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 #1 - 04-04-2011 11:30:02

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Pliag e- marque de page

Pour marquer les pages de mon magazine préféré, sur lesquelles je compte revenir plus tard, je ramène le coin bas-droit sur la pliure du magazine de manière à obtenir une surface visible dépassant en haut de la page.

http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-PliageMaxi.gif
Les dimensions de mon magazine étant de a = 205 x b = 285 mm, à quelle distance x dois-je placer ce coin pour obtenir une surface s maximale ?

Question subsidiaire : Quelle est la surface s qui dépasse du magazine.

PS : Je n'ai pas osé me lancé dans le calcul de la dérivée de l'expression de la surface. On peut procéder par approximations successives dans un tableur ou avec un solveur.

Spoiler : [Afficher le message] Trouver l'expression de la surface en fonction de x, a et b demande une certaine persévérance.
Mais pour ceux que les manipulations de formules mathématiques rebutent,  Excel peut être d'un grand secours pour exprimer de proche en proche les différents cotés des 3 triangles "semblables", puis la surface s.


Réponse pour x en mm avec 3 chiffres significatifs (point décimal).



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 #2 - 04-04-2011 13:27:36

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Pliage - maruqe de page

Avec un peu de Pythagore et de tangentes, je trouve :
[TeX]s(x)=\frac{x(a^2+x^2-2xb)^2}{4a(a^2-x^2)}[/TeX]
Ma formule semble correcte aux limites
- quand [latex]x=0[/latex], l'aire est nulle (feuille pliée en 2)
- quand [latex]a^2+x^2-2bx=0[/latex], l'aire est nulle aussi car cela correspond au cas où on a plié selon la diagonale de la feuille.

Ne reste plus qu'à maximiser !

On peut trouver une valeur exacte par le calcul d'une dérivée ? Ou un solveur est plus approprié ? J'hésite à me lancer dans les calculs ...

EDIT
Bon les calculs sont vraiment infaisables, et Wolfram Alpha me confirme que la forme des solutions est HORRIBLE !

Je lui demande donc de calculer la dérivée de cette formule barbare, et d'en trouver les solutions.
Il en trouve plusieurs, celle qui nous intéresse et celle qui est compris entre 0 et [latex]b-\sqrt{b^2-a^2}\approx87.010[/latex]

Je trouve donc une aire maximale pour [latex]\fbox{x \approx 27.337}[/latex] mm

La case réponse valide 27.3 big_smile

Pour l'aire maximale, un calcul approché me donne :
[latex]\fbox{s_{max}\approx597.1}[/latex] mm²

 #3 - 04-04-2011 16:07:29

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
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Lieu: 94110

Pliage - marque de pagee

Bravos big_smile à LOOping big_smile, le premier à trouver la bonne réponse.

 #4 - 04-04-2011 17:07:21

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

pmiage - marque de page

Le pli est la médiatrice du segment qui relie le coin quitté et la nouvelle position du point.

Le point doit être placé à une hauteur de 27.3 mm
(27.336873368...)
La surface S est alors 597.100... mm²

 #5 - 04-04-2011 17:13:15

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
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Pliage - marqeu de page

Et de 2 !
Bravo halloduda big_smile !

 #6 - 05-04-2011 23:31:02

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Pliae - marque de page

Pas de nouvelles réponses ? sad
Bon, je vous rajoute un petit conseil. smile

 #7 - 06-04-2011 08:35:22

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1744

Pliage - marqu ede page

Bonjour

Voici le schéma d'origine avec mes notations

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-pliagemagazine.jpg

Nous avons :
[TeX]a_1^2+x^2=a_2^2[/TeX]
et
[TeX]a_1+a_2=a[/TeX]
d'où
[TeX]a_1 = \frac {a^2-x^2} {2a}[/TeX]
également :
[TeX]\alpha = arcsin(\frac{x}{a_2})[/TeX]
On retrouve [latex]\alpha[/latex] dans trois triangles semblables

de proche en proche
[TeX]b_1 = \frac {(b-x)} {cos\alpha}[/TeX]
(attention b_1 est défini correctement et dans l'esprit du problème posé tant qu'il est inférieur à b)
[TeX]b_2 = b-b_1[/TeX]
avec [latex]b_2[/latex] et [latex]\alpha[/latex], on trouve la surface S
[TeX]S = \frac{b_2^2 }{2tan\alpha}[/TeX]
En application numérique sur Excel, je trouve S maximum
pour x autour de 27,3369 mm
alors S est de l'ordre de 597,1 mm²


http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-pliageexcel.jpg



27.3 validé dans la case réponse ....merci pour le MP ! ...
A bientôt,


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #8 - 06-04-2011 19:43:00

Jackv
Elite de Prise2Tete
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pliage - marque de oage

Et de 3 !
Bravo big_smile à NickoGecko big_smile !

