Bonjour,
J'obtiens une longueur de coupe minimale lorsque ses 2 extrémités sont à égale distance du sommet d'un angle de 45°.
Si le côté du carré initial vaut 1, cette distance est 1/racine_4ème(2), et la longueur de coupe vaut sqrt(2)-1

Correction (suite à la remarque de Vasimolo en #8) :
En fait, j'ai minimisé le carré de la longueur de la découpe. et cette dernière vaut donc sqrt(sqrt(2)-1)

Après avoir éliminé le cas où les deux extrémités de la coupe sont sur les deux côtés de l'angle droit, qui donne même un moins bon résultat que la bissectrice, on suppose qu'une extrémité de la coupe est sur un côté de l'angle droit, et l'autre sur l'hypoténuse.

On peut par exemple poser x = distance entre l'extrémité de la coupe sur un côté de l'angle droit et le sommet du gâteau avec un angle aigu le plus proche.

On trouve alors que la longueur de la coupe au carré vaut x²-1+1/2x². On cherche donc à minimiser y-1+1/2y, avec la dérivée il vient $y=\frac{1}{\sqrt{2}}$ et donc $x=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}}}$.

Finalement, la longueur de la coupe optimale est $\sqrt{\sqrt{2}-1}$. On n'aurait pas cru qu'un énoncé aussi simple ait une solution aussi complexe

La coupe est à 22.5° (perpendiculaire à la bissectrice d'un angle aigu)
et sa longueur 0.643594...

Que des bonnes réponses ( enigmatus a squeezé une racine dans la précipitation ) . On doit pouvoir trouver une solution purement géométrique en supposant connus les valeurs trigonométriques de $\frac{\pi}{8}$ , non ?

En tout cas joli tir groupé

Vasimolo

Effectivement, en faisant un certain nombre de symétries, on se retrouve à minimiser le périmètre d'un octogone à aire constante, ce qui se produit pour un octogone régulier.

bonsoir.

Soit 1 la longueur des deux petits côtés du gateau.
$$OA = AB = 1$$
et  $OB = \sqrt2$
j'effectue ensuite une homothétie de centre O et de rapport $\frac{\sqrt2}{2}$ du triangle OAB. Ce qui me donne le nouveau triangle rectangle isocèle OA'B'.
J'obtiens le trapèze isocèle A'DB'A , D étant le point d'intersection de la parallèle à
(AB') passant par A' et de la droite (OB'). Ainsi la grande médiane MN joignant les milieux des segments A'A et DB' doit être le segment recherché pour l'optimisation de la coupe recherchée .
$$MN = \frac{2\sqrt2 \times\sqrt{\sqrt2 + 2}}{3\sqrt2 + 4} \approx 0.63405067..$$
n.b  Latex fonctionne pour la prévisualisation , mais après ...

@Ebichu : Oui
@Sydre : Oui et comment tu justifies que c'est la meilleure coupe ?
@Une Coudée : non mais tu n'es pas loin .
@Caduk : On peut justifier simplement que la coupe minimale est celle que tu annonces .

Vasimolo

Oui Sydre

Je me souvenais avoir proposé une énigme assez voisine il y a quelque temps , en fait c'était mon premier gâteau : http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=6252 .

De nombreux liens sont rompus mais on on doit pouvoir suivre l'idée .

Vasimolo