Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 08-01-2016 13:06:56

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Pile je gagnne, face tu perds...

Je joue 1€ à pile ou face avec un adversaire. qui comme moi a une richesse infinie...

On enchaîne les parties et note G(n) mon gain cumulé au bout de n parties
G(n) n'est donc pas univoque vu le caractère aléatoire inhérent au jeu. 

Que dire de la trajectoire (convergence / divergence...) de G(n) dans les trois cas suivants.
- une pièce honnête (50% de chance de gagner par tirage)
- une pièce légèrement truquée (51% de chance de gagner par tirage)
- une pièce complètement truquée (99% de chance de gagner par tirage)

Vous pouvez vous aider de simulations informatiques si vous le souhaitez...bonne chance...



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 09-01-2016 11:57:29

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Pile ej gagne, face tu perds...

Salut Portugal,
il y a quelque chose qui m'échappe dans la question. Si une pièce donne x% de pile, x se vérifie avec un grand nombre de lancers. C'est même la seule façon de calculer x, si on y réfléchit bien.
Maintenant, si la règle est celle du titre, alors....

 #3 - 09-01-2016 16:37:01

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,471E+3

pile je gagne, facz tu perds...

A mon avis la moyenne augmente globalement (pas , peu ou vite) mais parler de divergence ou convergence sur un truc oscillatoire n'a pas de sens.

 #4 - 09-01-2016 22:56:43

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Pile je gagne, face tu perdds...

@nodgim
un tirage aléatoire avec une probabilité obéit a une loi. En gros, on peut temporairement de dévier de l’espérance à cause de la variance.

@gwen
Le problème est il de savoir comment évolue l’espérance en fonction de la variance ? Ce que tu dis et intéressant mais mériterait d’être éclairci...

 #5 - 11-01-2016 00:13:45

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Pile je gagne, face tu perd.s..

Je pense que la suite G(n) diverge dans les 3 cas. Dans le premier, elle devrait osciller autour de zéro, un peu comme les fonction cosinus et sinus. Dans les 2ème et 3ème cas, la suite doit tendre vers l'infini quand n tend vers l'infini.

 #6 - 11-01-2016 09:30:41

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

pile je fagne, face tu perds...

@Nombrilist
Dans le premier cas n voit bien ce que tu veux dire et l'analogie est pltuto bonne...même si cela mériterait d'être affiné...
Dans les 2 suivants, réfléchis à nouveau...

Ce problème et intéressant car le résultat à trouver est totalement contre intuitif...

En fait, les 3 cas sont exactement les même...

 #7 - 11-01-2016 10:49:50

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Pile je gagne, fac etu perds...

Je suppose que je gagne avec pile et perd avec face, ce qui ne nuit pas à la généralité du problème. Je joue (n) fois qui donnent (m) fois pile et (n-m) fois face.
Soient (P) la probabilité de pile et (1-P) celle de face.
Je gagne la somme (ou la perd si elle est négative) de:
S(n) = m.P - (n-m).(1-P) = m - n.(1-P).

Si P=50%, alors: S = m - 0,50.n.
Si m est grand, alors m tend vers n/2, et S tend vers 0.

Si P=51%, alors: S = m - 0,49.n.
Si m est grand, alors m tend vers n/2, et S tend vers 0,01.n.

Si P=99%, alors: S = m - 0,01.n.
Si m est grand, alors m tend vers n/2, et S tend vers 0,49.n.

Mais mon raisonnement me semble trop simpliste pour être la réponse attendue.

 #8 - 11-01-2016 11:20:39

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

pilz je gagne, face tu perds...

@franky
Tu t'orientes vers un raisonnement en espérance qui me semble d’ailleurs correct en tant que tel. Tu aboutis cependant à un résultat faux dans le sens du problème

@tous
Mon idée est de ne pas faire le moindre raisonnement probabiliste pour ce problème....On aboutira alors à un résultat surprenant..mais vrai...

 #9 - 11-01-2016 20:51:05

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,471E+3

Pile je gagne,, face tu perds...

Bon, je crois que je viens de comprendre...

