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 #1 - 08-06-2013 18:25:19

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

GGâteau 60

Mon pâtissier m'a posé une curieuse colle cet après-midi sad

Il dispose des bandelettes de trois couleurs différentes autour d'une galette circulaire de façon à ce que deux bandelettes de même couleur ne soient jamais  voisines . Les bandelettes sont en nombre pair et deux bandelettes de même couleur ont toujours la même taille .

Il enlève ensuite l’excédent de gâteau en reliant un sommet sur deux .

http://img844.imageshack.us/img844/6526/troisarcs.jpg

Il a donc deux façons de terminer son gâteau . Après plusieurs essais il a remarqué que les deux découpes fournissent deux gâteaux de forme souvent différente mais toujours de même périmètre et de même aire .

Est-ce toujours vrai ?

Amusez-vous bien smile

Vasimolo

PS : enlever l'excédent ne consiste pas à couper le gâteau en deux , mon pâtissier utilise donc plus de quatre bandelettes .



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 #2 - 09-06-2013 01:09:27

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Gâtau 60

On se donne un gâteau découpé, et l'on note :

b le nombre de bandelettes Bleues
r le nombre de bandelettes Rouges
v le nombre de bandelettes Vertes

BR le nombre de découpes Bleu-Rouge
BV le nombre de découpes Bleu-Vert
VR le nombre de découpes Vert-Rouge

Alors
b = BV + BR (1)
r = BR + VR (2)
v = BV + VR (3)

(1) - (2) donne b-r = BV-VR (4)
(3) + (4) donne b-r+v = 2BV et donc BV = (b+v-r)/2
De même, par symétrie, BR = (b+r-v)/2 et VR = (v+r-b)/2

Ainsi, le nombre de découpes de chaque type est fixé par le nombre de bandelettes de chaque couleur. Quelle que soit la façon choisie pour découper, (on pourrait même s'autoriser au préalable quelques déplacements de bandelettes), les découpes sont forcément les mêmes et les gâteaux obtenus ont donc même périmètre et même aire.

 #3 - 09-06-2013 12:21:38

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gââteau 60

Bravo Titou smile

Pour les autres , essayez , c'est assez surprenant mais pas compliqué .

Vasimolo

 #4 - 09-06-2013 13:43:43

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâteeau 60

Les 3 catégories de segments peuvent être désignées par a,b,c.
On appelera groupement pair celui qui prend 2 segments depuis le départ désigné, et impair celui qui prend 1 segment d'abord, puis 2 segments à la fois, les dernier et premier segments formant la dernière paire.
Pair: ab ac ba cb ab
Impair: a ba cb ac ba b
Pour passer de groupement pair à impair, il suffit de faire glisser chaque pair vers chaque impair immédiatement suivant. 

Pour vérifier l'égalité des groupements pair et impair, il suffira de vérifier l'égalité des nombres de paires ab, ac et bc.

Soit une configuration abacbacbab quelconque.
On peut toujours ajouter des "a" à cette configuration de sorte que les "a" prennent tous et seulement les positions impaires.
ab ac .b ac .b ab
Il suffit de remplacer par un point toutes les positions impaires non occupées par un "a". Les "a" existants se trouvent alors automatiquement en position impaire, puisque les points créent des paires.
On remplace les points par des "a".
ab ac ab ac ab ab.
Remarquons que les "a" étant pairs d'origine, ils sont appariés avec des b ou c, donc ces b ou c appariés forment un ensemble pair, et comme card.b et card.c est pair, le nombre de "a" qu'on va ajouter est forcément pair.

Cette nouvelle configuration permet de se rendre compte que les groupements pair et impair sont identiques.
ab ac ab ac ab ab=a ba ca ba ca ba b.
il y a autant de ab que de ba, et de ac que de ca, chaque "b" et chaque "c" se réappariant avec un "a".

Regardons maintenant ce qui se passe quand on ôte les "a" surnuméraires qu'on avait ajoutés. 
On sait qu'on en a ajouté un nombre pair, ôtons donc les par paires.
ab ac .b ac .b ab
Les "a" ôtés se trouvent forcément entre 1 b et 1 c (ou c b), car bab ou cac est d'origine (bb ou cc interdit)
Par ailleurs, à partir d'un point, qui représente un "a" ôté, on va devoir réapparier: le ou les "a" entre les 2 points vont prendre une position paire:
ab acI ba cb Iab 
On remarque alors que le 1er "cIb" n'est pas une paire dans le groupement pair, et que le 2ème "cbI" est une paire dans le groupement pair.
On a donc créé une paire cb pour le groupement pair, et une autre paire identique cb pour le groupement impair.
Dans l'intervalle entre les 2 "a" ôtés, les "non a" se réapparient avec les "a" lors du passage du groupement pair au groupement impair, ça reste inchangé.
En ôtant une paire de "a" consécutifs, l'égalité demeure.
Il en est de même pour toutes les paires de "a" qu'on a ajoutées.
On peut revenir à la situation d'origine sans changer l'égalité entre les groupements pair et impair.

 #5 - 09-06-2013 16:56:44

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Gâteauu 60

Un arc de cercle détermine de façon unique la corde qui relie les deux extrémités
de l'arc. Donc ça détermine en particulier la longueur de cette corde et l'aire de
la figure délimité par la corde et l'arc.

Donc l'ordre dans lequel sont les arcs qui déterminent la coupe du gâteau n'a pas d'importance, on obtiendra toujours un gâteau de même aire, et de même
périmètre.

Dans l'axemple on voit que dans les deux cas on a :
-1 arc rouge-vert (on va dire RV)
-2 arcs bleu-rouge (on va dire BR)
-3 arcs vert-bleu (on va dire VB)

Donc dans les deux cas on a enlevé la même surfaces, et dans les deux cas
la longueur le périmètre du gâteau est :
1 * longueur de la corde d'un arc RV + 2 * longueur de la corde d'un arc BR + 3 * longueur de la corde d'un arc VB.
Et donc les deux gâteaux ont le même périmètre.

Donc la question est deux savoir si pour un nombre quelconque pair de bandelettes, quelque soit le choix que l'on fait pour la découpe, le nombre
de chacun des arcs RV BR et VB est toujours le même.

Réponse : Oui.

Preuve :

Soit :
  - [latex]i[/latex] le nombre de bandelettes rouges
  - [latex]j[/latex] le nombre de bandelettes vertes
  - [latex]k[/latex] le nombre de bandelettes bleues

Soit :
  - [latex]m[/latex] le nombre d'arc RV
  - [latex]n[/latex] le nombre d'arc BR
  - [latex]p[/latex] le nombre d'arc VB

Alors nous avons [latex]m, n[/latex] et [latex]p[/latex] qui sont entièrement
déterminer par [latex]i, j[/latex] et [latex]k[/latex], et donc ne dépendent pas
du découpage choisi. En effet nous avons :
[TeX]m + n = i[/TeX][TeX]m + p = j[/TeX][TeX]n + p = k[/TeX]
Ce qui donne :
[TeX]m = {{i + j - k}\over 2}[/TeX][TeX]n = {{k + i - j}\over 2}[/TeX][TeX]p = {{j + k - i}\over 2}[/TeX]
Note 1 :
Spoiler : [Afficher le message]
Comme [latex]i + j + k[/latex] est pair, changer certains signe + en - ne change pas la parité donc la division par deux donne bien des entiers.


Note 2 :
Spoiler : [Afficher le message]
Quitte à repeindre les bandelettes (avec du colorant alimentaire bien sûr lol ) on peut toujours supposé [latex]i\le j\le k[/latex]. on a donc les expressions   [latex]k + i - j[/latex]  et  [latex]j + k - i[/latex] qui sont  clairement positives, donc [latex]n[/latex] et [latex]p[/latex] sont  des entiers naturels.

On a [latex]i + j - k[/latex] qui est positif car [latex]k\le i+j[/latex].
En effet, si  je veux maximiser le nombre de bandelettes bleues, il faut que j'en mette une sur deux et je n'ai que [latex]i + j[/latex] autres bandelettes à intercaler entre deux bandelettes bleues.

Donc m est aussi un entier naturels.


Donc pour résumé si [latex]i, j[/latex] et [latex]k[/latex] sont respectivement le nombre de bandelettes rouges, vertes, et bleues alors quelque soit le choix que l'on fait pour le découpage on a :

Le périmètre du gâteau qui est :

[latex]m[/latex] * longueur de la corde d'un arc RV + [latex]n[/latex] * longueur de la corde d'un arc BR + [latex]p[/latex] * longueur de la corde d'un arc VB.

et l'aire du gâteau qui est :

l'aire du gâteau circulaire - [latex]m[/latex] * l'aire d'un arc RV - [latex]n[/latex] * l'aire d'un arc BR - [latex]p[/latex] * l'aire d'un arc VB.

avec [latex]m, n[/latex] et [latex]p[/latex] les nombres données plus haut.


Il y a sûrement plus simple.

 #6 - 09-06-2013 18:11:34

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteu 60

Cogito : c'est bon , tu as eu la même idée que Titoufred .
Nodgim : ça a l'air bon mais c'est plutôt compliqué ( on peut faire plus simple enlevant des arcs au lieu d'en ajouter ) .

Vasimolo

 #7 - 11-06-2013 18:45:56

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtea u60

Merci pour la participation peu nombreuse mais de qualité smile

Même si les calculs ne sont pas terrifiants on peut s’en passer pour montrer que le nombre de parts de chaque sorte est identique dans les deux découpes .

ABA donne AB A pour l’un et A BA pour l’autre on peut donc supprimer les rubans AB en accordant  une part AB ou BA à l’un ou l’autre des deux gâteaux . On supprime ensuite toutes les séries du même genre jusqu’à aboutir à AB ou ABCABC  ABCABC  …  donnant clairement les mêmes parts aux deux découpes . Un exemple :
[TeX]A\underline{BCB}CBCABABC \rightarrow  A\underline{BCB}CABABC \rightarrow  ABC\underline{ABA}BC  \rightarrow  ABCABC[/TeX]
Le calcul explicite des parts donné par Titoufred ou Cogito montre qu’on peut déplacer les rubans ( en gardant la condition que deux bandes voisines n’ont pas la même couleur ) le découpage donnera toujours le même nombre de parts de chaque sorte .

Vasimolo

 

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