Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 29-05-2011 19:38:42

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,174E+3

âteau 39

Tout le monde connaît le Saint-Emilion , le Saint-Nectaire , le Saint-Honoré , ...

La nouvelle création de mon pâtissier , le Saint-Pierre smile

http://img13.imageshack.us/img13/7935/saintpierre.jpg

Une simple pâte feuilletée nappée d'une crème pâtissière et agrémentée d'une cerise qui doit reposer au lieu exact indiqué par l'image yikes

Mais quel est donc le rayon d'un Saint-Pierre ?

Vasimolo

PS : Faut-il préciser à qui je dédicace cette énigme ?



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 29-05-2011 20:39:01

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 495
Lieu: Ardèche

Gâteauu 39

[TeX]10\sqr 2\approx 14.14[/TeX]
On trouve facilement le centre -10, -2.
Et la puissance de la cerise par rapport au Saint-Pierre
=d²-R²=-8x12=-24x4=10²+2²-R²
d'où R²=96+4+100=200.

 #3 - 29-05-2011 20:50:26

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,852E+3

gâreau 39

2r =abc / 2s
r = abc / 4s

s=24*20/2 = 24 * 10 = 240
a=rac(8^2+24^2) = rac (640)
b=rac(24^2+12^2)= rac(720)
c= 8+12 = 20

r= rac (184320000) / 960

r =rac(200) = 10 rac(2) 

Au pif, je me lance ....

 #4 - 29-05-2011 22:15:16

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 91

fâteau 39

Si l'on choisit la cerise comme centre d'un repère orthonormé, alors trois points appartenant au cercle sont: [latex](0;8)[/latex] , [latex](0;-12)[/latex] et [latex](-24;0)[/latex]

Ces trois points satisfont alors l'équation [latex](x-a)^2+(y-b)^2=R^2[/latex] avec bien sûr [latex](a,b)[/latex] les coordonnées du centre dans ce repère et [latex]R[/latex] le rayon.

Pas besoin de calcul pour voir que [latex]b=-2[/latex] car la cerise est à [latex]2[/latex] du milieu de l'arc la corde vertical.

Les points [latex](0;8)[/latex] et [latex](-24;0)[/latex] nous donnent le système: [latex]
\left\{
\begin{tabular}{r c l}
a^2+(8-b)^2 &=& R^2\\
(-24-a)^2+b^2 &=& R^2
\end{tabular}
\right.

\Rightarrow

\left\{
\begin{tabular}{r c l}
a^2+100 &=& R^2\\
a^2+48a+24^2+4 &=& R^2
\end{tabular}
[/latex]

Qui une fois résolu nous donne [latex]a=-10[/latex] et [latex]R=10\sqrt{2}[/latex]

EDIT: La corde et non l'arc vertical.roll


There's no scientific consensus that life is important

 #5 - 29-05-2011 22:55:46

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,174E+3

Gâteau 93

Déjà trois bonnes réponses et trois méthodes différentes wink

Vasimolo

 #6 - 30-05-2011 00:19:53

socato314
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 6

Gâteau 339

socato314-gateau39.pdf

 #7 - 30-05-2011 10:54:25

Autleaf
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 71
Lieu: Toulouse

gâyeau 39

On peut exprimer simplement le diamètre d'un cercle circonscrit à un triangle grâce à la formule :

D = abc/(2S)

a = 20, et on utilise Pythagore pour b et c :

b = racine (24²+12²) = 26.8328...
c = racine (24²+8²) = 25.2982...

S = 20*24/2 = 240

D'où le diamètre :

D = 28.2842712...
Cohérent par rapport à la valeur attendue en voyant le dessin smile

 #8 - 30-05-2011 11:40:51

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

gâtezu 39

On a:
abc/2S=2R
a=20
b=12rac(5)
c=8rac(5)rac(2)
On obtient b et c par Pythagore

Donc R=(20*12rac(5)*8rac(5)rac(2))/(20*24*4)
après simplification:
R=10rac(2)

 #9 - 30-05-2011 11:42:10

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1106
Lieu: Jacou

hâteau 39

Enfin un gâteau que je peux croquer...

Je considère le triangle formé par les 3 points d'intersection entre le cercle et les segments pointillés.
Les longueurs des côtés sont: [latex]20; 8.\sqrt{10}(=\sqrt{8^2+24^2}); 12.\sqrt{5}(=\sqrt{12^2+24^2})[/latex].

On cherche le rayon du cercle circonscrit à ce triangle, qui est donné par la formule (à connaître absolument):
[TeX]R=\dfrac{abc}{4S}[/TeX]
Reste à connaître S.
Le triangle étant rectangle "en la cerise", sa hauteur vaut 24 et sa base 20, donc sa surface: 20*24/2.

Finalement [latex]R=\dfrac{20\times8\sqrt{10}\times12\sqrt{5}}{4\times12\times20}=10\sqrt{2}[/latex].

Pas la peine de préciser la dédicace smile

Merci pour cette énigme.

 #10 - 30-05-2011 12:00:53

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 438

Gâteau 339

1ère méthode:

En partant de l'équation du cercle:

(a-x)²+(b-y)²=r²

J'ai le système de 3 équations à 3 inconnues suivants en prenant la cerise comme origine (0,0):

a²+(b-8)²=r²
a²+(b+12)²=r²
(a+24)²+b²=r²

En soustrayant les deux premières, on trouve b=-2.
En soustrayant les deux dernières, on trouve a=-10.
D'où r=10V2.

2ème méthode:

En utilisant la peu connue formule du rayon:

r = (a+b+c) V(-c/a)

avec a=24, b=8 et c=-12

r= 10V2

 #11 - 30-05-2011 12:09:03

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2930
Lieu: Luxembourg

Gâteua 39

Bonjour,
Soit la cerise l'origine du repère orthonormé.
Soient le point M(x;y) le centre du cercle et R son rayon.
Par symétrie, on voit que l'ordonnée y vaut -2.
L'abscisse x est telle que (-x)² + 100 = R² soit x = V(R²-100).
On écrit que le point à gauche appartient au cercle:
(24 - V(R²-100))² + 4 = R² et on trouve R = 10V2 = 14,142 env.
Bonne journée.
Frank

 #12 - 30-05-2011 12:53:34

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

gâteai 39

En posant les équations, je trouve [latex]R=sqrt{200}=10*sqrt{2} = 14.14213562...[/latex]


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #13 - 30-05-2011 13:36:01

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1932
Lieu: UK

Gâeau 39

Le diametre du cercle circonscrit est
D=abc/2A=2R
avec A=bh/2 on obtient
[TeX]R=\frac{\sqrt{(24^2+8^2)(24^2+12^2)}}{48}=10\sqrt2[/TeX]
Edit:
On note que le centre du gâteau est le centre du carré inscrit de côté 20 ce qui indique que d'autres méthodes de résolution plus astucieuses sont probablement envisageables.

http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-gato39.png


on cherche à calculer l'angle [latex]\alpha+\beta[/latex]
[TeX]tan(\alpha+\beta)=\frac{tan(a)+tan(b)}{1-tan(a)tan(b)}[/TeX][TeX]tan(\alpha+\beta)=\frac{\frac{8+12}{24}}{1-\frac{8*12}{24^2}}=1[/TeX]
donc [latex]\rm\alpha+\beta=45~deg[/latex] ce qui implique que b=20 est le côté du carré inscrit


The proof of the pudding is in the eating.

 #14 - 30-05-2011 14:28:19

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2591
Lieu: 94110

âteau 39

Soient A, B et C les extrémités des segments de longueurs respectives 24, 12 et 8, D le point de la cerise et O le centre du cercle.

L'angle BAD vaut arctg (1/2), l'angle DAC vaut arctg (1/3).
La somme de ces 2 arcs vaut, comme par hasard, 45°.
L'angle BAC vaut donc 90°.
Le triangle OBC, à la fois isocèle et rectangle a une hypoténuse = 20, le rayon du SaintPierre vaut donc [latex]10* \sqrt 2[/latex], soit environ 14.14 (cm ??)

 #15 - 30-05-2011 23:12:58

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,174E+3

Gâteau 93

Encore plein de bonnes réponses avec des méthodes toujours originales smile

La réponse que j'attends ( ou plutôt son auteur ) n'est toujours pas au rendez-vous , patience ...

