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 #1 - 29-05-2011 19:38:42

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâteay 39

Tout le monde connaît le Saint-Emilion , le Saint-Nectaire , le Saint-Honoré , ...

La nouvelle création de mon pâtissier , le Saint-Pierre smile

http://img13.imageshack.us/img13/7935/saintpierre.jpg

Une simple pâte feuilletée nappée d'une crème pâtissière et agrémentée d'une cerise qui doit reposer au lieu exact indiqué par l'image yikes

Mais quel est donc le rayon d'un Saint-Pierre ?

Vasimolo

PS : Faut-il préciser à qui je dédicace cette énigme ?



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 #2 - 29-05-2011 20:39:01

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Gteau 39

[TeX]10\sqr 2\approx 14.14[/TeX]
On trouve facilement le centre -10, -2.
Et la puissance de la cerise par rapport au Saint-Pierre
=d²-R²=-8x12=-24x4=10²+2²-R²
d'où R²=96+4+100=200.

 #3 - 29-05-2011 20:50:26

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Gtâeau 39

2r =abc / 2s
r = abc / 4s

s=24*20/2 = 24 * 10 = 240
a=rac(8^2+24^2) = rac (640)
b=rac(24^2+12^2)= rac(720)
c= 8+12 = 20

r= rac (184320000) / 960

r =rac(200) = 10 rac(2) 

Au pif, je me lance ....

 #4 - 29-05-2011 22:15:16

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 91

gâtzau 39

Si l'on choisit la cerise comme centre d'un repère orthonormé, alors trois points appartenant au cercle sont: [latex](0;8)[/latex] , [latex](0;-12)[/latex] et [latex](-24;0)[/latex]

Ces trois points satisfont alors l'équation [latex](x-a)^2+(y-b)^2=R^2[/latex] avec bien sûr [latex](a,b)[/latex] les coordonnées du centre dans ce repère et [latex]R[/latex] le rayon.

Pas besoin de calcul pour voir que [latex]b=-2[/latex] car la cerise est à [latex]2[/latex] du milieu de l'arc la corde vertical.

Les points [latex](0;8)[/latex] et [latex](-24;0)[/latex] nous donnent le système: [latex]
\left\{
\begin{tabular}{r c l}
a^2+(8-b)^2 &=& R^2\\
(-24-a)^2+b^2 &=& R^2
\end{tabular}
\right.

\Rightarrow

\left\{
\begin{tabular}{r c l}
a^2+100 &=& R^2\\
a^2+48a+24^2+4 &=& R^2
\end{tabular}
[/latex]

Qui une fois résolu nous donne [latex]a=-10[/latex] et [latex]R=10\sqrt{2}[/latex]

EDIT: La corde et non l'arc vertical.roll


There's no scientific consensus that life is important

 #5 - 29-05-2011 22:55:46

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteaau 39

Déjà trois bonnes réponses et trois méthodes différentes wink

Vasimolo

 #6 - 30-05-2011 00:19:53

socato314
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 6

Gâteau 399

socato314-gateau39.pdf

 #7 - 30-05-2011 10:54:25

Autleaf
Passionné de Prise2Tete
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Messages : 69
Lieu: Toulouse

Gâeau 39

On peut exprimer simplement le diamètre d'un cercle circonscrit à un triangle grâce à la formule :

D = abc/(2S)

a = 20, et on utilise Pythagore pour b et c :

b = racine (24²+12²) = 26.8328...
c = racine (24²+8²) = 25.2982...

S = 20*24/2 = 240

D'où le diamètre :

D = 28.2842712...
Cohérent par rapport à la valeur attendue en voyant le dessin smile

 #8 - 30-05-2011 11:40:51

racine
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1224

Gâteau 339

On a:
abc/2S=2R
a=20
b=12rac(5)
c=8rac(5)rac(2)
On obtient b et c par Pythagore

Donc R=(20*12rac(5)*8rac(5)rac(2))/(20*24*4)
après simplification:
R=10rac(2)

 #9 - 30-05-2011 11:42:10

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

gâteay 39

Enfin un gâteau que je peux croquer...

