamètre cette longueur est forcément la forme optimale pour une tache. Ensuite, le placement des taches en nid d'abeille est optimal. De là, on peut calculer facilement le recouvrement max d'une surface infinie: Pi/(8rac3)=0.2267....
Le 0.28 est donc nettement mieux que cette limite, c'est sans doute dû à la possibilité de placer des ronds entiers dans les coins, ce qui est impossible avec la structure nid d'abeille, le rapport entre largeur et hauteur n'étant pas rationnel. On peut sans doute améliorer le rendement nid d'abeille en plaçant le carré en travers de la façon la plus judicieuse possible, mais ce n'est pas sûr qu'on arrivera au 0,28. Avis aux amateurs.

Comme l'a fait remarquer Gwen, le placement en carrés perd de son intérêt pour des surfaces plus grandes: le recouvrement vaut Pi/16 soit 0.1963...

 #44 - 10-01-2015 11:41:50

Vasimolo
Le pâtissier
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gâyeau 88

nodgim a écrit:

Tout d'abord, il est curieux de remarquer qu'il suffit d'énoncer qu'aux extrémités d'un segment de longueur donnée, on ne doit pas trouver 2 points rouges pour calculer un recouvrement de rouge indépendant de cette longueur: Le disque de diamètre cette longueur est forcément la forme optimale pour une tache.

Pour une tache c'est évident mais il y interaction entre les taches . Par exemple dans un carré de côté 4+2R(2) est-on assuré que le meilleur coulis est constitué de deux disques de rayon 2 cm ? Ou même uniquement de morceaux de tels disques ?

Vasimolo

 #45 - 10-01-2015 12:02:22

nodgim
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Gâteau 8

Vasimolo, ma phrase est précédée du contexte de surface infinie (sans bordure).

 #46 - 10-01-2015 19:00:54

Vasimolo
Le pâtissier
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gâtrau 88

D'accord , mais faire des rapports dans une surface infinie et sans forme n'a pas vraiment de sens smile

On peut choisir une forme donnée et observer ce qui se passe quand on l'agrandit à l'infini . La configuration du pâtissier tend vers 19,635..% , la limite avec les translations est 1/3 , entre les deux il y a de la marge .

Il est clair qu'en étendant la taille du gâteau par rapport à celle des taches on estompe les effets de bord mais pourquoi la disposition en nid d'abeille serait-elle la plus performante ?

Ça fait beaucoup de questions sans réponse .

Vasimolo

 

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