Vasimolo

 #16 - 31-05-2011 09:39:47

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

gâreau 39

Je note A la cerise et B,C,D les autres points numérotés dans le sens trigonométrique .

On a [latex]DB/sin(\widehat{DCB})=2R [/latex] où R est le rayon cherché.
[TeX]sin(\widehat{ACB})=8/\sqrt{24^2-8^2}[/TeX][TeX]cos(\widehat{ACB})=24/\sqrt{24^2-8^2}[/TeX][TeX]sin(\widehat{ACD})=12/\sqrt{24^2-12^2}[/TeX][TeX]cos(\widehat{ACD})=24/\sqrt{24^2-12^2}[/TeX]
[latex]R=10.192\sqrt{6}/24*20=4\sqrt{6}[/latex].

J'ai juste un doute sur les formules de trigonométrie et les angles géométriques.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #17 - 31-05-2011 22:07:05

catduc
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1

gâtezu 39

le rayon est de 15

 #18 - 31-05-2011 22:29:30

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,852E+3

Gâteau 9

Au moins , il  y a des réponses ...

On cherche quoi  ?  A première vue , il existe une solution  en quelques mots qu'on loupe. Un indice ?

 #19 - 31-05-2011 22:54:58

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,174E+3

gâteai 39

Les trois dernières réponses sont incorrectes hmm

Je ne donnerai pas d'indice car il y a de très nombreuses approches possibles dont certaines très simples ( avec quelques souvenirs de géométrie de lycée ) .

Vasimolo

 #20 - 01-06-2011 07:39:39

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Gâteau 339

Vasimolo dit moi juste si la faute est dans le raisonnement.
J'utilise la formule d'addition à la fin, ais-je le droit?
J'avais une petite faute de calcul.
Merci.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #21 - 01-06-2011 09:29:35

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Gâteau 399

Avec les mêmes idées au départ  mais en utilisant Al-Kashi j'arrive à

[latex]10\sqrt{2}[/latex].

Je détailerai si c'est juste et si personne n'a fait comme cela.

Au fait, je suis une bille en géometrie.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #22 - 01-06-2011 20:21:25

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Gâtea 39

Je prendrais les notations de la figure de Franck9525.
On a b²=a²+b²-2abcos(b) d'où après quelques calculs en utilisant pythagore cos²(b)=1/2. On a donc sin²(b)=1/2 , or b/sin(b)=2R car c'est le cercle circonscrit...


Je n'ai pas détaillé, c'est juste pour montrer l'idée.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #23 - 02-06-2011 00:42:55

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

gâteai 39

J'ai honte de ne pas avoir réussit à utiliser l'équation du cercle correctement alors que c'est le dernier chapitre que j'ai fait ! mad
Heureusement j'ai compris toutes le réponses big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #24 - 02-06-2011 10:21:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,174E+3

Gâteau 3

Merci pour toutes ces réponses smile

J'avais procédé à peu près comme halloduda . La puissance de la cerise par rapport au cercle vaut 8X12=24X4 , on connait donc la taille des deux cordes . On trace les médiatrices ( en rouge sur le dessin ) et Pythagore donne immédiatement le rayon du Saint-Pierre .

http://img40.imageshack.us/img40/5305/saintpierresolution.jpg

C'est toujours intéressant de voir le nombre incroyable d'approches possible pour un simple petit exercice , c'est ce qui fait le charme de la géométrie .

Vasimolo

Edit : pour ceux que la puissance d'un point par rapport à un cercle n'inspire pas trop , on peut aussi remarquer que les quatre triangles rectangles sont semblables 2 à 2 ( en observant les angles ) et on retrouve le 4 manquant .

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Riri, Fifi et ?

Sujets similaires

Sujet Date Forum
P2T
Gâteau 146 par Vasimolo
12-10-2017 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 42 par Vasimolo
29-10-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 89 par Vasimolo
17-01-2015 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 136 par Vasimolo
22-06-2017 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 14 par Vasimolo
14-07-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 63 par Vasimolo
08-09-2013 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 150 par Vasimolo
08-04-2018 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 66 par Vasimolo
13-01-2014 Enigmes Mathématiques
P2T
C’est du gâteau par TOUFAU
06-05-2019 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 7 par Vasimolo
17-05-2010 Enigmes Mathématiques

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete