Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 26-02-2015 11:50:29

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Pile ou afce à la baguette 3

Préambule : en 2009... j'avais proposé 2 énigmes (Pile ou Face à la baguette et Pile ou Face à la baguette 2 ) basées sur l'aiguille de Buffon (http://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon). La première en était l’application directe, la seconde une invention pour laquelle je n'avais pas la réponse, d'où mon silence regretté à juste titre par certain d'entre vous tongue.
Depuis, j'ai fait quelques avancées sans avoir une vision exhaustive des solutions, ni de démonstration complète. Cependant, j'ai la certitude de l'existence d'au moins une solution, alors je remets le problème sur le tapis... enfin sur le parquet !

Le problème : Sur un parquet, on lance une aiguille. Quel motif de parquet proposeriez-vous pour que les probabilités que l'aiguille croise 0 joint, 1 joint ou plus de 1 joint plus soient égales ?

Par motif de parquet, j'entends toute configuration périodique à une dimension (lames très longues) ou à 2 dimensions (comme un carrelage).

Pour ne pas influencer vos recherches, je cache pour l'instant les réponses.
Alors... A vos marques ! Prêt ? Parquet !



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 26-02-2015 12:38:12

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Pile ou face à la bageutte 3

Il y a une différence avec le "baguette 2" ?

Je crois que je vais tranquillement attendre 5 ans pour le baguette 4 lollollollol

Mais non je ne suis pas aigri smile

Vasimolo

 #3 - 28-02-2015 00:43:27

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Pile ou fcae à la baguette 3

Je vois que cette énigme est un succès qui ne se dément pas !!!
Je vous donne donc 2 voies :
1. La solution dont je suis sûre de l'existence est faite avec des lames de longueur "infinie" et de plusieurs largeurs.
2. Il ne faut pas hésiter à faire des lancers et à compter.
A suivre...

 #4 - 02-03-2015 10:21:55

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 401

Pile ou face à la bagueette 3

Bonjour,
Sauf erreur, je pense avoir trouvé une solution approchée, avec des lames de longueur infinie ayant alternativement une largeur de 1 et 0.219262, et une aiguille de longueur 0.957606 (ou bien une aiguille de longueur 1 et des lames de largeurs respectives 1.044271 et  0.228969)

Voici les probabilités que j'obtiens, par calcul et par simulation (10^7 lancers)
k est le nombre d'intersections de l'aiguille avec un joint

Code:

                   calcu         simul        
k= 0           p=  0.3333332089  0.3335252000
k= 1           p=  0.3333337237  0.3331987000
k= 2           p=  0.3333330674  0.3332761000
Total          p=  1.0000000000  1.0000000000

 #5 - 02-03-2015 12:18:39

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Pile ou ace à la baguette 3

J'ai une solution plus formelle avec deux lames mais sans latex sur le site je renonce à rédiger quoi que ce soit smile

Vasimolo

 #6 - 02-03-2015 18:44:22

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

pile ou face à la bagiette 3

Bravo Enigmatus, j'ai également identifié cette solution.

Voici ma démonstration de l'existence d'une solution. En revanche, je n'ai pas abouti avec un calcul formel des dimensions du motif.

Pour un motif donné, les probabilité P0, P1 et P2 de croiser respectivement 0 fois, 1 fois et 2 fois ou plus les joints sont fonctions de la longueur a de l’aiguille et des caractéristiques du parquet.
On ne réduit pas le problème en utilisant l'aiguille comme longueur unité.

Les 3 probabilités vérifient P0+P1+P2=1, il y a donc une « liberté » d’ordre 2 (P0 et P1 donnés impliquent P2).
On peut donc imaginer qu’un motif défini par 2 caractéristiques variables indépendamment permettra de faire varier (P0 ,P1) dans une partie de [0 ;1]x[0 ;1].

Voici 3 exemples de motifs à 2 paramètres :
http://www.prise2tete.fr/upload/dylasse-buffon1.jpg
Je me suis uniquement penché sur le premier.

L’expression de la probabilité de ne croiser aucun joint dans le cas de l’aiguille de Buffon sur un parquet à lames identiques de largeur l est connue (http://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon). Nous l’appellerons Pz(l).
Pz(l)=1-2/(pi*l) pour l >1 et Pz(l)= « une expression plus compliquée » pour l <1.
On peut l’utiliser pour déterminer P0 en fonction de l et m. En effet, lorsque l’aiguille tombe, son milieu est sur une lame de largeur l dans l/(2l+m) cas et sur une lame de largeur l+m dans (l+m)/(2l+m) cas. Donc P0(l,m)= l/(2l+m) Pz(l) + (l+m)/(2l+m) Pz(m+l).

Nous pouvons déjà affirmer que P0(l ;0)=Pz(l) (Prop 1) : quand m=0, on est dans la configuration classique de l’aiguille de Buffon.
Nous avons également P0(0 ; m)=Pz(m) : cas limite où 2 joints sont toujours confondus. On a alors P1(0 ; m) = 0 et donc P2(0 ; m) = 1 – Pz(m) (Prop 2), que l’on va utiliser juste après.

Nous recherchons l et m tels que P0(l,m) = 1/3. Cette expression implicite n’est pas (facilement) retournable. On appelle M(l) la valeur de m solution de P0(l,m)=1/3. M est une fonction continue par construction, sur tout intervalle où elle est définie. En voici une interpolation avec la courbe C, point par point avec un solveur (Excel).

http://www.prise2tete.fr/upload/dylasse-buffon3.jpg

Soit k vérifiant Pz(k)=1/3
On voit sur le graphe que (Prop1) est vérifiée : P0(k ; 0)=P0(0 ; k) = 1/3 et que k~0,94.

La fonction Pz(l) est une fonction croissante de l (par construction, plus la largeur des lames est grande plus on risque de ne croiser aucun joint).
Pz(1)=1- 2/(pi)~0,36>1/3
Pz(racine(2)/2)=1- [2*racine(2)/pi * (1-racine(1-1/2)) + 1 – 2 arcsin(racine(2)/2)/pi ] = 1/3 + (pi+12-12*racine(2))/(6pi)<1/3

Donc k est dans [racine(2)/2 ; 1]

Comment varient P1 et P2 lorsque (l,M(l)) décrit la courbe C ?
D’après (Prop 2), P1(0 ; k) = 0 et P2(0 ; k) = 2/3.

On va maintenant montrez que P2(k ; 0) < 1/3 (c’est assez lourd, mais je n’ai pas vu plus aérien) :
P2(k ; 0) est la probabilité qu’une aiguille lancée sur un parquet simple de largeur k coupe 2 joints.
P2(l ; 0) est une fonction décroissante de l (plus la largeur des lames est grande, moins on risque de croiser 2 joints ou plus).
Pour lr=racine(2)/2, étudions la probabilité de couper 2 joints.
Pour qu’une aiguille coupe 2 joints, il faut que l’extrémité gauche de l’aiguille soit suffisamment près du premier joint croisé (indépendamment de l’angle) Event1 et il faut également que l’angle avec le parquet soit tel que la projection des 2 extrémités soit plus longue qu’une largeur de lame (indépendamment de la position de l’extrémité gauche) Event 2.
Donc P2(lr ; 0) < P(Event 1) * P(Event 2)
Event 1 : dans le cas le plus favorable (angle = 0), l’aiguille coupera 2 lames si l’extrémité gauche est à moins de 1-lr du premier joint croisé, donc P(Event1)=(1-lr)/lr=racine(2) – 1
Event 2 : si l’angle est tel que la projection des 2 extrémités de l’aiguille est inférieure à la largeur du parquet, il n’y a aucune chance de croiser 2 joints. Donc P(Event2)<pi/4/(pi/2)=1/2.
Donc P2(lr ; 0) < racine (2)/2 – 1/2 <1/3

D’après la décroissance de P2(l ; 0),
on a donc P2(k ; 0) < 1/3

On va admettre que P2 est une fonction continue de l et m (il n’y a aucune raison qu’elle ne le soit pas !), donc P2(l ;M(l)) est une fonction continue de l. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe lc dans [0 ; k] tel que P2(lc ; M(lc))=1/3

On vient donc de démontrer l’existence d’un motif défini par lc et M(lc) tel que P0=P1=P2.

J’ai pu estimer une valeur de lc et M(lc) en simulant des lancers d’aiguilles et en comptant les cas favorables. J’ai trouvé, comme Enigmatus : lc ~ 0,23 et M(lc)~0,81.

 #7 - 07-03-2015 11:38:12

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Pile ou face la baguette 3

Quelqu'un a-t-il remarqué et pourrait expliquer pourquoi la somme des largeurs des deux lames est égale à 4/pi ?

Vasimolo

 #8 - 09-03-2015 18:48:22

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

pile ou fzce à la baguette 3

... et que la taille de la plus petite lame est l'unique solution de l'équation :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-Arccos2.png

Vasimolo

 #9 - 11-03-2015 14:23:31

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Pile o uface à la baguette 3

Merci Vasimolo pour ton investissement dans cette énigme !

Effectivement, la somme des largeurs des deux lames fait 4/pi.

Supposons que l’on supprime un joint sur 2 (celui de gauche de la grande lame, par exemple), on se retrouve avec un parquet de largeur Sc = 2 lc + M(lc) (avec mes notations).
Ce parquet a une largeur supérieure à 1, donc la probabilité de ne croiser aucun joint est de PN0=Pz(Sc)=1-2/(pi * Sc).

La situation où l’aiguille ne croise aucun joint du nouveau motif correspond soit à l’aiguille qui ne croise pas de joint sur le motif initial (P0), soit l’aiguille qui croisait un joint (et un seul) qui a été supprimé.
Les 2 joints (gauche ou droit de la grande lame) jouent un rôle parfaitement symétrique, il y a donc autant d’aiguilles qui traversent le droit que le gauche : la probabilité que l’aiguille croise un joint supprimé est donc de ½ P1.

D’où PN0 = P0 + 1/2 P1
Soit 1-2/(pi * Sc) = 1/2, donc Sc=4/pi.

Je laisse le soin à Vasimolo de montrer le résultat de ses recherches pour l’expression de lc, en espérant que d'autres P2Tnautes proposent leur propre solution. Merci à tous.

 #10 - 11-03-2015 23:40:13

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

pile ou face à la baguetye 3

Un PDF pour pallier à la déficience du LaTeX du site  :



Vasimolo

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Un berger a 40 moutons, ils meurent tous sauf 18, combien en reste-t-il ?

Sujets similaires

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete