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 #26 - 21-04-2015 21:36:53

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

un hateau parfaitement divisé

L'aire bleue représente un quart du disque total. L'angle au centre mesure 2 Theta

http://latex.numberempire.com/render?%5Cfrac%20%7B2%5Ctheta%7D%7B2%5Cpi%20%7D%5Cpi%20r%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dsin%282%5Cpi%20-2%5Ctheta%20%29r%5E2%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B4%7Dr%5E2&sig=c1949ac331e4628262c9ddc7b779c323
http://latex.numberempire.com/render?%5Ctheta%20%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dsin%282%5Ctheta%20%29%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D&sig=619474ca6c85971b895a50d70a2679e0
http://latex.numberempire.com/render?2%5Ctheta%2Bsin%282%5Ctheta%29-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%3D0&sig=4dc65973faee6aa0357043bdea27839b
http://latex.numberempire.com/render?%5Ctextrm%7BSoit%7D%20%5C%3A%20x%3D2%5Ctheta&sig=4925f1ce25469b1178ee4532bf0544a9
http://latex.numberempire.com/render?x%2Bsin%28x%29%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D&sig=d6f30d9e5e790ba6e37007a9c63a5e35
http://latex.numberempire.com/render?%5Ctextrm%7BOn%20a%20l%27approximation%7D%20%5C%3B%20%20sin%28x%29%5Csimeq%20x&sig=ce222bc061cc6c9d13819ad3fe6b9b06
http://latex.numberempire.com/render?%5Ctextrm%7BDonc%7D%20%5C%3B%20x%5Csimeq%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D&sig=1ad9b89bbe47bb9c793d8a88e79ec8b4
http://latex.numberempire.com/render?%5Ctextrm%7BPour%20de%20tels%20x%2C%20on%20a%7D%20%5C%3B%20x%5E3%5Csimeq%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7Dx%5E2&sig=4b6b5028f33907e8836c93372e2d521e
http://latex.numberempire.com/render?%5Ctextrm%7BEn%20substituant%20dans%20la%20formule%20de%20developpement%20limite%2C%20on%20a%7D%5C%3B%200%3D2x-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B24%7Dx%5E2-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D&sig=fbea2d860344386a6a5885b64402edb85c4f
http://latex.numberempire.com/render?%5Ctextrm%7BCe%20qui%20donne%20comme%20racine%200.83.%20Donc%20un%20angle%20de%200.415%7D&sig=d614f64eccf250d67806ee069f841bb4

Avec wolfram alpha, la dernière étape est inutile et on trouve une solution plus proche que celle "manuelle" sans calcul formel: 0.416

Je vais apporter un complément et une précision du résultat ensuite


Un promath- actif dans un forum actif

#0 Pub

 #27 - 22-04-2015 18:46:21

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Un gateau parfaitemnet divisé

D'accord sin(x) est équivalent à x en 0 mais ici x n'est pas si petit que ça , il faudrait encadrer un peu plus l'approximation smile

Vasimolo

 #28 - 22-04-2015 19:05:12

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

un gateau parfaitzment divisé

C'est pour ça que j'ai utilisé le développement limité ensuite pour retomber sur mes pattes. On n'arrive pas très loin

Que veux tu dire par "encadrer un peu plus"?


Un promath- actif dans un forum actif

 #29 - 22-04-2015 19:23:58

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Un gateau aprfaitement divisé

Je veux simplement dire qu'il ne faut pas approcher le résultat mais l'encadrer pour être sûr de la dernière décimale , sinon on fait appel aux machines mais il me semblait que tu voulais l'éviter smile

Vasimolo

 #30 - 22-04-2015 19:30:47

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Un gateu parfaitement divisé

Ah oui d'accord, oui j'aurais préferé éviter mais encadrer le résultat est un peu long, je triche un peu aussi du coup big_smile


Un promath- actif dans un forum actif

 #31 - 22-04-2015 19:46:38

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

un gateau parfaitement dovisé

Par exemple on a sur [0;pi/2] x>sin(x)>2/pi*x smile

Une bonne méthode pour ce genre d'équation est soit la résolution par la méthode de Newton chose faisable à la main en moins de dix minutes et avec une bonne approximation puisqu'une convergence quadratique !

Une autre possibilité utiliser les polynômes interpolateurs de Lagrange un peu plus longue mais très efficace par ordinateur ! 

Dernière possibilité à la main : écrire le développement limité de ladite fonction sur un domaine adapté proche de la valeur que l'on recherche que l'on peut facilement majorer dans les cas simples comme celui-ci :

Ici un développement limité à l'ordre 2 (si on a un cos) ou 3 (si on a un sin) donnera une bonne approximation de la fonction même en 1, je n'ai pas encore fait la démonstration de l'erreur que l'on trouve par "translation" sur l'axe des x en fonction de l'erreur en 0, quoiqu'il en soit le schéma suivant est très révélateur de mon propos :

Vous pouvez zoomer les deux images




La résolution manuelle des équations d'ordre trois est possible à la main avec un peu de pratique, si on avait un cosinus on aurait eu une équation d'ordre 2 ce qui est plus sympathique ! wink

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #32 - 22-04-2015 20:01:14

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

un gateau parfaitemenr divisé

Une simple dichotomie m'a suffit, la fonction est croissante.

 #33 - 22-04-2015 20:08:42

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

Un gateau parfaitement divissé

Certes, je donnais juste des pistes supplémentaires, la prochaine fois promath pourra proposer une réponse avec 128 chiffres après la virgule tongue


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #34 - 22-04-2015 20:10:39

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Un gateau aprfaitement divisé

Ah d'accord, je vois, mais une approximation est plus rapide quand même. La méthode de Newton je connaissais mais c'est calculatoire, sûrement plus précis par contre, je n'y avais pas pensé. Lagrange je ne connaissais pas, je regarde wink
Oui effectivement on aurait pu essayer de transcrire avec des cosinus mais je ne pense pas que la solution vient toute seule du coup. On aurait alors x+sinx=pi/2
x+sqrt(1-cos²x)=pi/2
1-cos²x=pi²/2²-xpi+x²

avec le développement limité on est obligé d'utiliser la méthode de Lagrange pour le degré 4 (pas possible de poser X=x² à cause du xpi)... Moyennement marrant.

Effectivement j'avais utilisé Cardan au début, ça redonne une solution très proche aussi! Mais les formules de Cardan sont peu connues donc j'ai utilisé une approximation à pi/4.

Par dichotomie aussi, mais autant rester le plus possible dans les équations avant de tenter le calcul (c'est mon avis)

Shadock: dans ce cas je trouverais une méthode plus rapide que celles qu'on a faites ^^'


Un promath- actif dans un forum actif

 #35 - 22-04-2015 20:15:54

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

un gateau parfaitement dicisé

Quand je dis si on avait eu un cosinus c'est si l'équation était x+cos(x)=pi/2 ... smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #36 - 22-04-2015 20:20:03

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Au fond de l'univers

un gateau parfaotement divisé

Oui je me doute bien, mais j'ai essayé de remplacer après... Je ne sais pas s'il existe une méthode générale pour résoudre de telles équations


Un promath- actif dans un forum actif

 #37 - 22-04-2015 20:26:21

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

U gateau parfaitement divisé

Non mais ne remplace pas si l'équation est avec sinus garde-la avec sinus c'est assez compliqué comme ça pour prendre la racine du cosinus... lol


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #38 - 22-04-2015 20:27:55

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Un gateau parfaitemennt divisé

La racine de l'unité moins le carré du cosinus en plus big_smile


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