Enigmes

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 #1 - 19-03-2016 19:43:56

nodgim
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Enigmes résolues : 0
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trois-puèces

Bonsoir à tous,

Une bien courte énigme :

Pour espérer obtenir 3 piles, vaut il mieux lancer 3 pièces de monnaie 20 fois ou 1 seule pièce (3 piles consécutifs) 35 fois ?

Si vous répondiez au hasard en vous aidant par exemple de la face sur laquelle pourrait retomber la pièce de monnaie, vous pourriez être récompensé en monnaie de singe....



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 #2 - 19-03-2016 20:05:23

dhrm77
L'exilé
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Trois-pices

Si on ne compte pas la tranche, on a 1 chance sur 8 par tentative.
Dans le premier cas on a: 93.08% de chance d'y arriver.
Dans le 2eme cas, on a 98.78% de chance d'y arriver.

...donc 35 fois serais la reponse.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #3 - 19-03-2016 23:25:42

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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trois-puèces

En lançant 3 pièces de monnaie 20 fois, la probabilité d'obtenir au moins une fois 3 piles est 1-(7/8)^20 soit environ 93,08%.

En lançant une seule pièce 35 fois, la probabilité d'obtenir 3 piles consécutifs au moins une fois est p(35), où p(0)=p(1)=p(2)=0, et ensuite p(n+1)=1/8+p(n)/2+p(n-1)/4+p(n-2)/8 (on a ensuite p(3)=1/8, p(4)=3/16, p(5)=1/4...).

p(35)=32276862265/34359738368 soit environ 93,94%. La méthode avec une seule pièce est donc légèrement plus efficace.

NB : accessoirement, p(35)=1-T(38)/2^35, où T(38) est le 38e nombre de la suite de Tribonacci, avec T(0)=T(1)=0 et T(2)=1.

 #4 - 20-03-2016 00:12:00

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Trrois-pièces

Avec la première méthode ça revient à calculer la prob d'avoir au moins l'apparition de 3 piles sur 20 lancés c'est à dire le contraire de ne jamais avoir 3piles sur 20 lancés.

C'est à dire 1-(7/8)^20 = 0.93

la deuxieme méthode ne donne qu'une chance sur 4.

 #5 - 20-03-2016 08:32:00

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Troisp-ièces

Dhrm et Gilles: êtes vous sûr de votre résultat pour le 2ème cas ?
Ebichu: c'est parfait. La dernière formule que tu cites m'était inconnue, mais j'en soupçonnais l'existence.

 #6 - 20-03-2016 09:00:23

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Troiis-pièces

Cas 1 : 1 lancer de 3 pièces donne 1 chance sur 8 d'obtenir 3 piles, donc 7 /8 de ne pas l'obtenir.
Après 20 lancers, il y a (7/8)^20 chances de ne pas faire 3 piles, et donc une proba de 1-(7/8)^20

Cas 2 : Ouch, c'est beaucoup plus compliqué !

 #7 - 20-03-2016 13:53:17

QUATTRED
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 6

trois-oièces

La probabilité d'avoir 3 piles en lançant 3 pièces sur 20 lancers est

  P1 = 1-(7/8)puissance 20,  soit 0,931

La probabilité d'avoir 3 piles de suite sur 35 lancers est

  P2 = 1/8 * Somme de 7/8 puissance 0 à 32 soit 0,988

 #8 - 20-03-2016 14:04:13

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Trois-pièecs

Bonjour,
3 pièces de monnaie 20 fois
Probabilité d'avoir un tirage de 3 piles
[TeX]1 -(7/8)^{20}=0.930791[/TeX]
1 seule pièce (3 piles consécutifs) 35 fois
Calcul effectué pas à pas.
À l'itération n
- probabilité de gain = proba de gain à n-1 + 1/2 * proba de 2 piles à n-1
- probabilité de 2 piles = 1/2 * proba de 1 pile à n-1
- probabilité de 1 pile = 1/2 * proba de 0 pile à n-1
- probabilité de 0 pile = 1/2 * (proba de 0 pile à n-1 + proba de 1 pile à n-1 + proba de 2 piles à n-1)
J'obtiens 0.939380 pour 35 lancers

Cette seconde option est donc préférable, même avec 34 lancers (0.934083)

Une simulation sur 10 millions d'expériences me donne
0.930972 dans le premier cas
0.939473 dans le second

 #9 - 20-03-2016 14:41:44

dhrm77
L'exilé
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trois-pièxes

Voici les maths derriere mes nombres:
Pour le premier cas:
Pour qu'il y ait au moins une chance d'avoir 3 piles, on soustrait de l'ensemble des cas, les cas ou il y a autre chose, soit: \frac{7}{8}^{nombre de jets}

pour 20 jets de 3 pieces differentes:
[latex]1 - (\frac{7}{8})^{20} = [/latex] 0.930791241

pour 35 jets d'une seule piece, on a 33 instances de 3 jets consecutifs:
[latex]1 - (\frac{7}{8})^{33} =[/latex]0.987802643
mais je me rends compte que a chaque nouveau jet, les chances ne sont pas toujours égales...
Donc je corrige pour le deuxieme cas:
1-[latex]\frac{2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(4)-1)-1)-2)-4)-7)-13)-24)-44)-81)-149)-274)-504)-927)-1705)-3136)-5768)-10609)-19513)-35890)-66012)-121415)-223317)-410744)-755476)-1389537)-2555757)-4700770)-8646064)-15902591)-29249425)-53798080)-98950096)-181997601}{2^{35}}[/latex]= 0.939380327
ou encore:
1 - [latex]\frac{2082876103}{2^{35}}[/latex]= 0.939380327


Ce qui donne toujours le 2eme cas plus avantageux.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #10 - 20-03-2016 18:48:47

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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trois-pièves

@Quattred: non pour le 2ème cas.

@Enigmatus et Dhrm77: c'est OK pour vous, bravo.
Il y a peut être qq chose de plus simple pour exprimer la réussite au rang n pour le lancer d'une seule pièce. Mais bon, l'essentiel est là.

@tous ceux qui ont déja trouvé: pour une proba identique dans les 2 expériences, que peut on dire du rapport entre le nb de lancers 3 pièces et le nombre de lancers 1 pièce ?

 #11 - 20-03-2016 22:59:54

Ebichu
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Trois-picèes

Ce rapport tend vers ln(x/2)/ln(7/8) où x est la seule racine réelle de x³-x²-x-1 (soit environ 1,839), ce qui fait environ 0,627 ?

 #12 - 21-03-2016 08:01:22

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Troi-spièces

Pour les qq exemples pris au hasard, et après moyenne, je trouve une valeur proche de ça mais différente. C'est parce que cette moyenne est proche d'un nombre célèbre que je pose la question. Mais je n'ai pas l'explication. Ce nombre est plus connu par son inverse.

 #13 - 21-03-2016 08:16:38

enigmatus
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troid-pièces

nodgim #10 a écrit:

pour une proba identique dans les 2 expériences, que peut on dire du rapport entre le nb de lancers 3 pièces et le nombre de lancers 1 pièce ?

On n'a pas les mêmes probabilités dans les 2 séries de tirages, mais j'obtiens approximativement un rapport de 0,627 (pour environ 2000 lancers de 3 pièces).

Ajouté :
La probabilité est alors de l'ordre de [latex]1-10^{-116}[/latex]

 #14 - 21-03-2016 08:21:05

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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Trois-piècse

OK. Je pense que c'est un hasard si c'est proche du nombre d'or (ou de son inverse).

En fait, tu recherches les valeurs de n et k telles que 1-(7/8)^n = 1-T(k+3)/2^k. Or, T(k+3)~cste.x^k (avec x = ce fameux ~1,839, voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Tribonacci pour la valeur exacte), donc on a :

(7/8)^n ~ cste.x^k/2^k

En passant au ln, il vient n/k ~ ln(x/2)/ln(7/8).

 #15 - 21-03-2016 09:38:20

Franky1103
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trois-oièces

La probabilité d’avoir trois piles est de:

1er cas
P = 1 – (7/8)^20 = env. 93%

2ème cas
P = 1 – P1 – P2, avec:
P1 = probabilité d’avoir alternativement des piles et des faces
P2 = probabilité d’avoir au maximum deux piles consécutifs
P1 = (1/2)^(35-1) est négligeable
Mais pour P2, ça se complique: je repasserai plus tard.

Edit: Je suis repassé, mais toujours bredouille. sad

 #16 - 21-03-2016 16:46:43

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Trois-picèes

D'accord Ebichu. Ce n'est en effet pas le nombre d'or comme je le pensais à tort.
Enigmatus: oui OK.

 #17 - 22-03-2016 19:18:34

kossi_tg
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Troi-spièces

Un petit dernier pour la fin lol
A priori je dirais sans vraiment chercher les subtilités cachées du problèmes qu'il vaut mieux lancer 1 pièce 35 fois.

3 piles lancées 1 fois ==> probabilité d'avoir PPP est de 1/8. Donc pour 20 lancées on aurait 1-(7/8)^20 (=0.931) de probabilité d'avoir le PPP

3 lancées consécutives d'une pièces ==> Proba d'avoir PP est de 1/8 aussi. En 35 lancées, on a 33 triplets consécutifs donc on aurait 1-(7/8)^33 (=0.988) de proba d'avoir PPP.

voilà!

 #18 - 22-03-2016 21:08:24

Franky1103
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rois-pièces

Ebichu a écrit:

p(n+1)=1/8+p(n)/2+p(n-1)/4+p(n-2)/8

En faisant un graphe, j'étais parti sur un truc comme ça sans pouvoir le concrétiser.

Ebichu a écrit:

Suite de Tribonacci

Je ne connaissais pas non plus.

 #19 - 23-03-2016 07:43:26

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 303

Trois-piièces

Et moi non plus... merci oeis smile

 #20 - 23-03-2016 08:39:20

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Coutiches

Trois-pièèces

Donc pas moyen dans le cas 2 d'obtenir une formule ou un moyen de faire le calcul plus rapidement ?

 #21 - 23-03-2016 09:01:10

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

Trois-piècess

Merci aux participants.

Ceux qui ont raté la solution se sont heurtés à la seconde expérience, avec 1 seule pièce.

Voici une explication:
La proba de réussir R1 au bout de 3 lancers: PPP=1/8
Proba R2 de réussir au bout de 4 lancers: FPPP.
le F de début =1/2 mais aussi F=1-4R1. En effet PPP=R1 donc 4R1=P et 1-4R1=F.
R2= (1 - 4R1)/8

Proba de réussir au bout de 5 lancers:
PF PPP
FF PPP

PF ou FF = 1 - (PP ou FP) = 1- (2R1 - 4R2)
R3=(1-4R2-2R1)/8

De même
R4=(1-4R3-2R2-R1)/8

Généralité
Rk = (1-4R(k-1)-2R(k-2)-R(k-3)-...R1)/8

Quand on calcule R(k+1)-Rk on trouve

Rk= R(k-1)/2 + R(k-2)/4 + R(k-3)/8.

C'est facile alors de calculer avec un tableur la valeur de Rk.

Il est à remarquer que R(k+1)/Rk tend vers une limite 0,91... qui est la racine d'une équation de degré 3.

Ebichu a peut être des précisions à donner sur la façon dont il a trouvé la formule générale ?

 #22 - 23-03-2016 12:00:48

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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Trois-piècs

Pour commencer, j'ai trouvé avec le même raisonnement que toi la relation de récurrence : R(k)= 1/8 + R(k-1)/2 + R(k-2)/4 + R(k-3)/8. J'ai donc résolu le problème avec un coup de tableur.

Les premières valeurs sont 1/8 ; 3/16 ; 8/32 ; 20/64... j'ai donc rentré la suite 1,3,8,20 dans le moteur de recherche de l'oeis, et je suis tombé sur https://oeis.org/A050231 qui indique la relation : R(k)=1-T(k+3)/2^k. Cette relation se démontre immédiatement par récurrence à l'aide de la relation de récurrence du paragraphe précédent.

Après, wikipedia m'a renseigné sur la suite de Tribonacci : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Tribonacci
C'est une suite récurrente linéaire d'ordre 3 qui vérifie la relation de récurrence T(k+3)=T(k+2)+T(k+1)+T(k). En tant que suite récurrente linéaire, elle peut s'exprimer sous la forme T(k)=a1.r1^k+a2.r2^k+a3.r3^k, où les ri sont les racines du polynôme x^3-x^2-x-1.

Les racines r2 et r3 sont complexes, et de module strictement inférieur à 1, donc pour k grand, T(k)~a1.r1^k, où r1 est la seule racine réelle du polynôme (r1=1,8393...).

Ceci donne finalement R(k) ~ 1 - cste.r1^k/2^k ~ 1 - cste.0,91...^k (le 0,91... dont tu parles étant la moitié de la racine r1).

 #23 - 23-03-2016 17:42:58

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Trois-piècess

OK merci pour cette précision.

 #24 - 30-03-2016 17:50:19

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Trrois-pièces

Moi personnellement, pour obtenir 3 piles, j'aurais lancé trois pièces,
alors qu'en lançant une seule pièce plein de fois j'aurais toujours qu'une seule pile big_smile

Spoiler : [Afficher le message] Bon d'accord des piles d'une seule pièce, mais des piles quand même tongue
...
oui bon comment on dit dans ces cas là ? ah oui, je sors ^^'


Il y a sûrement plus simple.

 #25 - 30-03-2016 20:13:36

Franky1103
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Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

triis-pièces

Tu es sorti sûrement pour ne pas perdre la face.

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