Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 06-01-2013 12:09:00

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

pliage répétitif vers la droitz !

Bonjour, bonne année wink

En cette nouvelle année, voici une petite recherche mathématiques rigolote.

Imaginons que nous plions une feuille en deux vers la droite puis que nous regardons la forme obtenue une fois relâchée nous obtenons une figure. Nous répétons cette opération c'est à dire on plie toujours vers la droite.

Evidemment en pratique au bout du 3ème ou 4ème pliage, il nous serait impossible de continuer mais dans notre monde théorique des maths on va supposer que l'on peut continuer ainsi à l'infini.

Sur le dessin ci dessous je vous ai présenter les premières étapes.

http://www.prise2tete.fr/upload/gilles355-mathej.jpg
http://www.prise2tete.fr/upload/gilles355-mathej.jpg

J'ai fléché le parcours, on obtient donc à l'étape 0 ( quand on n'a pas encore plié la feuille ) une flèche vers la droite, pour l'étape 1, une flèche vers la droite et une vers le haut etc.

Ma première question est pouvez vous me dire combien y aura t-il de flèches vers la droite, le haut, la gauche et le bas au bout du 8ème pliage.

Réponse à valider dans la case réponse sous le format DxxHyyGzzBww où xx est le nombre de flèches à droite, yy le nombre de flèche vers le haut etc.

La deuxième question est pouvez vous me donner une formule ou explication pour le nième pliage ?

Enfin pour ceux qui aiment les jolis dessins, pouvez vous me représenter la forme des pliages si on alterne un pliage vers la droite puis un vers la gauche etc.


Voilà amusez vous bien et n'hésitez pas à me poser des questions wink



Annonces sponsorisées :

 
Réponse :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 06-01-2013 12:21:07

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

pliage répétitif vzrs la droite !

A force de plier vers la droite (et en supposant que c'est toujours possible physiquement bien sûr), on finit par obtenir ceci, je pense :



lol Plus sérieusement, ce petit pliage innocent est connu, et il permet la construction "à la main" d'une fractale : la courbe du dragon

Je suis conscient que ça ne répond pas vraiment aux questions que tu poses... mais j'ai pas envie de compter des flèches en fait... c'est dimanche hein !!!

Et pour ce qui est du pliage "une fois à droite, puis une fois à gauche", j'ai pas encore cherché, mais j'imagine qu'on va trouver quelquechose de joli.

A suivre


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #3 - 06-01-2013 13:17:55

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Pliag erépétitif vers la droite !

Ca devrait pas faire un carré au deuxième pliage parce que si je suis la logique ça donne ça. Peut-être que je me trompe ... (ou plutôt c sur)

 #4 - 06-01-2013 13:40:55

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,471E+3

Pliage répétitif verss la droite !

Je ne comprends rien à l'énoncé... sad

Si on plie une feuille toujours en deux vers la droite, ça fait juste des lignes verticales parallèles non ?

EDIT : je viens de comprendre, tu représentes la feuille vue par la tranche !

Je tombe sur D67 H62 G61 B66 non validé.

 #5 - 06-01-2013 16:27:56

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

pliahe répétitif vers la droite !

J'ai rien compris dès le départ.
Pourrais tu préciser ce qu'est le pliage vers la droite, et quelle figure on obtient ?
1 pli= 1 trait (au milieu, vertical, horizontal ?) et rabattre l'un des cotés sur l'autre. La figure obtenue, c'est vu de face ou de profil ? Rabattre un coté, c'est à 180° ?
Une fois que tu auras précisé tout ça, peut être ça devrait être plus clair, pour moi en tout cas.
merci d'avance.

 #6 - 06-01-2013 18:15:43

JulesV
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 52

pliage répétitif vers la deoite !

