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 #1 - 12-12-2015 21:51:31

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 820
Lieu: Seahaven island

Jouons vec des graphes

Hello!

Voici un beau petit graphe:
http://www.prise2tete.fr/upload/Clydevil-GraphFrucht.jpg
Ce graphe a la particularité que chaque nœud joue un rôle topologique unique.
Ce qui veut dire que si on le représente différemment vous pouvez retrouver quels sont les numéros de tous les nœuds sans ambiguïtés, en conservant bien sur les bons voisins. (Ici 4 et 1 sont voisins donc 4 et 1 doivent être voisins sur n'importe quelle autre représentation du graphe)
Serez vous capable de retrouver l'identité de tous les nœuds sur ces 3 autres représentations du même graphe?
http://www.prise2tete.fr/upload/Clydevil-GraphFrucht2.jpg
http://www.prise2tete.fr/upload/Clydevil-GraphFrucht3.jpg
http://www.prise2tete.fr/upload/Clydevil-GraphFrucht4.jpg

Question subsidiaire:
Il existe exactement 8 graphes à 6 nœuds qui ont la même propriété (l'identité de chaque nœud peut être déterminée par uniquement leur relation aux autres nœuds et ce de manière unique) Seriez vous capable de trouver ces 8 graphes à 6 nœuds?

Bonne chance!



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 #2 - 12-12-2015 22:29:54

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1383
Lieu: Coutiches

Jouuons avec des graphes

Salut !

Voilà pour les questions faciles, je vais réfléchir à la subsidiaire...

http://www.prise2tete.fr/upload/golgot59-Sanstitre2.jpg

Edit : Voila ma réponse à la question subsidiaire :

http://www.prise2tete.fr/upload/golgot59-Sanstitre.jpg

 #3 - 13-12-2015 08:17:44

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,610E+3

Jouons avec des raphes

Pas très difficile quand on repère un motif de base comme les 3 triangles :
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-graphes12.png

Quant aux graphes asymétriques à 6 sommets, je suis tombé dessus tout de suite avec wiki qui m'a permis en passant de donner un nom au premier graphe (le graphe de Frucht ):
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/08/Asym-graph.PNG

 #4 - 13-12-2015 11:33:12

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4797

Jouons avec des grapes

C'est assez rapide en repérant les triangles :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-graphe1.png
http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-graphe2.png
http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-graphe3.png

Vasimolo

 #5 - 13-12-2015 12:28:46

dbab3000
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 111

jouons avec des grapjes

On considère la notion triangle lorsque on a 3 nombres et que chaque nombre est lié avec les 2 autres nombres, dans ces graphes on a 3 triangles:(2,5,6),(3,7,9) et (10,11,12) et on a 3 nombres isolés 1,4 et 8.
1 et 8 ont tous les deux 2 liaisons avec des nombres d'un triangle et leur troisième liaison est avec 4.
4 est lié à 1, 8 et elle est lié à 7 qui est un nombre d'un triangle.
Pour remplir les graphes il suffit de trouver les triangles puis chercher le nombre isolé qui est lié à deux nombres isolés, ce nombre est logiquement le 4.
En trouvant le 4 on peut reconnaitre le 7 puis 1,3 et en suivant les liaisons on va trouver le reste.
Graphe 1
http://www.prise2tete.fr/upload/dbab3000-Clydevil-GraphFrucht2.jpg
Graphe 2
http://www.prise2tete.fr/upload/dbab3000-Clydevil-GraphFrucht3.jpg
Graphe 3
http://www.prise2tete.fr/upload/dbab3000-Clydevil-GraphFrucht4.jpg

Pour la deuxième question,je n'ai pas encore trouvé la réponse.
Bonne journée.

 #6 - 13-12-2015 17:55:43

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 422

jouons avec des graohes

Bonjour,
http://www.prise2tete.fr/upload/enigmatus-Clydevil-GraphFrucht2.jpg
http://www.prise2tete.fr/upload/enigmatus-Clydevil-GraphFrucht3.jpg
http://www.prise2tete.fr/upload/enigmatus-Clydevil-GraphFrucht4.jpg

 #7 - 13-12-2015 19:48:21

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2801
Lieu: Luxembourg

jouons acec des graphes

Dans le graphe d'origine, on a trois triangles, c'est-à-dire trois triplets dont chacun des numéros sont reliés deux à deux. Dans le second graphe, on n'a que deux triangles: il ne me semble donc pas topologiquement équivalent à celui d'origine et impossible à remplir. Avant de poursuivre, mon raisonnement est-il correct ?

 #8 - 13-12-2015 22:55:29

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 820
Lieu: Seahaven island

Jouons avec des graphe

@gwen27: Oui c'est bien de la qu'est tirée l’énigme. Et c'est le bon nom de graphe smile tu auras donc remarqué qu'il est cubique, c’était plus ou moins ça le vrai problème: trouver un graphe cubique asymétrique, mais ça aurait été trop dur.
@Franky1103: Regarde mieux smile
Aux autres: bravo pour vos bonnes réponses!

 #9 - 14-12-2015 06:51:16

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2801
Lieu: Luxembourg

Joouons avec des graphes

En y regardant de plus près, le second graphe présente bien trois triangles aussi: on en a un grand extérieur. En partant de ces triangles, cela donne:
http://www.prise2tete.fr/upload/Franky1103-Graphes.png
Pour les 8 graphes à 6 noeuds, je repasserai plus tard.

 #10 - 14-12-2015 10:18:36

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2098
Lieu: 94110

jouons avec fes graphes

C'est un petit problème que j'ai trouvé très intéressant, et un peu troublant au départ. Merci pour avoir ainsi fait travailler mes neurones smile .

Je commence par transformer légèrement le 3ème graphe, de manière à éliminer tous les croisement de lignes.

On peut alors inscrire à l'intérieur de chaque cycle son nombre de sommets (en rouge), sans oublier le cycle des sommets extérieurs au graphe.
On peut alors repérer par exemple le sommet 1 qui est commun à 3 cycles  comportant 4, 5 et 7 sommets. Le reste devient alors un jeu d'enfants.

 #11 - 17-12-2015 09:40:11

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 820
Lieu: Seahaven island

jpuons avec des graphes

Merci à tous les participants!
Les mots clefs de cet énigme sont:
Graphe asymétrique: c'est le nom de cette propriété ou chaque nœud joue un rôle topologique unique.
Graphe cubique: simplement 3 arcs à chaque nœud.
Graphe de Frucht: le plus petit graphe cubique asymétrique. (en fait c’était précisément cela que je voulais voir personnellement).

 

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