J'arrive à démontrer sans difficulté que la somme des deux plus grands rayons (sans utiliser les deux paires de petits cercles) vaut 2-V2. Les autres formules deviennent rapidement inextricables. Quant à la recherche d'une valeur numérique des rayons, ce n'est pas mon truc.
Affaire à suivre et bonnes fêtes à tous.

Bonjou,
Intéressant, mais pas évident en effet. Je n'ai pas trouvé la solution exacte.
Notations :
C1 : cercle en haut à gauche
C2 : cercle en haut à droite
C3 : cercle au milieu à droite
C4 : cercle en bas à droite

Les centres sont respectivement O1, O2, O3, O4, et les rayons r1, r2, r3, r4

J'obtiens ces relations :
r2 = ( 1-sqrt(r1) )**2
r4 = 2-sqrt(2)-r1
r3 = ( (1-r2-r4) / (2*(sqrt(r2)+sqrt(r4))) )**2

Et en calculant de 2 façons différentes la distance de O3 au côté supérieur du carré :
r2+2*sqrt(r2*r3) = r1+sqrt(2*(r1+r3)-1)

J'ai fait varier r1 pour que l'égalité précédente soit vérifiée.

Résultat numérique, à comparer avec la solution exacte :
r1 = 0.368699562024
r2 = 0.154286844660
r3 = 0.133974596216
r4 = 0.217086875603

Voilà voilà j'ai corrigé (enfin je pense)
[TeX]R4+R3+2*\sqrt { 2R3+2R4-1 } -1\quad =\quad 0\\ R4+R2+2*\sqrt { R4*R2 } -1\quad =\quad 0\\ R4+R1+\sqrt { { (R4+R1) }^{ 2 }-{ (R3+2*\sqrt { R3*R1 } -R4) }^{ 2 } } -1\quad =\quad 0\\ R3+R2+2*\sqrt { R3*R1 } +2*\sqrt { R1*R2 } -1=0\\ [/TeX]
[TeX](R4+R2)*(1+\sqrt { 2 } )\quad -\sqrt { 2 } =\quad 0\quad [/TeX]
Après c'est trop pour mes vieux neurones

Salut Ebichu,

Je ne me suis pas désintéressé du problème, mais ne suis pas allé au bout, de crainte des erreurs de calcul....

Soit C1 le grand cercle, C2 celui qui lui est diagonalement opposé, C3 celui en bas à gauche et C4 entre C2 et C3. Les 2 autres cercles sont inutiles pour la démo gràce à la symétrie.

On établit un repère orthonormé d'origine le coin bas gauche du carré. On donne à ce carré le coté 1 comme mesure. 

Soit Rx rayon du cercle x. Les équations sont établies en utilisant au maximum Rx plutôt que x ou y comme coordonnées des centres des cercles.

Les équations sont établies en définissant de 2 façons différentes les distances entre les centres des cercles :
- D'une part le carré des différences des x et y des coordonnées des centres des cercles.
- D'autre part, le carré de la somme des 2 rayons des 2 cercles concernés.

On aboutit alors à 5 équations à 5 inconnues

(1) : (R1-R3) ² + (1-R1-R3) ² = ( R1 + R3 ) ²
(2) : (R1 - 1 + R2) ² + (1 - R1 - R2) ² = (R1 + R2) ²
(3) : (R3 - x4) ² + (R3 - R4) ² = (R3 + R4) ²
(4) : (R1- x4 ) ² + (1 - R1 - R4 ) ² = ( R1 + R4 ) ²
(5) : ( 1 - R2 - x4 ) ² + ( R2 - R4) ² = (R2 + R4) ²

On note que seul x4 subsiste en coordonnée directe.

(2) donne la relation simple : R1 + R2 = 2 - V2

(1) donne la relation R3 = (1 - VR1) ²

(3) donne la relation x4 = R3 + 2 V(R3R4)

(4) donne la relation x4 = R1 + V( 2R1 + 2R4 - 1 ) le +, à arbitrer car l'une des 2 solutions du second degré, est donné par le dessin.

(5) donne la relation x4 = 1 - R2 - 2 V (R2R4), le - de 2 V... est donné par le dessin.

L'égalité des 2 premières expressions de x4, en remplaçant R3 par f(R1) dans la relation (1) permet de donner R1 en fonction de R4

R1 = ( ( 2 R4 + 1 + 3 VR4) / (4R4 + 1 + 4 VR4) ) ²

L'autre égalité issue de 2 autres expressions de x4 est malheureusement plus compliquée, elle permet d'établir une nouvelle relation entre R1 et R4. A moins d'une erreur.

@Bastidol : c'est mieux. Je ne comprends pas d'où vient la relation 1, il me semble qu'elle est fausse. La relation 2 est juste si tu remplaces "R2" par "R3". Les relations 3, 4, 5 sont correctes. Si tu te contentes des relations 2, 3, 4, 5, cela suffit et la première partie de l'énigme est finie

@golgot59 : pour l'instant c'est bon Tu en es au même point que les autres, il faudrait maintenant résoudre le système que tu as obtenu, et c'est là que les ennuis commencent...

Bonjour à tous

Ne te presse pas trop Ebichu , je n'ai eu aucun loisir pour chercher le problème et je pense avoir une approche légèrement différente de celles qui ont été proposées ( y compris la tienne ) .

A bientôt .

Vasimolo

J'ai fini par venir à bout du monstre

Je donne les rayons des cercles en ordre croissant pour un carré de côté 4 :
[TeX]\ [/TeX]
[TeX]a=4-2\sqrt{3}[/TeX]
[TeX]b=9-5\sqrt{2}-5\sqrt{3}+3\sqrt{6} [/TeX]
[TeX]c=3-\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}[/TeX]
[TeX]d=5-3\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{6}[/TeX]
Je suis parti d'un petit cercle de rayon 4 en laissant libre le côté du carré , les calculs sont extrêmement fastidieux . J'attends la solution d'Ebichu ou une autre plus éclairante . D'un autre côté les problèmes du style sangaku sont souvent très calculatoires et la solution rarement miraculeuse . Mais bon , j'adore ces petits problèmes qui demandent beaucoup d'attention et de précision ( j'ai trop tendance à rêver et à me laisser distraire ) .

Excellente année à tous

Vasimolo

Bravo Vasimolo ! Effectivement ça fait du bien, de temps en temps, des calculs bien bourrins...

Voici donc une solution détaillée.

Soient [latex]R_1<R_2<R_3<R_4[/latex] les rayons des 4 cercles. On obtient les relations suivantes (plusieurs personnes les ont observées, je ne reviens pas dessus) :

(1) [latex]R_3+R_4=2-\sqrt{2}[/latex]
(2) [latex]R_2+2\sqrt{R_2R_4}+R_4=1[/latex]
(3) [latex]R_2+2\sqrt{R_1R_2}+2\sqrt{R_1R_3}+R_3=1[/latex]
(4) [latex](R_2+2\sqrt{R_2R_4}-R_1)^2+(R_2+2\sqrt{R_1R_2}-R_4)^2=(R_1+R_4)^2[/latex]

On note alors a<b<c<d les racines carrées des rayons.

(2) donne [latex]b^2+2bd+d^2=1 \Leftrightarrow (b+d)^2=1 \Leftrightarrow b+d=1[/latex].

(4) donne [latex](b^2+2bd-a^2)^2+(b^2+2ab-d^2)^2=(a^2+d^2)^2[/latex] [latex]\Leftrightarrow (1-d^2-a^2)^2+(b^2+2ab-d^2)^2=(a^2+d^2)^2[/latex] [latex]\Leftrightarrow (b^2+2ab-d^2)^2=2(a^2+d^2)-1[/latex].

Résumons :

(1') [latex]c^2+d^2=2-\sqrt{2}[/latex]
(2') [latex]b+d=1[/latex]
(3') [latex]b^2+2ab+2ac+c^2=1[/latex]
(4') [latex](b^2+2ab-d^2)^2=2(a^2+d^2)-1[/latex]

On va alors, à l'aide de (1'), (2') et (4'), exprimer a, c et d en fonction de b. Puis on va reporter dans (3') pour avoir une équation à une seule inconnue, b.

(2') donne [latex]d=1-b[/latex]
(1') donne alors [latex]c=\sqrt{2-\sqrt{2}-(1-b)^2}[/latex]
Puis, dans (4'), on remplace d par (1-b), on développe, et il vient : [latex](2b^2-1)a^2+(4b^2-2b)a+b^2=0[/latex]. On résout cette équation du second degré en a, et on obtient [latex]a=\dfrac{b(2-\sqrt{2})}{\sqrt{2}-2b}[/latex].

Ainsi, en remplaçant a et c dans (3'), il vient l'équation suivante :
[TeX](8-4\sqrt{2})b^4+(-20+8\sqrt{2})b^3+(-6+12\sqrt{2})b^2+(-4\sqrt{2})b+1=0[/TeX]
Cette équation a le bon goût d'admettre deux racines "évidentes" (si vous avez de bons yeux, ou au moins une calculatrice graphique pour les observer sur la courbe) qui sont [latex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/latex] et [latex]1-\frac{\sqrt{2}}{2}[/latex]. Malheureusement, aucune ne peut convenir pour b.

Donc on factorise l'équation en [latex](8-4\sqrt{2})(b-\frac{\sqrt{2}}{2})(b-1-\frac{\sqrt{2}}{2})[b^2+(-2+\frac{\sqrt{2}}{2})b+\frac{\sqrt{2}}{4}]=0[/latex]

Voici encore une équation du second degré à résoudre. La racine pertinente vaut : [latex]b=1-\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{4}[/latex]

Il ne reste plus qu'à remonter cette valeur, et on obtient finalement :
[TeX]R_1=1-\frac{\sqrt{3}}{2}[/TeX]
[TeX]R_2=\frac{9-5\sqrt{2}-5\sqrt{3}+3\sqrt{6}}{4}[/TeX]
[TeX]R_3=\frac{3-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{4}[/TeX]
[TeX]R_4=\frac{5-3\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{6}}{4}[/TeX]

C'est un flash, ça m'a pris 10 secondes pour trouver le problème (et un peu plus pour le résoudre...). En fait je me suis dit : tiens, je vais faire un Sangaku. Bon, ben je vais mettre des cercles dans un carré, on va bien voir. J'en mets deux dans la diagonale, un troisième en haut à droite, et là je me dis : si je fais varier les tailles correctement, il doit y avoir moyen d'en faire rentrer un quatrième tangent à tout ce petit monde...

Bonne année à toi aussi !

Bientôt la galette, je connais quelqu'un qui va devoir reprendre du service...