Enigme Un gateau parfaitement divisé @ Prise2Tete

Promath- · #1

Bonjour

Hier j'ai cuisiné un gâteau en forme de demi disque parfait. J'y ai d'ailleurs mis un glaçage vert et bleu. J'ai utilisé la même quantité de glaçage des deux couleurs, donc ils occupent la même surface. La ligne de démarcation entre les deux glaçages est nette, rectiligne, et part d'un coin.
Mais combien vaut l'angle Thêta?

On donnera une réponse en radians, à un millième près (exemple 0.123)

Bonne chance!

Sydre · #2

On prends l'origine au centre du demi-cercle.

On note x l'abscisse positive de l'intersection de la droite repérée par l'angle avec le demi-cercle.

Alors l'aire verte vaut :

Et l'aire bleue vaut :

L'égalité donne x = 0.6736

D'autre part la tangente de l'angle vaut :

On en déduit sa valeur : 0.416

unecoudée · #3

salut.

en posant x = 2.thêta --> x = pi/2 - sin x --> x = 0.8317 et thêta = 0.416 rd

Promath- · #4

Deux bonnes réponses !
Sydre, j'ai plus simple que ta methode

gwen27 · #5

$http://upload.wikimedia.org/math/a/3/d/a3d1a842a42e1ca0731fb0aa2b5b6d5e.png$
En prenant pi - 2 theta à la place du Théta de wiki :

PI/2 = pi - 2 theta - sin (pi - 2 theta)
PI/2 = 2 theta + sin (2 theta)

0,4158 ni 0,415, ni 0,416 ne sont validés.

Vasimolo · #6

Bonjour Promath

On découpe la partie bleue en deux triangles rectangles d'angle Ô et d'hypoténuse 1 ( le rayon du demi-cercle ) et en un secteur circulaire d'angle 2Ô . Comme elle doit faire un quart du disque on a : Ô+cosÔ.sinÔ=pi/4 .

Le reste c'est pour les machines .

Vasimolo

papiauche · #7

Celle-là est dans mes cordes.
Je remplace théta par a...

En traçant le segment entre le centre du cercle et le point du périmètre à la frontière des deux aires je divise l'aire bleue en un triangle isocèle et un quartier de disque.

Les aires respectives (pour un rayon de 1) sont 2a/2=a et sin(a)cos(a)=1/2sin(2a).
Leur somme doit valoir la moitié de pi/2, soit pi/4

a+1/2sin(2a) = pi/4
Pour une valeur approchée de 0.416 (merci wolfram)

Et hop !

fmifmi · #8

On considere la surface en bleu qui vaut pi*r²/4
elle est la somme de:
1)un secteur circulaire d' angle 2 teta donc s=teta*r²
2)un triangle isocele dont la surface est r*cos(teta)*r*sin(teta) soit r² sin(2*teta)/2

on obtient l'equation 2*sin(2*(teta)) + 4*teta - pi=0

tableur donne teta= 0,4158

Franky1103 · #9

L’angle du camembert de droite vaut: pi - 2.(pi / 2 - A) = 2A
L’aire du camembert de droite vaut donc: A.R²
L’aire des deux triangles rectangles vaut: a.b = R².cosA.sinA = R².sin2A / 2
On a la relation: A.R² + R².sin2A / 2 = pi.R² / 4, ou: 4A + 2.sin2A – pi = 0
On trouve: A = 0,416 rad env., validé par la case-réponse

Ebichu · #10

On rajoute le rayon qui joint le centre au point du cercle situé sur la frontière entre les deux glaçages, en haut à droite.

L'angle entre l'axe et ce rayon vaut 2θ par le théorème de l'angle au centre.

Ce rayon partage le glaçage bleu en deux parties, une portion de disque d'aire θ, et un triangle d'aire sin(2θ).

On en tire l'équation 2θ+sin(2θ)=π/2 qui après résolution numérique donne θ≈0,416.

Joli problème

Promath- · #11

gwen: bonne réponse. Pour la case réponse, relis l'exemple, c'est un point
Vasimolo: je ne comprends pas ta méthode, tu tombes sur quoi au final?
papiauche, fmifmi, Franky1103, Ebichu : c'est ok

gwen27 · #12

Ca va, je me sens moins bête

alfalf31 · #13

Hello,bon ce n'est pas la réponse mais voici mon raisonnement.
Ensemble, la partie bleue et verte représente la moitié d’un disque donc, si chaque partie est égale, on doit trouver theta pour que la partie bleue fasse Pi.R²/4.
Si on divise la partie bleue par une ligne qui passe par le centre du disque et qui rejoint l’intersection de la séparation du gâteau avec le contour du gateau, on obtient une section de gâteau de côté R et d’angle (2.Theta) et un triangle isocèle de côté R.
L’aire du triangle est égale à Rcos(theta) . Rsin(theta).
L’aire de la section est (2.Theta).R²/2 = Theta.R²
Donc on doit résoudre
R².sin(Theta).cos(Theta) + Theta.R² = Pi.R²/4.
On élimine les R² et on multiplie par 2 et on regroupe sin et cos
sin(2.Theta) + 2.Theta = Pi/2
Pi/4 = 0.785 est solution de l’équation
J'ai du me gauffrer quelque part

Promath- · #14

Relis bien ton raisonnement

Jackv · #15

Soient O le centre, A-B le diamètre et A-P le segment sécant.
On trace le rayon O-P.
En prenant le rayon comme unité, on défini le triangle OPA d'aire
sin (Thêta)*cos (Thêta)

Les deux zones ont pour aires :
Thêta + sin (Thêta)*cos (Thêta) = pi/2 – Thêta - sin (Thêta)*cos (Thêta)

Thêta est racine de l'équation :
Thêta + sin (Thêta)*cos (Thêta) – pi/4 = 0

soit : Thêta = 041586 (0,416 valide la solution)

Merci de me donner ainsi l'occasion de me replonger dans ce genre de calculs.
J'aurais tendance à oublier ce type de manipulations...

looozer · #16

Salut à tous,

En donnant au rayon la valeur 1, en appelant x l'angle au centre correspondant à la corde tracée et en demandant que l'aire du demi-disque soit double de celle du segment de disque, j'obtiens l'équation x - sin (x) = Pi/2

WA me donne 2.30988 comme solution de cette équation bien pourrie.

J'en déduis le valeur arrondie de theta : (Pi - x) / 2 = 0.416

Merci, Promath- !

Promath- · #17

Exact! C'est marrant je compte 3 équations différentes mais qui se ressemeblent et arrivent au même résultat

Vasimolo · #18

L'angle que tu cherches est la moitié de la solution de l'équation : x+sin(x)=pi/2 .

Vasimolo

kossi_tg · #19

La relation entre teta et 2*teta étant établie (relation des angles inscrits)

aire(ABO)=0.5*R^2*sin(pi-2*teta)=0.5*R^2*sin(2*teta)

aire(OBC)=teta*R^2

on déduit 0.5*R^2*sin(2*teta)+teta*R^2=(0.5*pi*R^2)/2

soit sin(2*teta)+2*teta=pi/2

Numériquement teta vaut approximativement 0.4158555968 radian

golgot59 · #20

Salut !

Pour aller vite :
1/L'angle au centre vaut 2*téta
2/L'aire de la portion de disque MOB vaut Pi*R²*2*téta/2Pi=R²*téta
3/BM=2Rsin(téta), donc h=Rsin(téta)
4/L'aire du triangle AOM vaut : AM*h/2
=2Rcos(téta)*Rsin(téta)/2
=R²sin(téta)cos(téta)
=R²sin(2téta)/2
5/L'aire de la portion de disque AOM vaut R²(Pi/2-téta)
6/L'aire verte vaut la différence des 5/ et 4/ : R²[Pi/2-téta-sin(2téta)/2]
7/L'aire bleue (foncée+claire) vaut la somme de 4/ et 2/ : R²[téta+sin(2téta)/2]

8/ on a : 6/ = 7/
Pi/2-téta-sin(2téta)/2=téta+sin(2téta)/2
2*téta+sin(2téta)=Pi/2

La table de ma calculatrice me donne 0.416, validé par la case réponse !

Si j'ai le temps je ferai un dessin.

EDIT : Le voici :

Promath- · #21

Vasimolo, kossi_tg, golgot : c'était l'équation que j'avais résolue. Bravo!

Edit: Vasimolo: petite erreur d'étourderie je pense

NickoGecko · #22

Bonjour,

Voici ma copie :

Merci pour cette énigme pâtissière à ma portée ...
(et merci Wolfram !)

A+

Promath- · #23

Très bien! Et s'il n'y avait pas wolfram?

Vasimolo · #24

Je ne vois pas d'erreur mais si tu le dis

Vasimolo

Promath- · #25

J'avais mal lu ta réponse, je n'avais pas vu le mot "moitié"

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#1 - 18-04-2015 20:27:21

U gateau parfaitement divisé

#0 Pub

#2 - 18-04-2015 23:23:30

Un ggateau parfaitement divisé

#3 - 19-04-2015 09:23:35

Un gateau parfaiitement divisé

#4 - 19-04-2015 09:59:27

un gateau parfaitement dividé

#5 - 19-04-2015 10:22:47

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#6 - 19-04-2015 11:21:35

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#7 - 19-04-2015 15:26:37

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#8 - 19-04-2015 15:33:22

Un gateau parfaitement ddivisé

#9 - 19-04-2015 15:52:32

Un gateau parfaitment divisé

#10 - 19-04-2015 17:45:10

Un gateau parfiatement divisé

#11 - 19-04-2015 18:48:44

Un gateau parfaitemnet divisé

#12 - 19-04-2015 19:06:22

Un gaateau parfaitement divisé

#13 - 19-04-2015 19:58:02

Un gateau parfaitement diivisé

#14 - 20-04-2015 09:37:39

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#15 - 20-04-2015 15:16:06

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#16 - 20-04-2015 15:22:35

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#17 - 20-04-2015 18:26:03

Un gaateau parfaitement divisé

#18 - 20-04-2015 18:39:51

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#19 - 20-04-2015 21:58:48

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#20 - 21-04-2015 00:06:38

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#21 - 21-04-2015 12:05:41

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#22 - 21-04-2015 13:52:47

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#23 - 21-04-2015 15:38:39

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#24 - 21-04-2015 17:24:36

Un gateau parfatement divisé

#25 - 21-04-2015 17:39:52

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