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 #1 - 01-09-2013 22:57:52

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3334

Mathémtiques pour le nuls 15

Une boule de diamètre quelconque est immergée à [latex]\alpha[/latex]% de sa hauteur (diamètre) h, dans l'eau. Quelle est sa densité?

http://us.123rf.com/400wm/400/400/quido/quido0810/quido081000011/3714910-refletant-globe-la-terre-flottant-dans-l-39-eau.jpg

Applications numériques (validées par la case réponse) :
Pour 7% et 51% de sa hauteur, lorsque la température de l'eau est de 3.98°C.

Les valeurs sont à valider (arrondies) sous la forme "(0.abc/0.def)"

Bonne chance à tous,
Shadock smile


 
Réponse :

"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
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 #2 - 02-09-2013 00:47:56

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 307
Lieu: Montargis

Mathémaitques pour le nuls 15

Proposition

Volume d'une boule: [latex]V=\frac{\pi*D^3}{6}[/latex]
Volume d'une calotte sphérique de hauteur H: [latex]V_c=\frac{\pi*H^2*(3*D/2-H)}{3}[/latex]

D'après le théorème d'Archimède, [latex]\varphi*V=1*V_c[/latex]   (1) ( [latex]\varphi[/latex] et 1 étant respectivement les densités de la boule et de l'eau).

Etant donné que [latex]H=\beta*D[/latex]  (2) où  [latex]\beta=\frac{\alpha}{100}[/latex],

on a :  [latex] \varphi=\beta^2*(3-2*\beta)[/latex].

A.N.
[TeX]\alpha=7 \Longrightarrow \varphi=0.014[/TeX][TeX]\alpha=51 \Longrightarrow \varphi=0.515[/TeX]
La réponse (0.014/0.515) est validée par la case réponse.

Shadock a écrit:
Il faudrait justifier la formule qui donne Formule [latex]\varphi[/latex] si possible smile

En remplaçant [latex]V[/latex] et [latex]V_c[/latex] dans (1) on a:
[TeX]\varphi*\frac{\pi*D^3}{6}=\frac{\pi*H^2*(3*D/2-H)}{3}[/latex] (3)

En introduisant H en fonction de D (relation (2)) dans l'équation (3); on a:
[latex]\varphi*\frac{\pi*D^3}{6}=\frac{\pi*\beta^2*D^2*(3*D/2-\beta*D)}{3}[/TeX]
En simplifiant par [latex]\pi*D^3[/latex] on trouve: [latex]\varphi*\frac{1}{6}=\frac{\beta^2*(3/2-\beta)}{3}[/latex] d'où [latex] \varphi=\beta^2*(3-2*\beta)[/latex].

Sinon, l'équation (1) est donnée par le théorème d'Archimède qui veut que le poids du liquide déplacé (ici le volume d'eau correspondant à la calotte) soit égal au poids total du corps qui flotte.

 #3 - 02-09-2013 01:44:49

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3334

mathématiques pour ke nuls 15

Bravo !!
Il faudrait justifier la formule qui donne [latex]\varphi[/latex] si possible smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 03-09-2013 09:47:44

Sha0r4n
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 1

Maathématiques pour le nuls 15

Salut !

0,070/0,510

C'est ça ? ^^

 #5 - 03-09-2013 23:29:45

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Mathéatiques pour le nuls 15

D'après une histoire d'équilibre des forces, et de poussée d'Archimède,
(et surtout d'après wikipedia (qu'est ce que je ferais sans lui ?) wink ) on a :

Si [latex]V[/latex] est le volume d'un solide qui flotte dans l'eau, si [latex]V_i[/latex] est le volume immergé du solide, et si d est la densité du solide,
alors on a :
[TeX]d = {V_i\over V}[/TeX]
Ici V est le volume de la sphère de rayon h/2 qui vaut [latex]{4\pi\over 3}*{h^3\over8} = {\pi h^3\over 6}[/latex]

Si [latex]h_i[/latex] est la "hauteur immergée" alors on a [latex]V_i={\pi h_i^2 \over 3}({3h\over 2} - h_i)[/latex]

Ici nous avons  [latex]h_i = {\alpha h\over 100}[/latex], donc :
[TeX]V_i = {\pi\alpha^2 h^2\over 30000}({3h\over 2} - {\alpha h\over 100}) ={\pi h^3 \over 6}*({\alpha\over 100})^2(3-{\alpha\over 50})[/TeX]
Donc la densité de la sphère est de   [latex]3({\alpha\over 100})^2-2({\alpha\over 100})^3= {300\alpha^2 - 2\alpha^3 \over 10^6 [/latex]

Pour [latex]\alpha=7[/latex] on obtient :
[TeX](300 * 49 - 2*343)*10^{-6} = 14014*10^{-6} = 14,014*10^{-3}[/latex].

Et pour [latex]\alpha=51[/latex], on obtient [latex]514,998*10^{-3}[/TeX]
Bien sûr tous ces résultats sont modulo les erreurs de calculs smile


Il y a sûrement plus simple.

