Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 01-09-2013 22:57:52

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3308

mathématiques pour lr nuls 15

Une boule de diamètre quelconque est immergée à [latex]\alpha[/latex]% de sa hauteur (diamètre) h, dans l'eau. Quelle est sa densité?

http://us.123rf.com/400wm/400/400/quido/quido0810/quido081000011/3714910-refletant-globe-la-terre-flottant-dans-l-39-eau.jpg

Applications numériques (validées par la case réponse) :
Pour 7% et 51% de sa hauteur, lorsque la température de l'eau est de 3.98°C.

Les valeurs sont à valider (arrondies) sous la forme "(0.abc/0.def)"

Bonne chance à tous,
Shadock smile



Annonces sponsorisées :

 
Réponse :

"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 02-09-2013 00:47:56

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Mathématiques pourr le nuls 15

Proposition

Volume d'une boule: [latex]V=\frac{\pi*D^3}{6}[/latex]
Volume d'une calotte sphérique de hauteur H: [latex]V_c=\frac{\pi*H^2*(3*D/2-H)}{3}[/latex]

D'après le théorème d'Archimède, [latex]\varphi*V=1*V_c[/latex]   (1) ( [latex]\varphi[/latex] et 1 étant respectivement les densités de la boule et de l'eau).

Etant donné que [latex]H=\beta*D[/latex]  (2) où  [latex]\beta=\frac{\alpha}{100}[/latex],

on a :  [latex] \varphi=\beta^2*(3-2*\beta)[/latex].

A.N.
[TeX]\alpha=7 \Longrightarrow \varphi=0.014[/TeX][TeX]\alpha=51 \Longrightarrow \varphi=0.515[/TeX]
La réponse (0.014/0.515) est validée par la case réponse.

Shadock a écrit:
Il faudrait justifier la formule qui donne Formule [latex]\varphi[/latex] si possible smile

En remplaçant [latex]V[/latex] et [latex]V_c[/latex] dans (1) on a:
[TeX]\varphi*\frac{\pi*D^3}{6}=\frac{\pi*H^2*(3*D/2-H)}{3}[/latex] (3)

En introduisant H en fonction de D (relation (2)) dans l'équation (3); on a:
[latex]\varphi*\frac{\pi*D^3}{6}=\frac{\pi*\beta^2*D^2*(3*D/2-\beta*D)}{3}[/TeX]
En simplifiant par [latex]\pi*D^3[/latex] on trouve: [latex]\varphi*\frac{1}{6}=\frac{\beta^2*(3/2-\beta)}{3}[/latex] d'où [latex] \varphi=\beta^2*(3-2*\beta)[/latex].

Sinon, l'équation (1) est donnée par le théorème d'Archimède qui veut que le poids du liquide déplacé (ici le volume d'eau correspondant à la calotte) soit égal au poids total du corps qui flotte.

 #3 - 02-09-2013 01:44:49

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3308

mathématiques poue le nuls 15

Bravo !!
Il faudrait justifier la formule qui donne [latex]\varphi[/latex] si possible smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 03-09-2013 09:47:44

Sha0r4n
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 1

mathématisues pour le nuls 15

Salut !

0,070/0,510

C'est ça ? ^^

 #5 - 03-09-2013 23:29:45

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Mathémtiques pour le nuls 15

D'après une histoire d'équilibre des forces, et de poussée d'Archimède,
(et surtout d'après wikipedia (qu'est ce que je ferais sans lui ?) wink ) on a :

Si [latex]V[/latex] est le volume d'un solide qui flotte dans l'eau, si [latex]V_i[/latex] est le volume immergé du solide, et si d est la densité du solide,
alors on a :
[TeX]d = {V_i\over V}[/TeX]
Ici V est le volume de la sphère de rayon h/2 qui vaut [latex]{4\pi\over 3}*{h^3\over8} = {\pi h^3\over 6}[/latex]

Si [latex]h_i[/latex] est la "hauteur immergée" alors on a [latex]V_i={\pi h_i^2 \over 3}({3h\over 2} - h_i)[/latex]

Ici nous avons  [latex]h_i = {\alpha h\over 100}[/latex], donc :
[TeX]V_i = {\pi\alpha^2 h^2\over 30000}({3h\over 2} - {\alpha h\over 100}) ={\pi h^3 \over 6}*({\alpha\over 100})^2(3-{\alpha\over 50})[/TeX]
Donc la densité de la sphère est de   [latex]3({\alpha\over 100})^2-2({\alpha\over 100})^3= {300\alpha^2 - 2\alpha^3 \over 10^6 [/latex]

Pour [latex]\alpha=7[/latex] on obtient :
[TeX](300 * 49 - 2*343)*10^{-6} = 14014*10^{-6} = 14,014*10^{-3}[/latex].

Et pour [latex]\alpha=51[/latex], on obtient [latex]514,998*10^{-3}[/TeX]
Bien sûr tous ces résultats sont modulo les erreurs de calculs smile


Il y a sûrement plus simple.

 #6 - 04-09-2013 19:45:12

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3308

Mathématiques opur le nuls 15

kossi_tg smile
Sha0r4n Non...
cogito A wikipédia... wink

Je mettrai ma solution personnelle puisque j'ai fais autrement que ce qui est proposé.

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #7 - 04-09-2013 20:44:28

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3308

Mathématiques pour le nusl 15

Comme je ne pourrai mettre la réponse à l'énigme avant au moins une semaine faute de temps je la poste dès à présent.



Solution :
[TeX]\star[/latex] Premièrement, on utilise le principe d'Archimède qui stipule que tout corps plongé dans un fluide subit une poussée verticale, dirigée verticalement, égale au poids du volume de fluide déplacé.

[latex]\star[/latex] Donc à l'équilibre la force d'Archimède [latex]\vec{\Pi}[/latex] et le poids [latex]\vec{P}[/latex] se compensent.
Ainsi [latex]\vec{\Pi}+\vec{P}=\vec{0}[/TeX]
Donc [latex]\rho_{eau}*V_{dep}*\vec{g}=m_{boule} \rho_{boule}[/latex]
Soit avec [latex]m=\rho_{boule} V_{boule}[/latex] on obtient la relation fondamentale sans laquelle on ne peut rien faire, en posant [latex]\rho_{eau}=1 kg.L^{-1}[/latex] :
[TeX]\rho_{boule}=\frac{V_{dep}}{V}[/TeX][TeX]\star[/latex] On connait [latex]V[/latex] c'est celui d'une boule de rayon R quelconque, c'est-à-dire, [latex]V=\frac{4}{3}\pi R^3[/TeX][TeX]\star[/latex] Calculons le volume déplacé (immergé) dans un cas quelconque.
On sait que [latex]h=2R[/latex] donc [latex]\alpha h=R+2\left(\alpha-\frac{1}{2}\right)R[/TeX]
Pour plus de commodité on pose [latex]A=R+2\left(\alpha-\frac{1}{2}\right)R[/latex] et on calcul la triple intégrale suivante :
[TeX]V_{dep}=\int_{-R}^{A} \left(\iint_{S(z)} dxdy \right)dz\Longleftrightarrow V_{dep}=\int_{-R}^{A} \pi \left(R^2-z^2\right)dz[/TeX]
[TeX]\Longleftrightarrow V_{dep}=\frac{4}{3} \pi \left(3-2\alpha \right) \alpha^2 R^3[/TeX]
Donc on en déduit que la densité est [latex]d=\left(3-2\alpha \right) \alpha^2[/latex]

Il n'y a plus qu'à remplacer alpha par 0.07 et 0.51 pour avoir la réponse.

Merci à tous,
Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #8 - 04-09-2013 21:50:05

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Mathématiques pour l nuls 15

D'après le principe d'Archimède, le poids de la boule est égal à la poussée d'Archimède : Po = Pa

Soit : Mb la masse de la boule, g la gravité, d la densité de la boule, Vb le volume de la boule, Vi le volume immergé de la boule.

Or Po = Mbxg = dxVbxg
et Pa = masse de la partie d'eau immergée = Vixg

Vb = πh^3/6
Vi = πh^3a^2(3/2 - a)÷3.

D'où :
d = a²(3 - 2a)

(0.014/0.515)


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #9 - 04-09-2013 22:03:49

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

mathématiques oour le nuls 15

La formule n'est valable que pour a compris entre 0 et 1, du fait que le volume immergé n'évolue plus en dehors de ces valeurs.

Il est amusant de constater que :
- une boule de même densité que l'eau correspond à a=1, donc à une boule totalement immergée.
- une boule de densité moitié moindre que l'eau correspond à a=0,5, donc à une boule à moitié immergée.
-une boule de densité nulle correspond à a=0, donc à une boule non immergée.

Merci pour cette intéressante question ! (même si je n'ai pas eu le courage de faire la démonstration du volume de la calotte !)


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #10 - 05-09-2013 19:13:46

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3308

mathématiques pour lr nuls 15

Pour s'amuser on peut aussi le faire avec une ellipsoïde et puis ensuite avec un oeuf, les calculs seraient plus "compliqués" mais faisables si on suit son calcul tranquillement. En revanche j'ai tout de même un doute pour l’œuf pour calculer une calotte oonoïque (oôn = oeuf en grec ^^)... hmm


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #11 - 05-09-2013 21:14:00

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

Mathématiques opur le nuls 15

Ouais ! Il vaut mieux en rester aux boules big_smile

 #12 - 05-09-2013 21:35:28

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Mathématiques pourr le nuls 15

J'suis d'accord. Aucune envie de toucher aux œufs grecs wink


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #13 - 05-09-2013 23:48:25

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Mathématiques pour le nnuls 15

Rien de tel que l'algèbre de boules.

 #14 - 06-09-2013 17:22:09

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3308

Mathéamtiques pour le nuls 15

Je me demande ce que je fais ici, vous avez sali mon sujet.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Riri, Fifi et ?

Mots clés des moteurs de recherche

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete