On dispose d'un triangle ABC. Si on trace des droites parallèles à la droite donnée passant par A, B et C, seule une de ces droites passera à l'intérieur du triangle (le cas limite où deux de ces droites recouvrent un côté du triangle est compatible avec la démonstration donnée). Supposons que ce soit celle passant par A, on la trace en rouge. Elle va couper le côté [BC] en un certain point : si ce point est le milieu M de [BC], alors le problème est résolu. Sinon, on peut supposer que ce point appartient à [MC].

Pour l'instant, sur la figure, seuls A, B, C, M et la droite rouge sont tracés :



On va alors tracer en vert la parallèle à la droite rouge passant par C, elle va couper la demi-droite [BA) en D. Il faut alors placer le point F sur [AB] de sorte que BF = racine(AB*BD/2). On trace la droite orange passant par F parallèle aux deux autres, et la construction est terminée : un calcul à base de Thalès montre que le triangle en rouge a une aire qui vaut la moitié du triangle ABC.

Le seul problème qui reste à régler est la construction du point F : c'est en fait la moyenne géométrique de AB et de la moitié de BD, ce qui donne un moyen de le construire.

Soient un triangle ABC et une droite D.
Une droite qui partage un triangle en deux parts égales passe par son centre de gravité O, intersection de ses médianes.
J'obtiens les points A' et B' milieux de BC et BA en traçant les médiatrices de ces segments.
Soit O l'intersection de AA' et BB', H le pied de la perpendiculaire abaissée de O sur D et H' le symétrique de H par rapport à O (est-il vraiment besoin de détailler ?).
La droite recherchée est la médiatrice de HH'.

Exact !
Ce qui est vrai pour les 3 médianes ne l'est plus si on s'en éloigne un peu.
Ma généralisation a été un peu hâtive.
Je me disais aussi, ça me parait trop simple !
Je réfléchirai à deux fois (et demi) la prochaine fois...