$$2r[/latex], avec [latex]r[/latex] le rayon du cercle. Bon, maintenant que Captain Obvious a dégrossi l'énoncé, je vais pouvoir enchaîner  sur du plus technique : on peut tracer un rayon allant du centre du cercle au point que ledit cercle a en commun avec le petit rectangle. Ce rayon est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés [latex]r-1[/latex] et [latex]r-2[/latex], et donc vaut [latex]\sqrt{(r-1)^2+(r-2)^2}[/latex]. Donc : [latex]r = \sqrt{(r-1)^2+(r-2)^2} r^2 = (r-1)^2+(r-2)^2 = 2 r^2 -6 r +5$$
Donc le rayon est racine de $r^2 - 6 r + 5 = (r-1)(r-5)$, et comme 1 ne convient manifestement pas (la figure donne directement la condition $r>2$ -- on remarquera néanmoins que le coin supérieur droit d'un rectangle 1x2 appartient bel et bien au cercle de rayon 1 qui admet pour tangentes les côtés inférieur et gauche du rectangle ), le rayon vaut 5, et le carré fait 10 de côté.

(r-1)²+(r-2)²=r²
r²-2r+1+r²-4r+4=r²
r²-6r+5=0
Δ=36-4.1.5=4²
=>r=(6±4)/2
r=5 est la seule construction possible (1 pt de contact)
=>diamètre=10cm

10 cm

Je propose 10

Plaçons un repère au centre du cercle (et du carré), l'unité étant le centimètre.
Le côté du cercle vaut 2R.

L'équation du cercle est:
$$x^2+y^2=R^2$$
Le point de coordonnées (2-R,1-R) appartient au cercle donc:
$$(R-2)^2+(R-1)^2=R^2$$
Soit:
$$R^2-6R+5=0$$
1 est racine évidente, donc 5 est l'autre racine.
1 ne peut être solution du problème.

Le côté du carré mesure donc 10cm.

Merci pour cette petite énigme sympa pour un lundi matin.

Ça vaut 10 très cher SaintPierre.

le rayon $r$ du cercle est solution de l'équation
$r^ 2=(r-1)^2+(r-2)^2$ issue d'une bête application du théorème de Pythagore
cela donne $r^2-6r+5=0$ dont les solutions sont 1 et 5.

Aucun problème. Bravo à tous !