Pas très difficile quand on repère un motif de base comme les 3 triangles :


Quant aux graphes asymétriques à 6 sommets, je suis tombé dessus tout de suite avec wiki qui m'a permis en passant de donner un nom au premier graphe (le graphe de Frucht ):

On considère la notion triangle lorsque on a 3 nombres et que chaque nombre est lié avec les 2 autres nombres, dans ces graphes on a 3 triangles:(2,5,6),(3,7,9) et (10,11,12) et on a 3 nombres isolés 1,4 et 8.
1 et 8 ont tous les deux 2 liaisons avec des nombres d'un triangle et leur troisième liaison est avec 4.
4 est lié à 1, 8 et elle est lié à 7 qui est un nombre d'un triangle.
Pour remplir les graphes il suffit de trouver les triangles puis chercher le nombre isolé qui est lié à deux nombres isolés, ce nombre est logiquement le 4.
En trouvant le 4 on peut reconnaitre le 7 puis 1,3 et en suivant les liaisons on va trouver le reste.
Graphe 1

Graphe 2

Graphe 3


Pour la deuxième question,je n'ai pas encore trouvé la réponse.
Bonne journée.

Dans le graphe d'origine, on a trois triangles, c'est-à-dire trois triplets dont chacun des numéros sont reliés deux à deux. Dans le second graphe, on n'a que deux triangles: il ne me semble donc pas topologiquement équivalent à celui d'origine et impossible à remplir. Avant de poursuivre, mon raisonnement est-il correct ?

En y regardant de plus près, le second graphe présente bien trois triangles aussi: on en a un grand extérieur. En partant de ces triangles, cela donne:

Pour les 8 graphes à 6 noeuds, je repasserai plus tard.

Merci à tous les participants!
Les mots clefs de cet énigme sont:
Graphe asymétrique: c'est le nom de cette propriété ou chaque nœud joue un rôle topologique unique.
Graphe cubique: simplement 3 arcs à chaque nœud.
Graphe de Frucht: le plus petit graphe cubique asymétrique. (en fait c’était précisément cela que je voulais voir personnellement).