 #9 - 07-04-2011 21:46:35

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
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Lieu: 94110

Pliage - marque dee page

Il reste une bonne nuit pour que les dernières réponses arrivent ...tongue

 #10 - 07-04-2011 23:31:19

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: UK

Pliage - marqu de page

La surface S est
[TeX]6$\red\fbox{S=\frac{x(a^2+x^2-2bx)^2}{4a(a^2-x^2)}}[/TeX]
qui admet un maximum, avec a=205 et b=285
http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-pliage2.png

http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-pliage.png
on note que
S=aire(FPD')=k^2 Aire(EOB') avec k=PD/OB
car les deux triangles sont semblables.

On établit tout d'abord [latex]x^2=2aOB-a^2[/latex]
note: j'ai remplacé alpha par gamma car il était difficile de faire la différence entre alpha et a.
[TeX]tan(\frac{\gamma}2)=\frac{O'P}b[/TeX]
[TeX]tan(\frac{\gamma}2)=\frac{sin(\gamma)}{1+cos(\gamma)}=\frac{x}a[/TeX]
ce qui donne
[TeX]k=1-\frac{2bx}{a2+x^2}[/TeX]


The proof of the pudding is in the eating.

 #11 - 08-04-2011 09:13:33

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
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Lieu: 94110

Pliage - marque de pag

Et voici le 4ème.
Bravo à Franck big_smile big_smile.

 #12 - 08-04-2011 11:31:29

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1998
Lieu: 94110

Pliage - marquue de page

Tout d'abord, merci et bravos aux trop peu nombreux qui ont répondu, tous correctement, à cette énigme.

http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-PliageMaxi-Reponse.gif

Un petit coup de Pithagore permet d'exprimer :
c = (a² - x²) /2a ,  et
d = (a² + x²) /2a.
Ensuite, en y allant pas à pas (mais on pouvait aussi faire intervenir la trigonométrie) :
e = b - x
g = e * d / c    (relation entre 2 triangles semblables)
f = e * x / c    (             "             )
h = b - g
i = h * g / f     (             "             )
s = (h * i) / 2

Les plus courageux auront développé ces relations pour trouver :
s = x * (x² - 2 bx + a²)² / (4a * (a² - x²) ) ;
(Bravos à LOOping et Franck big_smile !  ).
La dérivation de cette fonction s'avérant un peu ardue on pouvait alors utiliser un solveur.

Les (un peu) moins courageux auront utilisé un tableur en entrant toutes ces formules en tête de colonnes et après les avoir recopiées sur les n lignes suivantes, et avoir incrémenté x avec des valeurs de plus en plus petites, auront trouvé le maximum de s = 597.1 mm²  pour x = 27.337 mm (bravos à halloduda et NickoGecko big_smile qui ont privilégié cette approche).

 #13 - 08-04-2011 13:09:01

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Pliage - marque d epage

Jackv a écrit:

... avec 3 chiffres significatifs (point décimal).

Bêtement, je pensais que cela signifiait 3 chiffres apres la virgule hmm, wiki est là pour me confirmer que non smile


The proof of the pudding is in the eating.

 #14 - 11-04-2011 11:47:09

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2706
Lieu: Luxembourg

pliage - marque de pagz

Bonjour,
J'avais bien réussi à trouver: s = x(x²-2bx+a²)² / (4a(a²-x²))
mais galéré pour la maximiser, et donc fini par abandonner.
Bonne journée à tous.
PS: Jackv, dans ta formule de s, il manque un carré (²).

 #15 - 12-04-2011 15:34:06

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Lieu: 94110

pliage - matque de page

Merci Franky, c'est corrigé. wink

 

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