 #6 - 04-09-2013 19:45:12

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3334

marhématiques pour le nuls 15

kossi_tg smile
Sha0r4n Non...
cogito A wikipédia... wink

Je mettrai ma solution personnelle puisque j'ai fais autrement que ce qui est proposé.

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #7 - 04-09-2013 20:44:28

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3334

Mathématiques pour le nus 15

Comme je ne pourrai mettre la réponse à l'énigme avant au moins une semaine faute de temps je la poste dès à présent.



Solution :
[TeX]\star[/latex] Premièrement, on utilise le principe d'Archimède qui stipule que tout corps plongé dans un fluide subit une poussée verticale, dirigée verticalement, égale au poids du volume de fluide déplacé.

[latex]\star[/latex] Donc à l'équilibre la force d'Archimède [latex]\vec{\Pi}[/latex] et le poids [latex]\vec{P}[/latex] se compensent.
Ainsi [latex]\vec{\Pi}+\vec{P}=\vec{0}[/TeX]
Donc [latex]\rho_{eau}*V_{dep}*\vec{g}=m_{boule} \rho_{boule}[/latex]
Soit avec [latex]m=\rho_{boule} V_{boule}[/latex] on obtient la relation fondamentale sans laquelle on ne peut rien faire, en posant [latex]\rho_{eau}=1 kg.L^{-1}[/latex] :
[TeX]\rho_{boule}=\frac{V_{dep}}{V}[/TeX][TeX]\star[/latex] On connait [latex]V[/latex] c'est celui d'une boule de rayon R quelconque, c'est-à-dire, [latex]V=\frac{4}{3}\pi R^3[/TeX][TeX]\star[/latex] Calculons le volume déplacé (immergé) dans un cas quelconque.
On sait que [latex]h=2R[/latex] donc [latex]\alpha h=R+2\left(\alpha-\frac{1}{2}\right)R[/TeX]
Pour plus de commodité on pose [latex]A=R+2\left(\alpha-\frac{1}{2}\right)R[/latex] et on calcul la triple intégrale suivante :
[TeX]V_{dep}=\int_{-R}^{A} \left(\iint_{S(z)} dxdy \right)dz\Longleftrightarrow V_{dep}=\int_{-R}^{A} \pi \left(R^2-z^2\right)dz[/TeX]
[TeX]\Longleftrightarrow V_{dep}=\frac{4}{3} \pi \left(3-2\alpha \right) \alpha^2 R^3[/TeX]
Donc on en déduit que la densité est [latex]d=\left(3-2\alpha \right) \alpha^2[/latex]

Il n'y a plus qu'à remplacer alpha par 0.07 et 0.51 pour avoir la réponse.

Merci à tous,
Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #8 - 04-09-2013 21:50:05

fix33
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Mathématques pour le nuls 15

D'après le principe d'Archimède, le poids de la boule est égal à la poussée d'Archimède : Po = Pa

Soit : Mb la masse de la boule, g la gravité, d la densité de la boule, Vb le volume de la boule, Vi le volume immergé de la boule.

Or Po = Mbxg = dxVbxg
et Pa = masse de la partie d'eau immergée = Vixg

Vb = πh^3/6
Vi = πh^3a^2(3/2 - a)÷3.

D'où :
d = a²(3 - 2a)

(0.014/0.515)


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #9 - 04-09-2013 22:03:49

fix33
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Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Mahtématiques pour le nuls 15

La formule n'est valable que pour a compris entre 0 et 1, du fait que le volume immergé n'évolue plus en dehors de ces valeurs.

Il est amusant de constater que :
- une boule de même densité que l'eau correspond à a=1, donc à une boule totalement immergée.
- une boule de densité moitié moindre que l'eau correspond à a=0,5, donc à une boule à moitié immergée.
-une boule de densité nulle correspond à a=0, donc à une boule non immergée.

Merci pour cette intéressante question ! (même si je n'ai pas eu le courage de faire la démonstration du volume de la calotte !)


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #10 - 05-09-2013 19:13:46

shadock
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Enigmes résolues : 39
Messages : 3334

Mathématiquees pour le nuls 15

Pour s'amuser on peut aussi le faire avec une ellipsoïde et puis ensuite avec un oeuf, les calculs seraient plus "compliqués" mais faisables si on suit son calcul tranquillement. En revanche j'ai tout de même un doute pour l’œuf pour calculer une calotte oonoïque (oôn = oeuf en grec ^^)... hmm


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #11 - 05-09-2013 21:14:00

Franky1103
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Lieu: Luxembourg

mathématiques ppur le nuls 15

Ouais ! Il vaut mieux en rester aux boules big_smile

 #12 - 05-09-2013 21:35:28

fix33
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Mathémaatiques pour le nuls 15

J'suis d'accord. Aucune envie de toucher aux œufs grecs wink


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #13 - 05-09-2013 23:48:25

Nombrilist
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Enigmes résolues : 10
Messages : 568

Mathématiques pour le nulss 15

Rien de tel que l'algèbre de boules.

 #14 - 06-09-2013 17:22:09

shadock
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Mathémtiques pour le nuls 15

Je me demande ce que je fais ici, vous avez sali mon sujet.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

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