Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 08-01-2018 21:52:56

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 751

un tas dr triangles équilatéraux + indice

Bonjour à tous.

Voici un problème trouvé dans la revue "Tangente" (qui le tient de "La Recherche", mais je n'en sais pas plus). Comme j'ai remarqué qu'il existe une démonstration élémentaire (compréhensible par un élève de seconde, mais pas forcément évidente à trouver), je me suis permis de vous le soumettre.

http://www.prise2tete.fr/upload/Ebichu-trequi.png

Les quatre triangles rouges sont équilatéraux, peu importent leurs dimensions ou orientations. Les points J, K et L sont les milieux respectifs de [DI], [EF] et [GH].

Démontrer que le triangle JKL est équilatéral.

INDICE : Spoiler : [Afficher le message] http://www.prise2tete.fr/upload/Ebichu-hommemystere.jpg



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 10-01-2018 22:41:39

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

un tas de triangles équilatéraux + indoce

Bonsoir Ebichu

Je n'ai pas de réponse complète mais il est clair que si on se donne le triangle ABC et deux des points  J, K et L alors le troisième point s'impose ( quelque soit la position des trois autres triangles ) . Il reste à trouver pourquoi JKL est équilatéral smile

Vasimolo

 #3 - 10-01-2018 23:03:27

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 751

Un tas de triangles équilatéraux + INNDICE

@Vasimolo : je suis d'accord avec ton affirmation, mais ça ne me paraît pas "clair" ; en y réfléchissant 5 minutes, je ne vois pas comment je pourrais la démontrer autrement qu'en démontrant le problème initial.

En tous cas la remarque est intéressante, et je te souhaite de réussir à en tirer une solution.

 #4 - 11-01-2018 08:57:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3555

un tas de rriangles équilatéraux + indice

Je ne sais pas par quel bout le prendre pour l'instant....

 #5 - 11-01-2018 09:58:16

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 751

Un tas de trriangles équilatéraux + INDICE

@nodgim : j'ai aussi mis un bon bout de temps avant de voir comment aborder ce problème. Je laisse encore un peu de temps, puis je mettrai un indice. Simplement savoir quel outil utiliser devrait suffire.

 #6 - 11-01-2018 12:31:16

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Un tas de triangles équilatérraux + INDICE

Voilà le raisonnement que j'ai suivi :

On suppose donnés les points [latex]A,B,C,K \text{ et } L[/latex] ( le triangle [latex]ABC[/latex] n'a même pas besoin d'être équilatéral  ) . On note alors [latex]r_O[/latex] la rotation de centre [latex]O[/latex] d'angle 60 ° ( sens trigo ) et [latex]s_O[/latex] la symétrie de centre [latex]O[/latex] .

En ajoutant les angles on obtient que [latex]s_J\circ r_A \circ s_L \circ r_C \circ s_K \circ r_B[/latex] est une translation . Cette translation n'est autre que l'identité car [latex]D[/latex] en est un point fixe . On a donc [latex]s_J=r_A \circ s_L \circ r_C \circ s_K \circ r_B[/latex] et [latex]J[/latex] est parfaitement défini sans avoir recours aux trois petits triangles .

Le travail n'est pas fini mais ne donne pas d'indice , j'aime bien chercher dans tous les sens comme un chien fou lollollol

Vasimolo

 #7 - 11-01-2018 15:16:27

LeJeu
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 19
Messages : 17

un tas de triangles équilatérzux + indice

Bonjour les champions !

j'entrevois bien que la solution qui pour l'instant échappe à Vasimolo et à  Nodgim est définitivement hors de portée pour moi..

Néanmoins, petit colibri, je fais ma part de travail...

j'ai trouvé sur www.ilemaths.net le problème sous une forme " dégénérée" : le premier triangle est un point , et les trois autres ont même coté :

"Si ABCDEF est un hexagone inscrit dans un cercle C(0,R), de sorte que AB=CD=EF=R, alors les milieux respectifs P,Q,R des segments [BC],[DE],[FA], sont les sommets d'un triangle équilatéral. "

http://www.prise2tete.fr/upload/LeJeu-forum_96461_1.gif

Et déjà les solutions proposées ne sont pas triviales :
- une en passant par les nombres complexes : https://www.ilemaths.net/sujet-triangle … 96461.html
- l'autre en passant par  AlKashi : https://www.ilemaths.net/sujet-nombres- … 96395.html

Je suis impatient de vous lire, pour savoir comment aborder le cas général

Salutations

 #8 - 11-01-2018 16:45:23

LeJeu
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 19
Messages : 17

Un tas de triangles équilatéraux + IDNICE

Ceci-dit,il me semble que

1) si on monte que la proposition est vraie pour un triangle de départ( celui qui touche les 3 autres)  de taille nulle, alors par une sorte "d'expansion" , on doit pouvoir montrer "facilement ?" qu'elle sera encore vraie pour un premier  triangle de taillle non nulle ?

2)De là, une idée serait de partir de la forme dégénérée précédente, et de  montrer que la proposition est toujours vraie quand  les trois triangles  ne sont plus égaux, en dessinant par exemple trois triangles égaux à l'intérieur ( la taille du plus petit par exemple)

Un premier dessin semble confirmer que la proposition 2 est  une bonne piste

http://www.prise2tete.fr/upload/LeJeu-troistriangles.jpg
les trois triangles de départ  sont
ABC ADE AFG

on dessine ABC AHI AKJ
c'est le cas dégénéré de mon post précédent
donc LMN est equilatéral

on trace le triangle final POQ
ne "reste plus " à démontrer que les cotés sont bien parallèle à LMN
et donc que POQ est bien équilatéral

Je sais , ça fait beaucoup de supposition.... toutes mes excuses.. je n'ai pas la possibilité à l'instant d’approfondir....