Je considère le triangle formé par les 3 points d'intersection entre le cercle et les segments pointillés.
Les longueurs des côtés sont: [latex]20; 8.\sqrt{10}(=\sqrt{8^2+24^2}); 12.\sqrt{5}(=\sqrt{12^2+24^2})[/latex].

On cherche le rayon du cercle circonscrit à ce triangle, qui est donné par la formule (à connaître absolument):
[TeX]R=\dfrac{abc}{4S}[/TeX]
Reste à connaître S.
Le triangle étant rectangle "en la cerise", sa hauteur vaut 24 et sa base 20, donc sa surface: 20*24/2.

Finalement [latex]R=\dfrac{20\times8\sqrt{10}\times12\sqrt{5}}{4\times12\times20}=10\sqrt{2}[/latex].

Pas la peine de préciser la dédicace smile

Merci pour cette énigme.

 #10 - 30-05-2011 12:00:53

Milou_le_viking
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Gâteau 93

1ère méthode:

En partant de l'équation du cercle:

(a-x)²+(b-y)²=r²

J'ai le système de 3 équations à 3 inconnues suivants en prenant la cerise comme origine (0,0):

a²+(b-8)²=r²
a²+(b+12)²=r²
(a+24)²+b²=r²

En soustrayant les deux premières, on trouve b=-2.
En soustrayant les deux dernières, on trouve a=-10.
D'où r=10V2.

2ème méthode:

En utilisant la peu connue formule du rayon:

r = (a+b+c) V(-c/a)

avec a=24, b=8 et c=-12

r= 10V2

 #11 - 30-05-2011 12:09:03

Franky1103
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Messages : 2707
Lieu: Luxembourg

gâyeau 39

Bonjour,
Soit la cerise l'origine du repère orthonormé.
Soient le point M(x;y) le centre du cercle et R son rayon.
Par symétrie, on voit que l'ordonnée y vaut -2.
L'abscisse x est telle que (-x)² + 100 = R² soit x = V(R²-100).
On écrit que le point à gauche appartient au cercle:
(24 - V(R²-100))² + 4 = R² et on trouve R = 10V2 = 14,142 env.
Bonne journée.
Frank

 #12 - 30-05-2011 12:53:34

dhrm77
L'exilé
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Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

GGâteau 39

En posant les équations, je trouve [latex]R=sqrt{200}=10*sqrt{2} = 14.14213562...[/latex]


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #13 - 30-05-2011 13:36:01

franck9525
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Lieu: UK

Gâteua 39

Le diametre du cercle circonscrit est
D=abc/2A=2R
avec A=bh/2 on obtient
[TeX]R=\frac{\sqrt{(24^2+8^2)(24^2+12^2)}}{48}=10\sqrt2[/TeX]
Edit:
On note que le centre du gâteau est le centre du carré inscrit de côté 20 ce qui indique que d'autres méthodes de résolution plus astucieuses sont probablement envisageables.

http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-gato39.png


on cherche à calculer l'angle [latex]\alpha+\beta[/latex]
[TeX]tan(\alpha+\beta)=\frac{tan(a)+tan(b)}{1-tan(a)tan(b)}[/TeX][TeX]tan(\alpha+\beta)=\frac{\frac{8+12}{24}}{1-\frac{8*12}{24^2}}=1[/TeX]
donc [latex]\rm\alpha+\beta=45~deg[/latex] ce qui implique que b=20 est le côté du carré inscrit


The proof of the pudding is in the eating.

 #14 - 30-05-2011 14:28:19

Jackv
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Gâeau 39

Soient A, B et C les extrémités des segments de longueurs respectives 24, 12 et 8, D le point de la cerise et O le centre du cercle.

L'angle BAD vaut arctg (1/2), l'angle DAC vaut arctg (1/3).
La somme de ces 2 arcs vaut, comme par hasard, 45°.
L'angle BAC vaut donc 90°.
Le triangle OBC, à la fois isocèle et rectangle a une hypoténuse = 20, le rayon du SaintPierre vaut donc [latex]10* \sqrt 2[/latex], soit environ 14.14 (cm ??)

