D'accord sin(x) est équivalent à x en 0 mais ici x n'est pas si petit que ça , il faudrait encadrer un peu plus l'approximation

Vasimolo

Je veux simplement dire qu'il ne faut pas approcher le résultat mais l'encadrer pour être sûr de la dernière décimale , sinon on fait appel aux machines mais il me semblait que tu voulais l'éviter

Vasimolo

Par exemple on a sur [0;pi/2] x>sin(x)>2/pi*x

Une bonne méthode pour ce genre d'équation est soit la résolution par la méthode de Newton chose faisable à la main en moins de dix minutes et avec une bonne approximation puisqu'une convergence quadratique !

Une autre possibilité utiliser les polynômes interpolateurs de Lagrange un peu plus longue mais très efficace par ordinateur ! 

Dernière possibilité à la main : écrire le développement limité de ladite fonction sur un domaine adapté proche de la valeur que l'on recherche que l'on peut facilement majorer dans les cas simples comme celui-ci :

Ici un développement limité à l'ordre 2 (si on a un cos) ou 3 (si on a un sin) donnera une bonne approximation de la fonction même en 1, je n'ai pas encore fait la démonstration de l'erreur que l'on trouve par "translation" sur l'axe des x en fonction de l'erreur en 0, quoiqu'il en soit le schéma suivant est très révélateur de mon propos :

Vous pouvez zoomer les deux images




La résolution manuelle des équations d'ordre trois est possible à la main avec un peu de pratique, si on avait un cosinus on aurait eu une équation d'ordre 2 ce qui est plus sympathique !

Shadock

Certes, je donnais juste des pistes supplémentaires, la prochaine fois promath pourra proposer une réponse avec 128 chiffres après la virgule

Quand je dis si on avait eu un cosinus c'est si l'équation était x+cos(x)=pi/2 ...

Non mais ne remplace pas si l'équation est avec sinus garde-la avec sinus c'est assez compliqué comme ça pour prendre la racine du cosinus...