Enigmes

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 #1 - 25-04-2010 00:16:07

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4785

Gâtau 5

Allez , on continue à s’empiffrer mais équitablement  smile

Lassée par mes découpages souvent farfelus , toute la famille s’est cotisée pour m’acheter un gabarit « Magique » . Formé d’un secteur angulaire dont on peut faire varier l’écart , l’appareil s’utilise en le faisant tourner autour du centre d’un gâteau circulaire après en avoir bloqué l’écart et en marquant la coupe après chaque déplacement . Par exemple quand la petite famille est au complet et si je choisis un écart de 72° , après trois rotations , je finis ma découpe .

http://img99.imageshack.us/img99/7441/troisparts1.jpg

En même temps que l’objet j’ai eu droit à dix pizzas pour m’entraîner ( on me gâte trop lol ) . J’étais tellement en joie que j’ai commencé à les découper n’importe comment avec des angles choisis au hasard ( mais un seul angle par pizza , quand même ) et en effectuant parfois plusieurs tours . Le moment de folie passé , et un peu honteux ,  j’ai observé attentivement les différentes parts des différentes pizzas et pour montrer à tous que j’appréciais beaucoup le cadeau j’ai remarqué : «  c’est fantastique , ça partage chaque pizza en seulement trois types de parts » .

Bien entendu le partage peut contenir des parts toutes égales ou seulement deux tailles différentes mais une pizza peut-elle contenir plus de trois types de parts différents ?

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



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 #2 - 25-04-2010 13:49:11

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

gâtezu 5

Je ne comprends pas la pertinence de la question, à vrai dire...

Enfin, je veux dire : je prends une pizza, je fais une part à 45°, une à 60°, une à 30°, une à 15°, et je ne touche pas à celle qui reste, et voilà, j'ai cinq parts différentes...

Donc j'ai dû très mal comprendre l'énoncé, tu peux apporter quelques précisions STP ? hmm



Merci pour ton MP, du coup j'ai compris l'énoncé ; la précision "je bloque l'écart avant de me lancer dans la découpe" m'avait échappé... Désolé big_smile

Si je bloque à n degrés, avant la fin du premier tour je ne coupe que des parts de n degrés, et si k est la partie entière de 360/n, alors je vais découper jusqu'à k parts de n degrés, et il me restera (en supposant que 360 n'est pas divisible par n, sinon je tombe sur un cas "évident" où j'aurai au maximum deux tailles de parts) une part de m degrés avec m<n (m=360-nk).

La (k+1)ième coupe créera un troisième format de part de pizza : une part de n-m degrés (sauf si m est la moitié de n, bien sûr). Ces trois tailles de part vont cohabiter, et chaque nouvelle découpe (jusqu'à la fin du deuxième tour) découpera la prochaine part de n degrés en une part de m degrés et une part de n-m degrés.

La dernière découpe avant le début du troisième tour va scinder la dernière part de n degrés. Donc (et c'est là où tout se joue dans le raisonnement, donc j'espère ne pas me méprendre) vu qu'il ne reste plus que deux tailles différentes de parts (m et n-m), la nouvelle découpe, qui va entamer le troisième tour, est équivalente à la première découpe du deuxième tour.

Plus en détail : la dernière découpe du deuxième tour sera la coupe numéro 2k ou 2k+1. Si c'est la 2k, alors il me reste après cette découpe deux parts de taille m, avec n>2m. La nouvelle découpe scindera alors la première part du tour, de taille n-m, en deux parts de tailles respective n-2m et m, ce qui nous laisse avec trois tailles différentes de part (m, n-m, n-2m), et on repart comme avant.

Si la dernière découpe du deuxième tour est la 2k+1 (c'est le cas 2m>n), alors cette découpe scinde la part de m degrés qui "conclut" le tour en deux parts de tailles 2m-n et n-m, et les découpes suivantes feront le même effet à toutes les parts de taille m lors du troisième tour.

Dans les deux cas, on n'a jamais coprésence de plus de trois tailles différentes de parts, on généralise au rang n, et voilà (grosse conclusion de feignant, je sais lol)


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 #3 - 25-04-2010 14:03:10

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Gâteauu 5

Soit a l'angle du secteur angulaire

Si a est un diviseur de 360
alors en un tour le gâteau sera coupé en (360:a) parts

Si a n'est pas un diviseur de 360
Soit b la partie entière de 360:a.

Après b rotations il y a b+1 parts:
      b parts d'angle a° et 1 part d'angle [latex](360- b\times a)[/latex]°

quand on fait une rotation de plus il y aura
b-1 parts d'angle a°; 2 parts d'angle [latex](360- b\times a)[/latex]° et 1 part d'angle [latex]b-(360- b\times a)[/latex]°

ainsi de suite et quand on arrive à 2b rotations
2b+1 parts d'angle [latex](360- b\times a)[/latex]° et b parts d'angle [latex]b-(360- b\times a)[/latex]°

et ainsi de suite on aura 2 parts distinctes si on fait [latex]n\times b[/latex] rotations et 3 parts distinctes si on fait [latex]n\times b+k[/latex] si 0<k<n

 #4 - 25-04-2010 17:40:18

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 663
Lieu: Belgique

Gâteua 5

Si j'ai bien compris (ce qui n'est pas sûr...), la rotation de ton gabarit doit chaque fois avoir la même amplitude que l'angle du gabarit?

 #5 - 25-04-2010 23:55:31

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4785

Gâteaau 5

Bon , deux réponses correctes de Mathias et gabrielduflot mais bon , on fait n tours et puis après c'est pareil lol

Je fais mon malin mais je n'ai pas beaucoup mieux sad

Mon souhait :

Données :

1°) Angle de coupe .
2°) Nombre de coupes .

Sorties :

Nombre de tailles de parts différentes (quelles sont-elles ? ) .
Nombre de parts de chaque sorte .

Mais c'est sûrement très/trop compliqué roll

Vasimolo

 #6 - 26-04-2010 09:49:50

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Gâteu 5

Depuis ma réponse, la récurrence ne doit pas être bien dure à faire... Il faut juste faire du cas-par-cas (une première séparation de cas en fonction de la valeur p telle que pm<n et (p+1)m>n, puis une deuxième à trouver vers les 2p tours, etc.) Je suis sûr que c'est faisable, mais j'ai vraiment beaucoup trop la flemme lol


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 #7 - 26-04-2010 10:42:38

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

gâtrau 5

apres n tour on a la tête qui tourne mieux s'arreter làbig_smilebig_smilebig_smile

 #8 - 28-04-2010 04:53:29

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1768

gâyeau 5

Bonjour,

Une contribution partielle à cette énigme :

Voici sur un intervalle de 1 à 100 degrés pour l'angle donné au gabarit de coupe les angles des parts en sortie.

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-Gateau5-1.jpg

> résolution partielle car je dois continuer de 101 à 360 degrés
> et surtout car je n'indique pas le nombre de tours nécessaires, et de fait ne prouve aucunement la périodicité du phénomène après n tours ...

Pour établir cette liste, j'ai créé une colonne sur Excel où les angles sont incrémentés de l'angle initial, le tout modulo 360

Avec un certain nombre de valeurs (sur plus d'un tour en tous cas) obtenues, je classe par ordre croissant puis calcule les écarts entre ces valeurs triées.
Les écarts sont nuls ou peuvent prendre jusqu'à trois valeurs qui se répètent.

On remarque néanmoins que quand il y a trois parts, l'angle de la troisième (la plus grande par convention) est égale à la somme des deux angles plus petits.

Je vais essayer d'automatiser le calcul pour donner une liste + complète, mais surtout essayer de comprendre le phénomène.

Très curieux des autres réponses en tous cas !
Bonne journée.


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #9 - 29-04-2010 23:00:02

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4785

Gâteauu 5

Merci pour toutes les réponses big_smile

C'est en effet assez délicat de justifier complètement le résultat d'autant qu'il devient assez intuitif après quelques essais . Je tacherai de my replonger un peu plus tard car pour l'instant je crois que je suis atteint par la léthargie ambiante tongue

Vasimolo

 #10 - 30-04-2010 11:01:28

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

gâtzau 5

J'arrive après la bagarre mais quelque chose m'échappe.
Je m'étais donc dit que j'aillais y réfléchir un peu plus mais je n'ai pas eu le temps. Je vous soumets donc mon doute "brut":

Si le rapport entre l'angle et pi est irrationnel (peut-etre que transcendant est nécessaire, il faudrait y réfléchir en détail mais je veux juste exprimer l'idée) il me semble qu'après chaque tour le reste devrait être différent et qu'on va avoir une infinité de tailles différentes.
Sinon on pourrait écrire une combinaison à coefficient entiers entre des fractions de pi et des multiples de l'angle traduisant qu'après un certain nombre de tours par "pas" de la valeur de l'angle, on retrouve une fraction de pi déjà trouvée...

 #11 - 30-04-2010 11:19:49

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Gâteu 5

On aura une infinité de tailles différentes, mais pas en même temps... Lors du premier tour de découpage, tu auras toujours, après chaque découpe, deux tailles différentes. Au début du deuxième tour, tu créeras un troisième taille de part en redécoupant une part existante. La dernière découpe du deuxième tour aura donc supprimé cette taille de part, puisque tu auras redécoupé toutes les parts de cette taille. Par récurrence, on n'aura jamais plus de trois tailles de parts en même temps.


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