 #15 - 30-05-2011 23:12:58

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteau 9

Encore plein de bonnes réponses avec des méthodes toujours originales smile

La réponse que j'attends ( ou plutôt son auteur ) n'est toujours pas au rendez-vous , patience ...

Vasimolo

 #16 - 31-05-2011 09:39:47

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

hâteau 39

Je note A la cerise et B,C,D les autres points numérotés dans le sens trigonométrique .

On a [latex]DB/sin(\widehat{DCB})=2R [/latex] où R est le rayon cherché.
[TeX]sin(\widehat{ACB})=8/\sqrt{24^2-8^2}[/TeX][TeX]cos(\widehat{ACB})=24/\sqrt{24^2-8^2}[/TeX][TeX]sin(\widehat{ACD})=12/\sqrt{24^2-12^2}[/TeX][TeX]cos(\widehat{ACD})=24/\sqrt{24^2-12^2}[/TeX]
[latex]R=10.192\sqrt{6}/24*20=4\sqrt{6}[/latex].

J'ai juste un doute sur les formules de trigonométrie et les angles géométriques.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #17 - 31-05-2011 22:07:05

catduc
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Messages : 1

gâtrau 39

le rayon est de 15

 #18 - 31-05-2011 22:29:30

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Gâteau 399

Au moins , il  y a des réponses ...

On cherche quoi  ?  A première vue , il existe une solution  en quelques mots qu'on loupe. Un indice ?

 #19 - 31-05-2011 22:54:58

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâyeau 39

Les trois dernières réponses sont incorrectes hmm

Je ne donnerai pas d'indice car il y a de très nombreuses approches possibles dont certaines très simples ( avec quelques souvenirs de géométrie de lycée ) .

Vasimolo

 #20 - 01-06-2011 07:39:39

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

gâteay 39

Vasimolo dit moi juste si la faute est dans le raisonnement.
J'utilise la formule d'addition à la fin, ais-je le droit?
J'avais une petite faute de calcul.
Merci.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #21 - 01-06-2011 09:29:35

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Gâteeau 39

Avec les mêmes idées au départ  mais en utilisant Al-Kashi j'arrive à

[latex]10\sqrt{2}[/latex].

Je détailerai si c'est juste et si personne n'a fait comme cela.

Au fait, je suis une bille en géometrie.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #22 - 01-06-2011 20:21:25

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Gâteau 93

Je prendrais les notations de la figure de Franck9525.
On a b²=a²+b²-2abcos(b) d'où après quelques calculs en utilisant pythagore cos²(b)=1/2. On a donc sin²(b)=1/2 , or b/sin(b)=2R car c'est le cercle circonscrit...


Je n'ai pas détaillé, c'est juste pour montrer l'idée.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #23 - 02-06-2011 00:42:55

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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gâyeau 39

J'ai honte de ne pas avoir réussit à utiliser l'équation du cercle correctement alors que c'est le dernier chapitre que j'ai fait ! mad
Heureusement j'ai compris toutes le réponses big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #24 - 02-06-2011 10:21:49

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteua 39

Merci pour toutes ces réponses smile

J'avais procédé à peu près comme halloduda . La puissance de la cerise par rapport au cercle vaut 8X12=24X4 , on connait donc la taille des deux cordes . On trace les médiatrices ( en rouge sur le dessin ) et Pythagore donne immédiatement le rayon du Saint-Pierre .

http://img40.imageshack.us/img40/5305/saintpierresolution.jpg

C'est toujours intéressant de voir le nombre incroyable d'approches possible pour un simple petit exercice , c'est ce qui fait le charme de la géométrie .

Vasimolo

Edit : pour ceux que la puissance d'un point par rapport à un cercle n'inspire pas trop , on peut aussi remarquer que les quatre triangles rectangles sont semblables 2 à 2 ( en observant les angles ) et on retrouve le 4 manquant .

 

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