On lit ce que l'on veut bien lire dans un énoncé. roll Et on croit vrai ce qu'on croit lire.

On ne parle pas de gain pour quelqu'un qui mise pile, mais pour un joueur qui peut aussi bien miser pile que face à chaque coup. (sauf qu'il faut être idiot pour ne pas miser pile si ça tombe 99 fois sur 100, donc sur la durée, c'est difficile de supposer les joueurs infiniment idiots big_smile )

Donc , en moyenne gain nul quelle que soit la pièce (même si ça peut monter ou descendre énormément autour de 0 )

 #10 - 11-01-2016 22:31:44

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Pile je gagne ,face tu perds...

@gwen

non non le problème n'est pas la...je me suis appliqué sur ce problème qui fait apparaître une bizarrerie, certes, mais belle et bien mathématique. Pas de jeu de mot ni de charade dans ce problème. Pour vous motiver, je vous promet que vous aller découvrir un résultat / phénomène bluffant...sans jeu de mot...

Tu joue toujours sur pile et tu as suivant les cas 50%, 51% et 99% de gagner par coup.

Tu notes G(n) ton gain cumulé et on veut savoir quel est le destin de la suite G(n) dans les 3 cas, si destin il y a...


Attention, G(n) peut prendre plusieurs valeurs mais son "destin" est peut être univoque. Par exemple en considérant la suite U(n) = n +alea() ou alea() prend une valeur entre 0 e 1 comme chez Mr Excel. Assez trivialement U(n) diverge vers +infini dans tous les cas de figure.

Qu'en est il de G(n)...

 #11 - 12-01-2016 00:11:21

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Pile je gagne, ace tu perds...

En fait, la question est-elle "dans la majorité des cas, quelle trajectoire suit la suite G(n) ?" Reste à définir "majorité".

 #12 - 12-01-2016 00:15:26

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

pile je gagbe, face tu perds...

@Nombrilist
Qui parle de démocratie ? yikes

Il 's'agit de définir, ou pas, un comportement de la suite identique quelle que soit la trajectoire. (i.e. qui sera vérifié par toute suite G(n) )

 #13 - 13-01-2016 11:27:59

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Pile je gagne, face tu eprds...

Ce problème ne soulève pas l’enthousiasme...pourtant je trouve le résultat assez bluffant...

Dans le cas ou votre probabilité de gagner est de 99% par coup par exemple, personne pour décrire comment le gain cumulé va évoluer ?

Pour la dernière ligne droite, je suis prêt à répondre à toutes les questions....

Je commence par un indice précieux : ce n'est pas un problème de probabilité mais d'arithmétique.

 #14 - 13-01-2016 16:13:58

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Pile je gagne, face tu perrds...

- une pièce honnête (50% de chance de gagner par tirage)
- une pièce légèrement truquée (51% de chance de gagner par tirage)
- une pièce complètement truquée (99% de chance de gagner par tirage)

Je dirai dans le cas 1 que G(n) diverge car en attendant suffisamment longtemps, G(n) pourra prendre n'importe quelle valeur...
Dans le cas 2 G(n) divergera vers +oo.
Dans le cas 3 idem et plus rapidement.

Après pour ce qui est de la démonstration...

 #15 - 13-01-2016 16:47:07

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Pile je gagnne, face tu perds...

@golgot59
tu donnes la réponse "intuitive" que je pense fausse : j'exposerai mon raisonnement après l'expiration.

Juste une chose il y a 2 notions de divergences dans ton message (à just titre) :

*la divergence "infini" ou la suite tends vers l'infini (pour tout Seuil>0 il existe k tel que pour tout q>k, G(q)>Seuil

*la divergence "cyclique" pour tout Seuil>0, il existe k1 et k2 tels que G(k1)<-Seuil et G(k2)>Seuil


Si je te comprend bien tu considère que le premier cas assure une divergence "cyclique" alors que les 2 autres assurent une divergence 'infinie"

Est ce bien cela ?


@tous
ma solution et sa démonstration tiennent en quelques mots. Pas de prise de tête sur ce problème : tentez votre chance...

 #16 - 13-01-2016 21:28:09

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

pile je gagne, dace tu perds...

La trajectoire de ces 3 suites est imprévisible. Elles divergent de façon chaotique, c'est à dire à la fois de façon non monotone (sauf dans deux cas) et non bornée, ni en haut ni en bas, car on peut toujours trouver une probabilité, même infime, que n'importe quelle borne fixée en bas ou en haut sera franchie.

 #17 - 13-01-2016 22:13:32

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Pile je ggne, face tu perds...

Veux-tu nous faire exprimer que, quelque soit le pourcentage de chance de gagner par tirage, la valeur de G(n) peut être aussi haute (et aussi basse) qu'on le souhaite ? (à condition bien sûr de jouer un très grand nombre de fois).

 #18 - 13-01-2016 23:30:01

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Pile e gagne, face tu perds...

Parfait nombrilist...ca me fait penser à certains aspects contreintuitifs des nombres univers

Franky. Possible que tu dises la même chose mais c'est moins clair...probablement la bonne direction cependant...

 #19 - 14-01-2016 12:17:56

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

pilz je gagne, face tu perds...

Et voila

Sans s’attarder sur l'aspect mathématique (tout événement a probabilité non nulle va se produire à un moment), voici deux conséquences parmi d'autres :

- Tout joueur jouant contre le champion du monde d’échecs "au hasard" se retrouvera à un moment donné gagnant "au global". En effet, sa probabilité de gain unitaire est non nulle vu que le jeu n'est pas résolu, donc quel que soit son retard au bout de N parties (a priori son retard sera de N points...) il a une probabilité non nulle de gagner N+1 parties d'affilé à ce moment la et de prendre la tête..donc il finira par le faire...Étonnant non...?

Remarquez que c'est vrai pour un joueur jouant de façon purement aléatoire car il a alors a chaque coup une probabilité non nulle de jouer "le meilleur coup".Ce n'est probablement pas le cas pour un joueur essayant de "bien jouer" car lui va se faire balayer dans 100% des cas...

2 ) un joueur de casino (roulette par exemple) se retrouvera à un moment gagnant quelle que soit sa stratégie de jeu( sauf si ses mises baisse de telle manière au cours du temps qu'il ne peut plus "rattraper son retard" vu la convergence de la suite des gains possibles. A l'inverse, malgré ses marges, tout casino est condamné à faire faillite même s'il garde en réserve tous ses gains cumulés...

 #20 - 14-01-2016 17:50:00

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

Pil eje gagne, face tu perds...

quel que soit son retard au bout de N parties (a priori son retard sera de N points...) il a une probabilité non nulle de gagner N+1 parties d'affilé à ce moment la et de prendre la tête..donc il finira par le faire...

Ce "donc" me laisse sceptique, je suis curieux de voir ta démonstration.

Je suis à peu près sûr du contraire, à savoir, si on commence à jouer à Pile/Face avec ta pièce complètement truquée (99% de chances de gagner), il y a une probabilité non nulle (et même assez proche de 1) que G(n) soit positif pour tout n (c'est-à-dire que Magnus Carlsen soit toujours en avance contre le joueur jouant au hasard).

 #21 - 14-01-2016 18:18:06

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

pime je gagne, face tu perds...

Moi aussi, je suis très réservé sur la réponse.
Portugal, peux tu STP redonner la réponse et la démo complète lorsque la proba de gain est 99% ?

 #22 - 14-01-2016 18:33:04

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

Pille je gagne, face tu perds...

Pour être plus précis, la probabilité que G(n)>=0 pour tout n est de :
* 98/99 avec la pièce complètement truquée
* 2/51 avec la pièce légèrement truquée

Je n'ai pour l'instant qu'une démo exagérément compliquée (avec la série génératrice des nombres de Catalan, hmm...), mais on peut probablement la simplifier.

 #23 - 14-01-2016 18:49:48

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Pile je gagne, afce tu perds...

Autant pour moi...
Mon raisonement était totalement faux...la honte. ..tonguetongue

erreur élémentaire...

Désolé...

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Pif, Paf et ?

Sujets similaires

Mots clés des moteurs de recherche

Mot clé (occurences)

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete