Enigmes

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 #1 - 30-05-2012 09:18:25

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 808
Lieu: Seahaven island

Pil je gagne et face tu perds

Hello!

Étant donné que certains se plaignent de l'inactivité du forum Mathématiques je propose le petit jeu suivant.

Alice et Bob jouent à un jeu à base de pièces de 1 euro. La règle est simple, chacun réalise secrètement une pile de pièce en choisissant l'alternance pile ou face de leur empilement. Ensuite on dispose face à face les deux piles de pièces et on regarde les sommets.
* Si les sommets sont differents Alice gagne 5 euros.
* Si les sommets sont identiques alors Bob gagne:
     -1 euro dans le cas face face
     -9 euros dans le cas pile pile
On retire ensuite les deux pièces des sommets et on recommence.

http://www.kap-sur-le-stage.fr/files/2012/04/pile-pieces.jpg
(Une image car ca donne toujours plus envie de lire les énigmes tongue)

Le jeu est-il équitable?
Puisque sinon vous ne chercherez même pas:
Spoiler : [Afficher le message] NON ce jeu n'est pas équitable! maintenant vous pouvez commencer à réfléchir.

Solutions:
Spoiler : [Afficher le message]
Voir post#14 de ThomasLRG
Rq: On peut faire le même type de calcul pour Bob, qui lui aussi dispose d'une proportion qui donne une espérance indépendante de ce que l'autre joueur fait. Ça donnera toujours 0.8e par partie en faveur d'Alice mais ca ne laisse pas la possibilité d'avoir pire.



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 #2 - 30-05-2012 11:19:09

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Pile je gaggne et face tu perds

...oui ?

(Nom de Dieu, où est le piège ? o_O')

Si Alice joue pile quatre fois sur cinq, elle fait un gros doigt d'honneur à Bob, je pense. L'injustice du jeu doit résider là-dedans : chacun des deux joueurs a une bonne raison de jouer une des faces plus souvent que l'autre, et cela fausse les probabilités. A vue d'oeil, Alice doit pouvoir l'emporter haut la main.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 30-05-2012 12:55:22

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

Pile jje gagne et face tu perds

Je pense que oui : sur 4 pièces,les 4 combinaisons possibles sont équiprobables , donc 10 euros chacun en moyenne...

Spoiler : [Afficher le message] je sens que je me vautre encore dans le gros piège qu'il fallait voir lol

 #4 - 30-05-2012 13:05:35

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

pile je gagne et face tu prrds

Edit immédiat : si bob met toutes ses pièces sur pile, il gagne 9 euros une fois sur 2
Mais comme sa copine n'est pas bête, elle fait pareil.

Donc, bob met toutes ses pièces sur face, et sa copine toujours pas bête fait pareil.

Alors Bob se dit, je mets une pièce sur 10 côté pile. Et là, sa copine ne sait pas laquelle...

Je sens que Bob doit pouvoir gagner avec un truc du genre, mais je suis bien en peine de le prouver. Là ça me semble encore équivalent. Peut-être avec 2 pièces sur 10 , ou 3 pièces sur 10.

 #5 - 30-05-2012 14:22:28

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 808
Lieu: Seahaven island

Pile je gagne et afce tu perds

Il commence à y avoir de l'idée.  Oui évidemment si je pose la question c'est que la réponse n'est pas triviale big_smile.
Le calcul n'est pas très dur des qu'on sait quoi calculer.

 #6 - 30-05-2012 15:39:32

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Pile je gagne et fce tu perds

Bonjour à tous,
Probabilités FP = PF = FF = PP = 1/4
Espérances de gain: Alice = 5/4 + 5/4 = 2,50 € et Bob = 1/4 + 9/4 = 2,50 €
Donc, à priori, le jeu est equitable.
Le fait que Bob puisse chercher à "forcer pile" pour espérer gagner 9 € (au lieu de 1 €) peut être contrecarré par Alice en cherchant à "forcer face". Et inversément.
A mon avis, il n'y a pas de stratégie plus gagnante qu'une autre (cela me rappelle un topic sur un sujet similaire) et l'idéal est encore de jouer de façon aléatoire.
De plus, le fait que les "pile" et "face" soient déterminés à l'avance ne change rien à ce qui précède.
Bonne journée.

 #7 - 30-05-2012 15:42:49

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 808
Lieu: Seahaven island

ile je gagne et face tu perds

@Franky1103: Spoiler : [Afficher le message] Et si! En jouant bien un des deux joueurs a une espérance positive quoi que fasse l'autre, le jeu n'est pas équitable. Comme je l'ai dit, si je pause la question...


@Tout le monde: Bon vu la réaction de certains, ainsi que le sens implicite de la non participation d'autres j'en conclus que je vais maintenant démarrer une combine pour arrondir mes fins de mois. tongue

 #8 - 30-05-2012 15:52:55

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Rouen

Pile je gagnne et face tu perds

Si Alice joue tout le temps "face", elle a une espérance de gain de 2 euros par partie, si on considère bien sûr que Bob est con comme un balai... ce qu'on peut espérer faux. Aussi ne suis-je pas d'accord avec ta définition de la non-équitabilité d'un jeu. Comme le dit souvent un de mes amis physiciens/matheux, "c'est plus vicieux que ça".


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 30-05-2012 16:16:21

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 808
Lieu: Seahaven island

pile je gagne et gace tu perds

@MthS-MlndN:Spoiler : [Afficher le message]  Évidemment lorsque je dis que le jeu n'est pas équitable je veux dire qu'il existe pour un des deux joueurs (pas n'importe lequel) une manière de jouer ayant une espérance positive quelque soit ce que fait l'autre (même sil n'est pas con comme un balais).
Ps:Après relecture je crois que le quiproquo venait du fait que j'avais répondu sans mettre de virgule après le si. (je ne donnais pas une définition de l'equitabilite, en fait je déclarais que le jeu n'était pas équitable pour que mon interlocuteur continue de chercher.

 #10 - 30-05-2012 17:28:50

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

iPle je gagne et face tu perds

Alice met que des piles et charles se sent désemparé.


Un promath- actif dans un forum actif

 #11 - 30-05-2012 17:31:14

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

pile je gagne er face tu perds

Rebonjour,
Effectivement, si Alice joue systématiquement "face", soit elle gagne 5€ (si Bob joue "pile"), soit elle ne perd que 1€ (si Bob joue "face"): de cette façon, Bob n'aura jamais la possibilité de gagner 9€ et le jeu sera alors tout à l'avantage d'Alice.
Pour contrecarrer le cas où Bob jouerait systématiquement "face" (et gagnerait 1€ à chaque fois), Alice devra jouer un "pile" sur 5 coups aléatoirement.
Re-bonne journée.

 #12 - 30-05-2012 17:35:58

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 808
Lieu: Seahaven island

Pile je ggagne et face tu perds

Indice pour tout le monde: Spoiler : [Afficher le message] Le calcul n'est pas très dur il suffit de le poser (demandez vous quelle est la seule chose sur laquelle les joueurs peuvent influer)

 #13 - 30-05-2012 18:50:12

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Pile je agne et face tu perds

Ne donne pas trop d'indice , laisse nous poser nos affaires smile

Y'en a qui bossent lollollol

Si A et B choisissent pile avec les probabilités p et q alors B l'espérance de gain Pour A est G(p)=6p+6q-20pq-1 .

Reste à voir ce qu'on peut faire avec ça smile

Vasimolo

 #14 - 31-05-2012 00:12:18

ThomasLRG
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 41
Messages : 31

PPile je gagne et face tu perds

Si Alice décide de ne jouer que sur la proportion de pile et de face et non sur l'organisation de sa pile alors la façon d'ordonner la pile de Bob n'a plus d'importance et les probabilités de gains sont uniquement déterminées par la proportion de pile et de face dans chaque pile de pièce.

Posons "k" la proportion de face chez Alice et "x" la proportion de face chez Bob
L'espérance de gain d'Alice est alors donnée par
E = - 9(1-k)(1-x) +5k(1-x) +5x(1-k) - kx
(les termes de cette somme correspondants respectivement à PP, PF, FP, FF)
Soit en simplifiant : E = (14-20k)x +14k-9

Alice qui peut choisir k (la proportion de face dans sa pile de pièce) se rend compte que pour k = 14/20, son espérance de gain ne dépend plus de x (la proportion de face dans la pile de bob) et est strictement positive égale à 4/5.

La partie n'est pas équitable, si Alice met 70% de face dans sa pile de pièce alors elle gagnera en moyenne 80 centimes pour chaque paire de pièce.

Merci pour l'énigme smile

 #15 - 31-05-2012 00:56:58

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 808
Lieu: Seahaven island

pile je gagne et face tu pzrds

Bravo à ThomasLRG pour la première réponse correcte.

 #16 - 31-05-2012 09:53:53

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Pile e gagne et face tu perds

Si je continue mon calcul , il suffit de choisir [latex]p[/latex] dans l'intervalle [latex]]\frac16;\frac5{14}[[/latex] pour avoir une espérance positive quelque soit la valeur de [latex]q[/latex] .

Sauf erreur smile

Vasimolo

 #17 - 31-05-2012 10:02:29

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 808
Lieu: Seahaven island

ile je gagne et face tu perds

@Vasimolo: Oui Spoiler : [Afficher le message] Et dans cet intervalle quelle est la valeur qui maximise l'espérance si l'autre s'adapte au mieux?

 #18 - 31-05-2012 10:23:17

Corsaire
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 7

iPle je gagne et face tu perds

* Si les sommets sont differents Alice gagne 5 euros.
* Si les sommets sont identiques alors Bob gagne:
     -1 euro dans le cas face face
     -9 euros dans le cas pile pile

Etant dans l'incapacité de réfléchir trop longtemps (cerveau en surchauffe), je serais tenté de dire que je fais une pile de pièce toutes du même côté:

Si je suis Alice, je mets face (Bob gagnera au maximum 1€ par pièce).
Si je suis Bob, je met pile, je gagne 9€ par pièce.

 #19 - 31-05-2012 15:30:09

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

Pile je gagn eet face tu perds

C'est un problème à deux joueurs à information complète et imparfaite (
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or … ormation)


Dans ce genre de cas, une stratégie optimale est souvent aléatoire.

Soit pA la probabilité que Alice mette une pièce du coté pile.
Soit pB la probabilité que Bob mette une pièce du coté pile.

Soit X la variable aléatoire représentant le gain de Bob.

On peut résumer la situation sous forme de tableaux:

Code:

tableau de probabilité des évènements:

\\\\\\ Bob |    Pile   |      Face     |
Alice \\\\\|           |               |
---------------------------------------|
Pile       |   pA*pB   |   pA*(1-pB)   |
---------------------------------------|
Face       | (1-pA)*pB | (1-pA)*(1-pB) |
---------------------------------------


loi de probabilité de X (gain de Bob):

   x   |        -5           |       1       |   9   |
-----------------------------------------------------|
P(X=x) | (1-pA)*pB+pA*(1-pB) | (1-pA)*(1-pB) | pA*pB |
-----------------------------------------------------

Ainsi l'espérance de gain de Bob est:

[latex]E(X)=-5.\big((1-pA).pB+pA.(1-pB)\big)+(1-pA).(1-pB)+9.pA.pB[/latex].

Il s'agit maintenant "d'équilibrer" ce gain.

Après calcul, on trouve pA=pB=0.3 .

Avec cette proba, l'espérance vaut -0.8 donc négative donc Bob est moyennement perdant dans l'histoire.

 #20 - 31-05-2012 15:51:26

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

pile je gahne et face tu perds

Si [latex]A[/latex] choisit [latex]p\leq0,3[/latex] alors [latex]B[/latex] choisit [latex]q=0[/latex] et l'espérance de [latex]A[/latex] est [latex]6p-1[/latex] donc [latex]A[/latex] choisit [latex]p=0,3[/latex] pour une espérance de [latex]0,8[/latex] .
Si [latex]A[/latex] choisit [latex]p\geq 0,3[/latex] alors [latex]B[/latex] choisit [latex]q=1[/latex] et l'espérance de [latex]A[/latex] est [latex]5-14p[/latex] donc [latex]A[/latex] choisit [latex]p=0,3[/latex] et gagne [latex]0,8[/latex] .

Vasimolo

 #21 - 31-05-2012 17:43:27

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

pile je gagne et face tu perfs

Je reviens une dernière fois sur ce que j'ai dit : Bob ne peut pas influer sur le gain d'alice vu qu'elle gagne toujours la même chose.Par contre Alice peut changer les espoirs de gain de bob en optimisant le nombre de pièces côté pile qu'elle met.

Je n'ai traité que le cas où elle met 2 pièces côté pile sur 10.

Si bob choisit de mettre  toutes ses pièces côté face, il perds 2 euros par groupe de 10 pièces

S'il met une pièce côté pile : 2 combinaisons lui font gagner 12 euros et 8 combinaisons lui font perdre 8 euros : il perd en moyenne 2 euros par groupe de 10 pièces.

S'il met 2 pièces côté pile : 1 combinaison lui fait gagner 26 euros , 16 combinaisons lui font gagner 6 euros et 28 combinaisons lui font perdre 14 euros : il perd en moyenne 6 euros par groupe de 10 pièces.

S'il met 3 pièces côté pile : 8 combinaisons lui font gagner 20 euros, 56 combinaisons lui font gagner 0 euros et 58 combinaisons lui font perdre 20 euros : il perd en moyenne 10 euros par groupe de 10 pièces.

... Ca empire après car il a de moins en moins de chances de gagner à mon avis mais j'ai la flemme d'aller jusqu'au bout.

... Le jeu n'est pas équitable, Alice est sûre de gagner en moyenne.
On doit pouvoir optimiser le rapport 2 pile / 10 pièces. Mais bon la question était juste "le jeu est-il équitable ? " smile

 #22 - 31-05-2012 19:29:15

nono2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 308

Pil je gagne et face tu perds

le fait qu'ils font eux-mêmes la pile a-t-elle une incidence sur les résultats ?

 #23 - 31-05-2012 19:45:52

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Pile j egagne et face tu perds

Beau problème qui mérite un petit temps de réflexion...
Intuitivement, on peut penser que c'est Alice qui est maître du jeu...
Comme aucun ne connait la stratégie de l'adversaire, on est bien obligé de considérer des placements au hasard, et seules les proportions de Pile ou Face pourraient influer sur le résultat...
Soit A l'espérance d'Alice et B celle de Bob, on peut tenter de calculer ce rapport: B/(A+B). Si xB est la proportion de Pile par rapport aux Faces de Bob, l'équation a cette forme:(axB+b)/(cxB+d) où a,b,c, d sont paramétrables par pA, proportion de Piles par rapport aux Faces de Alice.
Cette fonction a une valeur fixe quand a/b=c/d quel que soit xB. Le résultat est b/d.
Après calcul numérique, je trouve que si Alice place 1/4 de Piles au hasard dans son jeu, alors le rappport B/(A+B) est fixé à 3/8 qui est inférieur à 1/2.
Alice est donc assurée alors de gagner à tous les coups, car son gain sera de 5/8.

 #24 - 01-06-2012 03:19:20

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2990
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Pil je gagne et face tu perds

Question: quend tu dis "gagne", est-ce que c'est l'adversaire qui paye, ou
la banque?


Ca depend aussi si l'objectif est pour chacun d'obtenir le plus d'argent, ou
que la somme que l'on gagne soit le plus elevé possible par rapport a son
adversaire, ou de ruiner la banque...
Ca depend ausi combien il y a de pieces par pile de pieces.

En supposant que les pieces soient rangees de maniere aleatoire dans chaque
pile, mais que Alice et Bob choisissent combien de pieces sont visible du
coté pile ou du coté face, alors, si les 2 joueurs utilisent des methodes
logiques pour decider de la proportion de pieces orientées piles ou
orientées face:

La strategie initiale de Bob c'est d'avoir plus de piles que de faces.
S'ils jouent un peu ensemble contre la banque, alors Alice restera a 50% de
piles et de faces, et laissera Bob avoir 100% de piles.

Si ils jouent l'un contre l'autre, en reaction, la strategie d'Alice est
d'avoir plus de faces que de de piles.
Donc on ira dans la direction Bob 100%pile, Alice 100% face.
La reaction de Bob est d'aller en direction de 0% pile. Des que l'on franchi
le seuil des 50%, la reaction d'Alice est d'aller en direction de 50% pile.
Des que l'on depasse les 10% pile pour Alice, la reaction de Bob serait a
nouveau d'augmenter la proportion de piles, mais le gain d'alice augmente
plus vite que le gain de Bob.

Je pense qu'on se stabilise a Alice: 10% de piles, et Bob 100% de piles.
Ce qui donne un gain moyen de 4.5 pour Alice, et 0.9 pour bob.
Alors, je pense que globalement Alice a l'avantage:

Des qu'Alice essaye de reduire le nombre de pile pour gagner plus, Bob
reduit le sien d'un facteur plus elevé et Alice perd...

Si maintenant au lieu d'avoir une banque, c'est adversaire qui paye, alors
La strategie d'Alice est d'avoir 30% de piles, avec cette proportion quelque
soit la proportion des pieces de Bob, Alice gagne en moyenne 0.8 par piece.

Daniel


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #25 - 01-06-2012 09:21:35

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 808
Lieu: Seahaven island

Pile jee gagne et face tu perds

@irmo322: La modélisation est bonne, il doit cependant trainer une erreur de calcul quelque part.

@Vasimolo: C'est juste

@nono2:

le fait qu'ils font eux-mêmes la pile a-t-elle une incidence sur les résultats ?

Spoiler : [Afficher le message] He bien, ils ont le droit de choisir quelle sera la face visible de chaque pièce. Si ca n'a pas d'influence alors il faut le démontrer. (j'ai bien dit "si")

@nodgim: La démarche est bonne mais le calcul réalisé me semble douteux, le résultat n'est pas exact.

@dhrm7:
L'adversaire "gagne": ceci veut dire que l'autre lui donne, c'est vrai dans l'idéal j'aurais du le préciser, mais bon vu que Alice et Bob joue ensemble...
Ça dépend aussi de l'objectif: Sans banque, maximiser son capital ou maximiser l'écart par rapport à l'adversaire c'est identique. Et comme c'est de l'argent on peut supposer de toute manière que chacun veut maximiser son capital.
En tout cas tu t'y prend comme il faut, tu traites tous les cas possibles d'interprétation subjective du probleme c'est très bien. smile
Le dernier paragraphe correspond à l'interprétation attendue et est juste, je ferais les calculs pour avec la banque.

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(1) — Image pile d une piece euro (1) — Quand on en perd un on se plaint on trouve (1) — 1 pile d euros (1) — Euros pieces (1) — Pile pieces (1) — Enigme quand on me trouve on se plaint quand on me perd on se plaint (1) — Quel est le pilr d une piece de 1 euro (1) — Enigme quand on en perd un on se plaint quand on en trouve un on se plaint (1) — Enigme quand on perd un on se plaint quand on en trouve un on se plaint (1) — Pile pieces euro (1) — Solution enigme pile face (1) — Quand on perd 1 on se plaint quand on trouve un on se plaint (1) — Enigme quand on en perd un on se plaint (1) — Quand on en perd un on se plaint ;quand on en trouve un on se plaint ; enigme (1) — Enigme quand on en trouve un on se plaint quand on en perd un on se plaint (1) — Piles de pieces euro (1) — On se plaind quand on le perd (1) — Pile face d une piece d un euro en image (1) — Pile je gagne face tu perd (1) — Reponse quand on perd un on se plaint quand on en trouve un on se plaint (1) — Enigme quand tu gagnes tu perds (1) — Quand on le perd on se plaint (1) — Alice et bob jouent a pile ou face (1) — Pile dit line j ai gagne (1) — Pile visible piece (1) — Gagner on se perd sagit quoi (1) — Quand on es perd un on se plaint quand on en trouve un on se plaint (1) — Signification de pile je gagne face tu perds (1) — Pile ou face d une piece d un euro (1) — Il gagne 1? a chaque pile (1) — Piece 2 euros valeur pile face identique (1) — Face je gagne pile tu perds (1) — Reponse pile je gagne face tu perds (1) — Si je perds la face (1) — Solution quand on en trouve un on se plaint quand on en trouve un on se plaint (1) — Quand on en perd 1 on se plaint enigme (1) — Quand on en trouve un on se plaint enigme (1) — Je lance une piece si le resultat est pile je gagne (1) — Les enigmes a la con a faire pour gagner un euro (1) — Enigmes pile je gagne (1) — Reponse quand on perd un on se plaint quand (1) — Face je gagne (1) — Quand on en perd un on se plaint quand on en trouve un (1) — Quelle est la partie pile d un piece d un euro (1) — Piece de deux euro deux face pile (1) — Pile je gagne face tu perds raisonnement (1) — Piece 1euro pile ou face (1) — Pile je gagne face tu perds probabilite (1) — Pile de piece d argent euro (1) — Calcul argent pile pieces (1) — Enigme 58 (1) — Differente piece de 1 euro (1) — Enigme quand on en prend un on se plaint (1) — 2 joueur pile ou face premier pile gagne (1) — Piece pile pu dace (1) — Enigme quand on en perd un on se plaint (1) — Quand on en perd un on se plaint quans on en trouve un on se plaint (1) — Cote pile et face d une piece en euro (1) — Bob donne a alice k? si alice obtient pile pour la premiere fois (1) — Piece 1 euro. (1) — Quand on en trouve un on se plaint et quand perd (1) — Quand perd plaint gagne plaint (1) —

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