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 #1 - 04-09-2011 21:36:33

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Au carré

Que vaut le côté du carré ?

http://nsa27.casimages.com/img/2011/09/04/110904094318713998.jpg



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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#0 Pub

 #2 - 04-09-2011 21:46:16

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

au carté !

[TeX]2r[/latex], avec [latex]r[/latex] le rayon du cercle.

Bon, maintenant que Captain Obvious a dégrossi l'énoncé, je vais pouvoir enchaîner  sur du plus technique : on peut tracer un rayon allant du centre du cercle au point que ledit cercle a en commun avec le petit rectangle.

Ce rayon est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés [latex]r-1[/latex] et [latex]r-2[/latex], et donc vaut [latex]\sqrt{(r-1)^2+(r-2)^2}[/latex].

Donc :

[latex]r = \sqrt{(r-1)^2+(r-2)^2}
r^2 = (r-1)^2+(r-2)^2 = 2 r^2 -6 r +5[/TeX]
Donc le rayon est racine de [latex]r^2 - 6 r + 5 = (r-1)(r-5)[/latex], et comme 1 ne convient manifestement pas (la figure donne directement la condition [latex]r>2[/latex] -- on remarquera néanmoins que le coin supérieur droit d'un rectangle 1x2 appartient bel et bien au cercle de rayon 1 qui admet pour tangentes les côtés inférieur et gauche du rectangle smile), le rayon vaut 5, et le carré fait 10 de côté.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 04-09-2011 22:06:10

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2715
Lieu: Luxembourg

Au carrré !

Bonjour,
Le côté du carré vaut deux fois le rayon du cercle big_smile.
L'équation du cercle (dans un repère d'origine le point en bas à gauche) est:
(x-R)² + (y-R)² = R² auquel appartient le point (2;1) (et (1;2) aussi d'ailleurs).
Donc (R-1)² + (R-2)² = R² qui se simplifie en: R² - 6R + 5 = 0, équation du second degré ayant pour solutions R1 = 1 (solution évidente) et R2 = 5.
La première solution est "dégénérée" (celle où le cercle est coupée en deux) et je ne retiens donc que la seconde.
Au final, le côté du carré vaut 10 cm.
Bonne soirée.
Frank

 #4 - 04-09-2011 22:46:00

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

au carté !

(r-1)²+(r-2)²=r²
r²-2r+1+r²-4r+4=r²
r²-6r+5=0
Δ=36-4.1.5=4²
=>r=(6±4)/2
r=5 est la seule construction possible (1 pt de contact)
=>diamètre=10cm
http://img6.imagebanana.com/img/mzy3dy7o/carredanscercle.gif

 #5 - 05-09-2011 03:02:33

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

u carré !

http://www.prise2tete.fr/upload/Azdod-1111.png
http://www.prise2tete.fr/upload/Azdod-e87b9185c2bc9a18cdd2ac0d8666b185.png
(2-0)(2-2r)+(1-r)²=0 d'ou r=5
Merci pour l'enigme


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #6 - 05-09-2011 09:45:00

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Au carr !

10 cm

 #7 - 05-09-2011 09:58:48

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Au acrré !

Le côté du carré fait 10 cm.
x étant le demi côté,
x=[racine carrée (x-2)²+(x-1)² ]
Seul cas possible, x=5!


Un promath- actif dans un forum actif

 #8 - 05-09-2011 10:23:28

Memento
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 176

au xarré !

Je propose 10 smile

 #9 - 05-09-2011 11:23:35

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1434

Au caré !

On pose O le centre du cercle, on trace un repère dont les axes sont parallèles aux cotés du carré, et on note R le rayon du cercle (ou le demi côté du carré).
L'équation du cercle est x^2+y^2 = R^2, vérifiée par le point (2-R; 1-R)
Donc R^2-2R+1+R^2-4R+4 = R^2
On résoud R^2-6R+5=0; on trouve R=5 ou R=1. On élimine la réponse R=1 car d'après le dessin, R > 1.
Le côté du carré est donc de 10

 #10 - 05-09-2011 12:04:35

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Au crré !

Plaçons un repère au centre du cercle (et du carré), l'unité étant le centimètre.
Le côté du cercle vaut 2R.

L'équation du cercle est:
[TeX]x^2+y^2=R^2[/TeX]
Le point de coordonnées (2-R,1-R) appartient au cercle donc:
[TeX](R-2)^2+(R-1)^2=R^2[/TeX]
Soit:
[TeX]R^2-6R+5=0[/TeX]
1 est racine évidente, donc 5 est l'autre racine.
1 ne peut être solution du problème.

Le côté du carré mesure donc 10cm.

Merci pour cette petite énigme sympa pour un lundi matin.

 #11 - 05-09-2011 12:52:16

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1988
Lieu: Paris

Au craré !

Si je note r le rayon du cercle, on peut utiliser Pythagore dans un triangle dont 2 des côtés sont le centre du cercle et le sommet du rectangle qui est situé à l'intérieur du carré.
On a la relation (r-2)²+(r-1)²=r², d'où (r-5)(r-1)=0. On a donc r=5.
Et le côté du carré vaut 10cm smile

 #12 - 05-09-2011 16:11:50

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

Au carr !

Ça vaut 10 très cher SaintPierre.

le rayon [latex]r[/latex] du cercle est solution de l'équation
[latex] r^ 2=(r-1)^2+(r-2)^2[/latex] issue d'une bête application du théorème de Pythagore
cela donne [latex]r^2-6r+5=0[/latex] dont les solutions sont 1 et 5.

 #13 - 05-09-2011 19:53:25

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2955

AAu carré !

Formule générale:
R=A+B+rac²(2AB).

 #14 - 05-09-2011 21:30:04

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Au carrré !

Aucun problème. Bravo à tous ! wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
 

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