On peut trouver une technique récursive. Il suffit de voir que D et H dans DH qui représente un pliage peuvent être remplacés par un motifs constitué de plusieurs flèches, avec le motif restitué pour D et ayant subi une rotation dans le sens direct de 90 degré pour H


  Par exemple du  motif [latex]m_2[/latex] : DHGH on déduit la première moitié du motif [latex]m_3[/latex]: DHGH|****. On construit avec les règles de rotations la deuxième moitié du motif [latex]m_3 [/latex](D transformé en H, H en G, G en B, B en D )
On a ainsi [latex]m_3[/latex]: DHGH|GBGH (la symétrie s'explique du fait qu'une rotation  commence par le "bout")
  On peut trouver de la même façon la représentation graphique de [latex]m_8[/latex] (que je n'ai pas trouvé, pas envie de me casser la tête avec 256 caractères lol )

Pour trouver la formule générale, il faut voir comment sont définies les suites [latex](D_n), (G_n), (H_n) [/latex] et [latex](B_n)[/latex]
On a [latex] D_0=1,  G_0=0,   H_0=0,  B_0=0[/latex]
et
[TeX]D_n=D_{n-1}+B_{n-1}[/TeX][TeX]H_n=H_{n-1}+D_{n-1}[/TeX][TeX]G_n=G_{n-1}+H_{n-1}[/TeX][TeX]B_n=B_{n-1}+G_{n-1}[/TeX]
On en déduit (je l'ai vu avec un tableau smile ) que les suites prennent les valeurs des termes du tableau de Pascal tronqué et donc cyclique à un moment (en s"alignant avec le numéro des motifs:
Soit
[TeX]D_n= \sum_{i=0}^{ceil(\frac{n+1}{4} )} {n \choose 4k} [/TeX][TeX]H_n= \sum_{i=0}^{ceil(\frac{n}{4} )} {n  \choose 4k+1} [/TeX][TeX]G_n= \sum_{i=0}^{ceil(\frac{n-1}{4} } {n  \choose 4k+2} [/TeX][TeX]B_n= \sum_{i=0}^{ceil(\frac{n-2}{4} )} {n  \choose 4k+3} [/TeX]
ceil(n) retourne l'entier supérieur du nombre n. ceil(4,5)=ceil(4,314)=5 par exemple.
Pfiuuu.... cool

Edit

@Gilles : J'ai bien D72H64G56B64 avec

D=C(8,0)+C(8,4)+C(8,8)=72
H=C(8,1)+C(8,5)=64
G=C(8,2)+C(8,6)=56
B=C(8,3)+C(8,7)=64
mais je trouve ce résultat indépendamment, je me suis un peu précipité pour la formule, il faut que je me relise car je me suis un peu emmêlé les pinceaux avec les lignes, le rang l'indice, les arrangements... smile

 #7 - 06-01-2013 18:27:09

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Pliag répétitif vers la droite !

Soient D(n), H(n), G(n) et B(n) le nombre de flèches respectives vers la droite, le haut, la gauche et le bas, pour l'étape n. On aura les relations:
D(n+1)=D(n)+B(n); H(n+1)=H(n)+D(n); G(n+1)=G(n)+H(n) et B(n+1)=B(n)+G(n).
A l'étape 8, cela donne D72H64G56B64, validé par la case réponse.
J'ai dessiné les formes des pliages en les alternant vers la droite et vers la gauche, mais je ne peux pas les faire partager ici car je ne sais pas dessiner sur ce site.

On peut remarquer que: D(n)+H(n)+G(n)+B(n)=2^n.
Je cherche une expression plus simple pour D(n), H(n), G(n) et B(n) et je reviendrai plus tard.
Merci pour cet exercice ludique.

 #8 - 06-01-2013 18:47:23

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

pliage répétitif vers la dtoite !

Pour ceux qui n'ont pas bien saisi l'énoncé, je crois que des dessins en 3D valent mieux que de beaux discours wink

http://www.prise2tete.fr/upload/gilles355-mathej3D.jpg
http://www.prise2tete.fr/upload/gilles355-mathej3D.jpg

 #9 - 06-01-2013 18:53:23

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

ploage répétitif vers la droite !

Pour l'instant le seul à avoir validé la case réponse est Franky1103, pour JulesV je ne suis pas sûr ... j'attends que tu valides ma première question et je regarderai plus précisément ta formule.

Edit: @ JulesV je pense que c'est pas mal du tout en fait ta formule.

 #10 - 06-01-2013 20:28:13

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2209

Pliage répétitif vvers la droite !

D72H64G56B64

avec [latex]P_n = \{D_n , H_n , G_n , B_n\}[/latex] :
[TeX]P_0 = \{1 , 0 , 0 , 0\}[/TeX]
[TeX]P_{n+1} = \{D_n + B_n, H_n + D_n, G_n + H_n, B_n+ G_n\}[/TeX]

 #11 - 06-01-2013 21:01:34

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

Plage répétitif vers la droite !

J'ai plein de bonne réponse pour la première question, pour la seconde j'ai de la récurrence mais le seul pour l'instant à avoir donné une formule en fonction de n est JulesV

Personne ne s'est attaqué au dessin un coup à droite un coup à gauche.

 #12 - 07-01-2013 10:37:47

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Pliage répéttitif vers la droite !

Voici les valeurs de D(n); H(n); G(n) et B(n) suivant la valeur de n modulo 4:

Si n=0 (modulo 4), alors:
H(n)=B(n)=2^(n-2)
D(n)=2^[(n-2)/2].{2^[(n-2)/2]+(-1)^(n/4)}
G(n)=2^[(n-2)/2].{2^[(n-2)/2]-(-1)^(n/4)}

Si n=1 (modulo 4), alors:
D(n)=H(n)=2^[(n-3)/2].{2^[(n-1)/2]+(-1)^[(n-1)/4]}
G(n)=B(n)=2^[(n-3)/2].{2^[(n-1)/2]-(-1)^[(n-1)/4]}

Si n=2 (modulo 4), alors:
D(n)=G(n)=2^(n-2)
H(n)=2^[(n-2)/2].{2^[(n-2)/2]+(-1)^[(n-2)/4]}
B(n)=2^[(n-2)/2].{2^[(n-2)/2]-(-1)^[(n-2)/4]}

Si n=3 (modulo 4), alors:
D(n)=B(n)=2^[(n-3)/2].{2^[(n-1)/2]+(-1)^[(n+1)/4]}
H(n)=G(n)=2^[(n-3)/2].{2^[(n-1)/2]-(-1)^[(n+1)/4]}

Y a t-il une expression plus simple ?

 #13 - 07-01-2013 20:27:48

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

pliage répétitif vers la dtoite !

Je crois que c'est plus rigolo de débattre plutot que de chercher seul dans son coin.

Je vous prépare le pliage alterné pour bientot wink

 #14 - 07-01-2013 21:51:14

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

pliage répétitif cers la droite !

toujours pas compris le coup du plis toujours à droite. Pourquoi cela ne donne-t-il pas un carré sur lequel on s'enroule ?

 #15 - 07-01-2013 23:03:18

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Pliage répéttif vers la droite !

@golgot59:
On plie la bande de papier en deux, puis à nouveau en deux (on a quatre épaisseurs), puis encore en deux (on a huit épaisseurs), etc. On ne "roule" pas la bande de papier sur elle-même. Quand on la déplie, les plis sont parfois à droite et parfois à gauche.

 #16 - 07-01-2013 23:27:21

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Pliage érpétitif vers la droite !

Ca y est, compris !

J'avais pas compris qu'il fallait plier complètement le papier pour ensuite le déplier "à moitié" hmm (désolé)

 #17 - 08-01-2013 06:12:07

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Pliage répétiti vers la droite !

Ah ouais, pareil, j'avais pas compris depuis le début. Dommage.

 #18 - 09-01-2013 21:42:30

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Piage répétitif vers la droite !

Ah ok, c pour ça que ça ne fais pas un carré !!!
Ok, trop compliqué pour moi ...

 #19 - 10-01-2013 10:11:35

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

Pliage répétitif vers la drooite !

Salut !

Comme promis, voici les dessins de pliages si on alterne un coup vers la droite et un coup vers la gauche.

http://www.prise2tete.fr/upload/gilles355-mathej2.jpg
http://www.prise2tete.fr/upload/gilles355-mathej2.jpg

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Riri, Fifi et ?

Sujets similaires

Sujet Date Forum
P2T
Droite nulle par clement.boulonne
16-08-2011 Enigmes Mathématiques
04-02-2012 Enigmes Mathématiques
P2T
Pliage par SaintPierre
26-03-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
Pliage 1 par looozer
06-03-2010 Enigmes Mathématiques
18-08-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
Vers de terre par fvallee27
10-11-2014 Enigmes Mathématiques
P2T
04-04-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
Pliage par aunryz
07-12-2016 Enigmes Mathématiques
P2T
Pliage par Billmitchell
29-05-2014 Enigmes Mathématiques
01-04-2012 Enigmes Mathématiques

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete