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 #1 - 18-04-2015 20:27:21

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

un gateay parfaitement divisé

Bonjour smile

Hier j'ai cuisiné un gâteau en forme de demi disque parfait. J'y ai d'ailleurs mis un glaçage vert et bleu. J'ai utilisé la même quantité de glaçage des deux couleurs, donc ils occupent la même surface. La ligne de démarcation entre les deux glaçages est nette, rectiligne, et part d'un coin.
Mais combien vaut l'angle Thêta?
http://img15.hostingpics.net/pics/281864Gateaudivisendeux.png

On donnera une réponse en radians, à un millième près (exemple 0.123)

Bonne chance! smile



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 #2 - 18-04-2015 23:23:30

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 143

Un gateau parfaitement divié

On prends l'origine au centre du demi-cercle.

On note x l'abscisse positive de l'intersection de la droite repérée par l'angle avec le demi-cercle.

Alors l'aire verte vaut :

http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-AVGat.gif

Et l'aire bleue vaut :

http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-ABGat.gif

L'égalité donne x = 0.6736

D'autre part la tangente de l'angle vaut :

http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-TGat.gif

On en déduit sa valeur : 0.416

 #3 - 19-04-2015 09:23:35

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

Un gateau parfaitement dviisé

salut.

en posant x = 2.thêta  -->  x = pi/2 - sin x --> x = 0.8317   et thêta = 0.416 rd

 #4 - 19-04-2015 09:59:27

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Un gateau parfaitementt divisé

Deux bonnes réponses !
Sydre, j'ai plus simple que ta methode smile


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 #5 - 19-04-2015 10:22:47

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Un agteau parfaitement divisé

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Circularsegment.svg/257px-Circularsegment.svg.png
http://upload.wikimedia.org/math/a/3/d/a3d1a842a42e1ca0731fb0aa2b5b6d5e.png
En prenant pi - 2 theta à la place du Théta de wiki :

PI/2 = pi - 2 theta - sin (pi - 2 theta)
PI/2 = 2 theta + sin (2 theta)

0,4158 ni 0,415, ni 0,416 ne sont validés.

 #6 - 19-04-2015 11:21:35

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

un gateau parfaitemebt divisé

Bonjour Promath smile

On découpe la partie bleue en deux triangles rectangles d'angle Ô et d'hypoténuse 1 ( le rayon du demi-cercle ) et en un secteur circulaire d'angle 2Ô . Comme elle doit faire un quart du disque on a : Ô+cosÔ.sinÔ=pi/4 .

Le reste c'est pour les machines .

Vasimolo

 #7 - 19-04-2015 15:26:37

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2124

Un gateau parfaitemeent divisé

Celle-là est dans mes cordes. wink
Je remplace théta par a...

En traçant le segment entre le centre du cercle et le point du périmètre à la frontière des deux aires je divise l'aire bleue en un triangle isocèle et un quartier de disque.

Les aires respectives (pour un rayon de 1) sont 2a/2=a et sin(a)cos(a)=1/2sin(2a).
Leur somme doit valoir la moitié de pi/2, soit pi/4

a+1/2sin(2a) = pi/4
Pour une valeur approchée de 0.416 (merci wolfram)

Et hop !


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #8 - 19-04-2015 15:33:22

fmifmi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 87

Un gateau parfaitementt divisé

On considere la surface en bleu qui vaut pi*r²/4
elle est la somme de:
1)un secteur circulaire d' angle 2 teta donc s=teta*r²
2)un triangle isocele dont la surface est r*cos(teta)*r*sin(teta) soit r² sin(2*teta)/2

on obtient l'equation   2*sin(2*(teta)) + 4*teta - pi=0

tableur donne teta= 0,4158

 #9 - 19-04-2015 15:52:32

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2706
Lieu: Luxembourg

UUn gateau parfaitement divisé

http://www.prise2tete.fr/upload/Franky1103-theta.png
L’angle du camembert de droite vaut: pi - 2.(pi / 2 - A) = 2A
L’aire du camembert de droite vaut donc: A.R²
L’aire des deux triangles rectangles vaut: a.b = R².cosA.sinA = R².sin2A / 2
On a la relation: A.R² + R².sin2A / 2 = pi.R² / 4, ou: 4A + 2.sin2A – pi = 0
On trouve: A = 0,416 rad env., validé par la case-réponse

 #10 - 19-04-2015 17:45:10

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

Un gtaeau parfaitement divisé

On rajoute le rayon qui joint le centre au point du cercle situé sur la frontière entre les deux glaçages, en haut à droite.

L'angle entre l'axe et ce rayon vaut 2θ par le théorème de l'angle au centre.

Ce rayon partage le glaçage bleu en deux parties, une portion de disque d'aire θ, et un triangle d'aire sin(2θ).

On en tire l'équation 2θ+sin(2θ)=π/2 qui après résolution numérique donne θ≈0,416.

Joli problème smile

 #11 - 19-04-2015 18:48:44

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

un gateau parfaitemznt divisé

gwen: bonne réponse. Pour la case réponse, relis l'exemple, c'est un point wink
Vasimolo: je ne comprends pas ta méthode, tu tombes sur quoi au final?
papiauche, fmifmi, Franky1103, Ebichu : c'est ok wink


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 #12 - 19-04-2015 19:06:22

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

un gateau parfaitement duvisé

Ca va, je me sens moins bête lol

 #13 - 19-04-2015 19:58:02

alfalf31
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 1
Messages : 1

un gateau parfaitemenr divisé

Hello,bon ce n'est pas la réponse mais voici mon raisonnement.
Ensemble, la partie bleue et verte représente la moitié d’un disque donc, si chaque partie est égale, on doit trouver theta pour que la partie bleue fasse Pi.R²/4.
Si on divise la partie bleue par une ligne qui passe par le centre du disque et qui rejoint l’intersection de la séparation du gâteau avec le contour du gateau, on obtient une section de gâteau de côté R et d’angle (2.Theta) et un triangle isocèle de côté R.
L’aire du triangle est égale à Rcos(theta) . Rsin(theta).
L’aire de la section est (2.Theta).R²/2 = Theta.R²
Donc on doit résoudre
R².sin(Theta).cos(Theta) + Theta.R² = Pi.R²/4.
On élimine les R² et on multiplie par 2 et on regroupe sin et cos
sin(2.Theta) + 2.Theta = Pi/2
Pi/4 = 0.785 est solution de l’équation
J'ai du me gauffrer quelque part smile

 #14 - 20-04-2015 09:37:39

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Un gateau parfaiement divisé

Relis bien ton raisonnement smile


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 #15 - 20-04-2015 15:16:06

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

un gateau parfaitrment divisé

Soient O le centre, A-B le diamètre et A-P le segment sécant.
On trace le rayon O-P.
En prenant le rayon comme unité, on défini le triangle OPA d'aire
                                sin (Thêta)*cos (Thêta)

Les deux zones ont pour aires  :
Thêta + sin (Thêta)*cos (Thêta) = pi/2 – Thêta - sin (Thêta)*cos (Thêta)

Thêta est racine de l'équation :
                        Thêta + sin (Thêta)*cos (Thêta) – pi/4 = 0

soit :                 Thêta = 041586  (0,416 valide la solution)

Merci de me donner ainsi l'occasion de me replonger dans ce genre de calculs.
J'aurais tendance à oublier ce type de manipulations... hmm

 #16 - 20-04-2015 15:22:35

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

un gateay parfaitement divisé

Salut à tous,

En donnant au rayon la valeur 1, en appelant x l'angle au centre correspondant à la corde tracée et en demandant que l'aire du demi-disque soit double de celle du segment de disque, j'obtiens l'équation x - sin (x) = Pi/2

WA me donne 2.30988 comme solution de cette équation bien pourrie.

J'en déduis le valeur arrondie de theta : (Pi - x) / 2 = 0.416

Merci, Promath- !

 #17 - 20-04-2015 18:26:03

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Un gateauu parfaitement divisé

Exact! C'est marrant je compte 3 équations différentes mais qui se ressemeblent et arrivent au même résultat


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 #18 - 20-04-2015 18:39:51

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Un gateau parfaitement diviséé

L'angle que tu cherches est la moitié de la solution de l'équation : x+sin(x)=pi/2 .

Vasimolo

 #19 - 20-04-2015 21:58:48

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

un gateau parfaitemznt divisé

http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-GateauSemiCirculaire.png

La relation entre teta et 2*teta étant établie (relation des angles inscrits)

aire(ABO)=0.5*R^2*sin(pi-2*teta)=0.5*R^2*sin(2*teta)

aire(OBC)=teta*R^2

on déduit 0.5*R^2*sin(2*teta)+teta*R^2=(0.5*pi*R^2)/2

soit sin(2*teta)+2*teta=pi/2

Numériquement teta vaut approximativement 0.4158555968 radian

 #20 - 21-04-2015 00:06:38

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Un gateau parfaiteement divisé

Salut !

Pour aller vite :
1/L'angle au centre vaut 2*téta
2/L'aire de la portion de disque MOB vaut Pi*R²*2*téta/2Pi=R²*téta
3/BM=2Rsin(téta), donc h=Rsin(téta)
4/L'aire du triangle AOM vaut : AM*h/2
=2Rcos(téta)*Rsin(téta)/2
=R²sin(téta)cos(téta)
=R²sin(2téta)/2
5/L'aire de la portion de disque AOM vaut R²(Pi/2-téta)
6/L'aire verte vaut la différence des 5/ et 4/ : R²[Pi/2-téta-sin(2téta)/2]
7/L'aire bleue (foncée+claire) vaut la somme de 4/ et 2/ : R²[téta+sin(2téta)/2]

8/ on a : 6/ = 7/
Pi/2-téta-sin(2téta)/2=téta+sin(2téta)/2
2*téta+sin(2téta)=Pi/2

La table de ma calculatrice me donne 0.416, validé par la case réponse !

Si j'ai le temps je ferai un dessin.

EDIT : Le voici :

http://www.prise2tete.fr/upload/golgot59-demicercle.png

 #21 - 21-04-2015 12:05:41

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Un gateau parfaitement divissé

Vasimolo, kossi_tg, golgot : c'était l'équation que j'avais résolue. Bravo! smile

Edit: Vasimolo: petite erreur d'étourderie je pense


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 #22 - 21-04-2015 13:52:47

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1744

Un gateau parfaitement dvisé

Bonjour,

Voici ma copie :




Merci pour cette énigme pâtissière à ma portée ...
(et merci Wolfram !)

A+smile


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #23 - 21-04-2015 15:38:39

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
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Lieu: Au fond de l'univers

Un gateu parfaitement divisé

Très bien! Et s'il n'y avait pas wolfram?


Un promath- actif dans un forum actif

 #24 - 21-04-2015 17:24:36

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Un gateau parafitement divisé

Je ne vois pas d'erreur mais si tu le dis smile

Vasimolo

 #25 - 21-04-2015 17:39:52

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Au fond de l'univers

Un gateau parfaitemeent divisé

J'avais mal lu ta réponse, je n'avais pas vu le mot "moitié"


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