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 #1 - 23-12-2016 19:08:10

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

Gâetau 130

La renommée de mon pâtissier commence à dégouliner au-delà des frontières smile

Aujourd'hui , il a reçu du Qatar la commande d'un gâteau carré :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau130.png

Sur deux bords opposés du gâteau il devra placer une perle et un diamant puis tracer une ligne parallèle à ces deux bords avant de décorer le tout de rubis comme indiqué .

On lui a gentiment fourni la taille du gâteau , le diamant , la perle , ainsi qu'un stock de rubis pour réaliser son œuvre . Il sera payé avec les rubis non utilisés .

La position de la perle et du diamant ne lui sera communiqué qu'à la dernière minute , il devra alors finaliser son œuvre rapidement .

Un petit coup de main pour aider mon pâtissier à bien finir l'année ?????

Amusez-vous bien  smile

Vasimolo



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 #2 - 23-12-2016 21:50:24

shadokpoilu
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 26

hâteau 130

Bonjour,
je me mets en mode bourrin (il y a peut-être plus subtil)
j'appelle c le côté du carré,
je note x la distance entre le bord gauche et le diamant,
y la distance entre le bord gauche et la perle
et h la distance entre la ligne de partage et le bas.

grâce au théorème de Pythagore, on doit donc minimiser :
[TeX]\sqrt{x^2+h^2}+\sqrt{(c-x)^2+h^2}+\sqrt{y^2+(c-h)^2}+\sqrt{(c-y)^2+(c-h)^2}(+ c \mbox{ qui ne changera pas...}) [/TeX]
étant donné que les longueurs sont bien sûr positive, on peut éliminer les racines carrés et en développant, on obtient :
[TeX]x^2+h^2+c^2-2xc+x^2+h^2+y^2+c^2-2ch+h^2+c^2-2cy+y^2+c^2-2ch+h^2[/TeX]
j'ai enlevé le c final...

j'isole les éléments en h qui sont finalement les seuls qu'on peut minimiser :
[TeX]4h^2-4ch[/TeX]
une telle fonction de h est minimum pour h = c/2

Donc finalement, la seule chose à faire est de placer la ligne de séparation au milieu du gâteau.

Shadokpoilu.

 #3 - 24-12-2016 07:57:20

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

Gâtea u130

Salut Vasimolo.
Pas tout compris dans le problème. La ligne parallèle est imposée, mais le quadrilatère rouge, non ? Le dessin fait il partie du cahier des charges ?

 #4 - 24-12-2016 10:00:01

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

Gâtteau 130

@Shadockpoilu : attention [latex](\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\neq a+b[/latex] smile
@Nodgim : il faut trouver un moyen simple de positionner la ligne horizontale qui va minimiser la longueur du tracé rouge . Les positions de la perle et du diamant sont imposées .

Bonne recherche .

Vasimolo

 #5 - 24-12-2016 12:31:57

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 154

gâtrau 130

Salut,

Sauf erreur il faut placer la ligne horizontale au milieu du gâteau smile

Le périmètre d'un triangle est donné par :
[TeX]f: (c,x,h) \mapsto \sqrt{x^2+h^2}+\sqrt{(c-x)^2+h^2}[/TeX]
pour un gâteau de coté [latex]c[/latex], un triangle de hauteur [latex]h[/latex] et dont le sommet est à l'abscisse [latex]x[/latex]

Ensuite [latex](\frac{\mathbb{d}f}{\mathbb{d}h})(c,x,h)-(\frac{\mathbb{d}f}{\mathbb{d}h})(c,y,c-h)=0 \Leftrightarrow h=c/2[/latex]

 #6 - 24-12-2016 12:42:32

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

Gtâeau 130

Tu arrives à la même conclusion que Shadockpoilu . Un résultat aussi simple devrait pouvoir se justifier sans sortir l'artillerie lourde .

C'est une question que je me pose aussi smile

Vasimolo

 #7 - 24-12-2016 18:34:05

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 420

Gteau 130

Salut,
Effectivement le résultat est simple puisqu'il faudra toujours placer G et C aux milieux de [AF] et [BE].

Pour cela on peut créer une fonction f avec pour inconnue x=AG=BC
Une fois que cette fonction est créée on la dérive et on obtient :

f'(x) = 4(2x-AB)
f'(x) = 0 pour x=AB/2
f est décroissante sur [0;AB/2] puis croissante sur [AB/2;AB]

Le minimum est donc atteint pour x=AB/2

Mais je sais que tu adores les réponses géométriques, j'attendrai avec impatience ta soluce.

 #8 - 25-12-2016 12:44:00

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

Gâetau 130

Tu risques d'être un peu déçu , on obtient la réponse analytiquement et il y a sûrement une subtilité géométrique qui l'explique mais elle m'échappe pour le moment : avis aux amateurs smile

Et bien sûr : Joyeux Noël à tous !

Vasimolo

 #9 - 25-12-2016 19:07:44

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,601E+3

gâreau 130

Si tu penses à 1/2, c'en est très proche , mais je doute que ce soit la réponse exacte  sans symétrie dans la figure.

 #10 - 25-12-2016 23:23:32

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

GGâteau 130

Je ne pense à rien de plus qu'à une stratégie permettant d'optimiser les gains à moindre effort , après , on peut tenter le juste prix .

Vasimolo

 #11 - 26-12-2016 19:57:08

aunryz
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 140

gâtrau 130

j'étais un peu étonné de lire que la réponse était simple.

puis rassuré par la réponse de gwen27
(je pensais me planter comme dhab)

Celle-ci dépend en effet de la position du diamant et de la perle
et n'est au milieu que pour des positions symétriques du diamant et de la perle.

cf le fichier qui permet de modifier les paramètres de la situation
et de voir le minimum pour les différentes positions

(un bouton donne le coeff de réglage fin pour le trait parallèle)

https://ggbm.at/EEBbsb2k

bon tout à vous ... depuis la Tchéquie


Du fagot des Nombreux

 #12 - 26-12-2016 20:22:28

Rene13
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

Gâteau 310

Je suis nouveau sur le forum, bonjour à tous  smile

Je n'ai pas la solution analytique!
Calcul du périmètre avec Pythagore (idem Shadokpoilu)
On obtiens une fonction F(h) (h est l'inconnue) à minimiser.
Donc calcul de la dérivée par rapport à h pour trouver le zéro de la dérivée.

Le problème est que l'équation finale (très lourde!) n'est pas résoluble! (par moi)

Mais la réponse h = c/2 n'est pas bonne dans le cas général (non symétrique).
Il suffit d'un contre exemple, par exemple si c= 1, x = 0, y = 0.5 le minimum est à 0.48!
Donc à mon avis pas de solution simple.

Hâte de voir la réponse smile
et merci pour ces belles énigmes

René

 #13 - 27-12-2016 08:03:16

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

gâtezu 130

Perso, j'attendais aussi la vue des réponses pour me rendre compte de ce qui a été dit, les réponses de Vasimolo me troublant beaucoup.

La longueur des segments peut en effet se faire par Pythagore, et si on pose que le carré est de coté 1, la hauteur de la ligne horizontale x, alors on a une longueur de segment de la forme V(a² + x²) ou V(a² + (1-x)²).
En calculant la dérivée (il ne faut pas essayer de résoudre cette équation analytiquement ! ),  qui vaut x / V(a² + x²) ou (x-1) / V(a² + (1-x²)), on se rend compte qu'il s'agit tout simplement du cosinus de l'angle, ou son opposé.
Pour être précis : En bas du carré, au point diamant, les 2 angles des segments par rapport à la verticale sont ceux dont la dérivée donne un cosinus positif. Au point perle en haut, les 2 angles des segments avec la verticale sont ceux dont la dérivée donne un cosinus négatif. Le minimum de longueur est atteinte lorsque la somme des cosinus positifs est égale en valeur absolue à la somme des cosinus négatifs. Cela se produit quand la ligne est vers le milieu, dans une fourchette 0,53 / 0,47 environ.

Il est à noter que si on voulait trouver le mini de longueur pour un seul chemin de la perle au diamant, celle ci est conforme avec l'égalité des cosinus et correspond au principe du rebond de la boule de billard pour l'angle entre les 2 segments.

 #14 - 27-12-2016 09:37:54

aunryz
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 140

Gââteau 130

Merci  nodgim pour ce développement
(j'ai cherché un peu du côté des relations au niveau des angles mais ne suis pas parvenu à tes résultats.)

Petite précision
(?)

https://motslies.files.wordpress.com/2016/12/rubis-0-5-1.jpg

où l'on voit la valeur approximative qui correspond à
perle à une extrémité et diamant au milieu (ou le contraire)

d'où l'écart entre les deux extrêmes

(dans le cas d'un carré de 1 sur 1)

(à vérifier sur la figure animée https://ggbm.at/EEBbsb2k )


Du fagot des Nombreux

 #15 - 27-12-2016 10:36:42

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

Gâteu 130

Vu Aunryz. En fait, ce n'est pas le décalage max. J'ai obtenu un 0,4763 pour perle en 0,5 et diamant en 0,1.

 #16 - 27-12-2016 23:04:27

aunryz
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 140

Gâteau 103

Effectivement
n'est-ce pas une singularité ?

Pour diamant en 0.5
Il semble que le décalage maximal corresponde
pour perle à 0.5
à une valeur légèrement inférieure à 0.1 (j'aurais eu tendance à croire à 0) pour diamant.

Sinon,
pour répondre aux besoins du pâtissier,

"La position de la perle et du diamant ne lui sera communiqué qu'à la dernière minute , il devra alors finaliser son œuvre rapidement .

Un petit coup de main pour aider mon pâtissier à bien finir l'année ?????"

Je l'engage à utiliser l'outil de géométrie dynamique mis à sa disposition

Avec une petite déception peut-être
la différence de rubis entre la solution banale
trait au milieu
et l'optimale (au maximum un écart de 2,5cm sur un gâteau d'1m de côté)
ne lui fera gagner au plus qu'un rubis
...
me semble-t-il.
(7/10 mm sur 3953 mm de longueur de rubis)

bon tout aux participants
et à Vasimolo
Le pâtissier qui nous a offert ce sujet de flexion.


Du fagot des Nombreux
 

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