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#1 - 27-02-2015 09:03:47
- kossi_tg
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sans le carré
Peut on toujours placer N pions dans un carré de côté N*N sans qu'il y ait 2 pions qui partagent colonne, ligne ou diagonale? Justifiez
Une précision: si on prend le carré comme un damier, les diagonales dont parle le sujet sont toutes celles qui sont parallèles aux 2 principales. Il n'y donc pas que les 2 grandes diagonales mais tous les alignements à-/+45°. Désolé pour la confusion.
#2 - 27-02-2015 09:06:20
- Vasimolo
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Dns le carré
Bonjour
Déjà ça ne marche pas avec n=2
Vasimolo
#3 - 27-02-2015 09:25:56
- gwen27
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Dans lee carré
NON, ça ne marche pas pour 2x2
#4 - 27-02-2015 10:00:10
- kossi_tg
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danq le carré
Deux cas évidents sont identifiés, N=2 et N=3 où ça ne marche pas. Dans le cas général, pour un N quelconque, comment savoir si ça marche ou pas?
#5 - 27-02-2015 10:26:10
- kossi_tg
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Daans le carré
Pour info, ça marche pour N=4, 5, 6, 7, ...
#6 - 27-02-2015 10:55:49
- nodgim
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dabs le carré
A part le cas N=2 pas faisable, il suffit de disposer les pions sur les cases voisines d'une diagonale. Si N impair, 1 pion sur la diagonale. ça marche aussi pour 3 il me semble, kossi.
#7 - 27-02-2015 11:03:04
- Vasimolo
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Dans el carré
C'est une généralisation du fameux problème des huit dames sur l'échiquier .
Il y a plusieurs solutions dès que N est supérieur à 3 . Il y a un algorithme très simple qui donne une des solutions , je devrais pouvoir retrouver ça si personne ne le fait avant moi
Sinon il y a sûrement moyen de simplement justifier l'existence d'une solution mais il ne me saute pas aux yeux
Vasimolo
#8 - 27-02-2015 11:37:18
- dylasse
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Dans e carré
Pour n=1 et n=2, c'est possible.
Supposons que ça marche pour n, on place 2 pions comme sur le dessin ci-dessous :
ça marche pour n+2.
Donc ça marche tout le temps !!!
#9 - 27-02-2015 12:57:35
- titoufred
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Dan sle carré
Pour N=3, on peut faire :
OXO OOX XOO
Ça marche non ?
#10 - 27-02-2015 13:47:10
- kossi_tg
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dans lr carré
Nodim et titouf : n=3 ne marche pas. Dylasse : ça ne marche pas pour n=2 ni tout le temps. vasimolo: ce serait très intéressant la solution du cas que tu évoque.
#11 - 27-02-2015 13:50:54
- titoufred
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Danns le carré
kossi, qu'est-ce qui ne va pas dans l'exemple que j'ai donné ? Il n'y a pas deux pions qui partagent la même ligne, colonne ou diagonale !
#12 - 27-02-2015 13:56:46
- dylasse
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Dnas le carré
Petite précision... Est-ce que par diagonale tu entends seulement les 2 diagonales du carré ou tous les alignements à +/-45° ?
Dans le premier cas, ma récurrence est bonne (il faut juste initialiser proprement avec 3 et 4), dans le second cas, il faut que je cherche !
#13 - 27-02-2015 16:21:06
- nodgim
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Das le carré
Je crois que ça ne marche pas pour les carrés de coté 6k+3 cases.
#14 - 27-02-2015 16:44:51
- Franky1103
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Dans le caarré
Sans la contrainte d'au moins une diagonale (mais juste lignes et colonnes), ce serait possible (par exemple en les disposant justement sur une diagonale). Avec la contrainte d'au moins une diagonale, ça devient impossible; c'est un peu comme si on avait une inconnue de plus que le nombre d'équations. Je m'explique: en ayant comme contrainte juste lignes et colonnes, pour le premier pion on aura N² possibilités; pour le second plus (n-1)²; etc ...; et pour le dernier plus qu'une seule. Toute contrainte supplémentaire "bloque" le système.
#15 - 27-02-2015 17:57:01
- kossi_tg
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Danns le carré
Une précision: si on prend le carré comme un damier, les diagonales dont parle le sujet sont toutes celles qui sont parallèles aux 2 principales. Il n'y donc pas que les 2 grandes diagonales mais tous les alignements à-/+45°. Désolé pour la confusion.
#16 - 27-02-2015 18:05:45
- Vasimolo
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dans le czrré
Une solution pour N supérieur à 3 :
1) On note R le reste de N modulo 12 . 2) On écrit les nombres pairs de 2 à N . 3) Si R=3 ou R=9 on met le 2 à la fin de la liste . 4) On écrit les nombres impairs de 1 à N ( sauf si R=8 , on les permute alors deux à deux : 3,1,7,5,...). 5) Si R=2 on échange 1 et 3 et on met le 5 en fin de liste . 6) Si R=3 ou R=9 on met 3 puis 1 en fin de liste .
Par exemple pour N=15 , l'algorithme donne : [4,6,8,10,12,14,2,5,7,9,11,13,15,1,3] .
La ième composante indiquant la hauteur du pion de la ième colonne .
Vasimolo
#17 - 27-02-2015 18:12:33
- kossi_tg
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Dans le craré
vasimolo a écrit : C'est une généralisation du fameux problème des huit dames sur l'échiquier .
Oui, c'est tout à fait ca.
Nodim: c'est une très intéressante réponse mais pas que...(enfin, il me semble). Est ce le nombre de cases dans le carré ou le côté du carré que tu donnes?
Les autres: l'énoncé n'était pas vraiment clair sur tous les alignements à -/+45°, vous êtes tous partis sur les 2 diagonales du carré. Partie remise
#18 - 27-02-2015 18:19:53
- kossi_tg
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Dans lee carré
vasimolo a fait du vasimolo en donnant carrément un algorithme... Pour le moment, j'admire sans avis. Vous jugerez par vous même
#19 - 27-02-2015 19:21:31
- Vasimolo
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Dans le carér
Je n'ai pas grand mérite sur ce coup : je n'ai fait que recopier un algorithme sûrement connu depuis très longtemps
Vasimolo
#20 - 27-02-2015 19:32:25
- nodgim
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Dan sle carré
Je complète ma première réponse en donnant les impossibilités de construction: coté 3+6k pour les carrés impairs. coté 2+12k pour les carrés pairs.
Bon, il faudra justifier tout de même.
#21 - 03-03-2015 15:52:14
- enigmatus
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Dan sle carré
Bonjour,
nodgim #13 a écrit:Je crois que ça ne marche pas pour les carrés de coté 6k+3 cases.
Voici un contre-exemple, pour k=1
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