Les 3 catégories de segments peuvent être désignées par a,b,c.
On appelera groupement pair celui qui prend 2 segments depuis le départ désigné, et impair celui qui prend 1 segment d'abord, puis 2 segments à la fois, les dernier et premier segments formant la dernière paire.
Pair: ab ac ba cb ab
Impair: a ba cb ac ba b
Pour passer de groupement pair à impair, il suffit de faire glisser chaque pair vers chaque impair immédiatement suivant.
Pour vérifier l'égalité des groupements pair et impair, il suffira de vérifier l'égalité des nombres de paires ab, ac et bc.
Soit une configuration abacbacbab quelconque.
On peut toujours ajouter des "a" à cette configuration de sorte que les "a" prennent tous et seulement les positions impaires.
ab ac .b ac .b ab
Il suffit de remplacer par un point toutes les positions impaires non occupées par un "a". Les "a" existants se trouvent alors automatiquement en position impaire, puisque les points créent des paires.
On remplace les points par des "a".
ab ac ab ac ab ab.
Remarquons que les "a" étant pairs d'origine, ils sont appariés avec des b ou c, donc ces b ou c appariés forment un ensemble pair, et comme card.b et card.c est pair, le nombre de "a" qu'on va ajouter est forcément pair.
Cette nouvelle configuration permet de se rendre compte que les groupements pair et impair sont identiques.
ab ac ab ac ab ab=a ba ca ba ca ba b.
il y a autant de ab que de ba, et de ac que de ca, chaque "b" et chaque "c" se réappariant avec un "a".
Regardons maintenant ce qui se passe quand on ôte les "a" surnuméraires qu'on avait ajoutés.
On sait qu'on en a ajouté un nombre pair, ôtons donc les par paires.
ab ac .b ac .b ab
Les "a" ôtés se trouvent forcément entre 1 b et 1 c (ou c b), car bab ou cac est d'origine (bb ou cc interdit)
Par ailleurs, à partir d'un point, qui représente un "a" ôté, on va devoir réapparier: le ou les "a" entre les 2 points vont prendre une position paire:
ab acI ba cb Iab
On remarque alors que le 1er "cIb" n'est pas une paire dans le groupement pair, et que le 2ème "cbI" est une paire dans le groupement pair.
On a donc créé une paire cb pour le groupement pair, et une autre paire identique cb pour le groupement impair.
Dans l'intervalle entre les 2 "a" ôtés, les "non a" se réapparient avec les "a" lors du passage du groupement pair au groupement impair, ça reste inchangé.
En ôtant une paire de "a" consécutifs, l'égalité demeure.
Il en est de même pour toutes les paires de "a" qu'on a ajoutées.
On peut revenir à la situation d'origine sans changer l'égalité entre les groupements pair et impair.
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) on peut toujours supposé [latex]i\le j\le k[/latex]. on a donc les expressions [latex]k + i - j[/latex] et [latex]j + k - i[/latex] qui sont clairement positives, donc [latex]n[/latex] et [latex]p[/latex] sont des entiers naturels.