[Edit]Après approfondissement  tout faux.. les cotés des deux triangles ne sont pas du tout parallèles dans le cas général,  mon dessin était un cas particulier

 #9 - 11-01-2018 18:04:07

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 751

un tas de triangles équilatéraux + infice

@Vasimolo : ça me coupe la chique, j'aurais été bien incapable d'imaginer ce joli raisonnement. Dommage que ça ne permette pas (encore ?) de conclure. Bien sûr, je ne donnerai pas d'indice tant que tu seras encore en train de chercher.

@LeJeu : c'est effectivement une version dégénérée de ce problème. Par conséquent, ma démonstration s'adapte très bien à la version dégénérée, et elle est bien plus élémentaire que les deux solutions auxquelles tu fais référence.

Pour ton deuxième message, c'est une idée, mais pour l'instant il n'est pas certain que cela suffise à conclure. Il faut creuser, bon courage.

 #10 - 13-01-2018 22:36:47

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1461
Lieu: Coutiches

Un tas de triangles équilatéarux + INDICE

Salut !

Bon, après des heures de recherche infructueuses, j'ai décidé d'employer la grosse cavalerie : La géométrie complexe.
Alors on choisi pour repère orthonormé directe (A, AB->, le vecteur qui va bien)
Alors : zA = 0 et zB = 1 et zC = e^(iπ/3)
On choisi comme variable zF, zD et zH.
On obtient par rotation complexe :

zG = (zF-zC)e^(iπ/3)+zC = (zF-e^(iπ/3))e^(iπ/3)+e^(iπ/3)
     = zF.e^(iπ/3)-e^(i2π/3)+e^(iπ/3) = zF.e^(iπ/3)-e^(i2π/3)+e^(iπ/3)
     = zFe^(iπ/3)+1
zE = (zD-zB)e^(iπ/3)+zB = (zD-1)e^(iπ/3)+1 = zD.e^(iπ/3)-e^(iπ/3)+1
    = zD.e^(iπ/3)+e^(-îπ/3)
zI = (zH-zA)e^(iπ/3)+zA = zH.e^(iπ/3)

zK = (zF+zE)/2 = .5[zF+zD.e^(iπ/3)+e^(-iπ/3)]
zJ = .5[zD+zH.e^(iπ/3)]
zL = .5[zH+zF.e^(iπ/3)+1]

reste à calculer les longueurs :

2.LK = |zF+zD.e^(iπ/3)+e^(-iπ/3)-zH-zF.e^(iπ/3)-1|
       = |zD.e^(iπ/3)+zF.e^(-iπ/3)-zH+e^(-i2π/3)|
2.KJ = |zD+zH.e^(iπ/3)-zF-zD.e^(iπ/3)-e^(-iπ/3)|
       = |zD.e^(-iπ/3)-zF+zH.e^(iπ/3)+e^(2iπ/3)|
       = |e^(-i2π/3)||zD.e^(iπ/3)-zF.e^(i2π/3)+zH.e^(3iπ/3)+e^(4iπ/3)|
       = |zD.e^(iπ/3)+zF.e^(-iπ/3)-zH+e^(-2iπ/3)|
2.JL = |zH+zF.e^(iπ/3)+1-zD-zH.e^(iπ/3)|
       = |zD.e^(iπ)+zF.e^(iπ/3)+zH.e^(-iπ/3)+1|
       = |e^(i2π/3)||zD.e^(iπ/3)+zF.e^(-iπ/3)+zH.e^(-i3π/3)+e^(-i2π/3)|
       = |zD.e^(iπ/3)+zF.e^(-iπ/3)-zH+e^(-i2π/3)|

Donc JL = KJ = LK, JLK est équilatéral

Je suis quand même bien déçu de ne pas avoir trouvé l'astuce qui évite ces calculs laborieux. hmm

 #11 - 14-01-2018 00:05:34

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 751

Un tas de triangles équilatéraux + NIDICE

@golgot59 : bravo ! Effectivement, c'est un peu bourrin, mais ça marche smile

La démo de Tangente utilisait la même "grosse cavalerie", d'une manière un peu différente. Je comprends ta frustration, car si ces méthodes calculatoires sont efficaces, à la fin, on n'a pas toujours l'impression d'avoir compris ce qui fait que ça fonctionne. C'est du fait de ce sentiment que j'ai cherché une démonstration plus éclairante.

 #12 - 14-01-2018 11:01:53

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

un tas de triangled équilatéraux + indice

Je n'ai pas renoncé à une démonstration géométrique mais pour me rassurer j'en ai fait une avec les complexes . Ca marche bien , ce n'est pas compliqué , mais ça n'explique rien du tout smile

On note 0 ,1 , r les affixes des points A, B , C et d , e , f , g , h , i ceux des points D , E , F , G , H , I . Quelques calculs élémentaires nous donnent :
[TeX]\\[/TeX]
[TeX]2(k-j)=(r-1)d+f-rh+1-r[/TeX]
[TeX]2(l-k)=-rd+(r-1)f+h+r[/TeX]
[TeX]2(j-l)=d-rf+(r-1)h-1[/TeX]
Comme [latex]r^2=r-1[/latex] , les trois côtés du triangle [latex]JKL[/latex] sont égaux .

Vasimolo

PS : j'ai réussi à réduire le problème initial mais je n'ai pas de réponse à cette réduction évitant les complexes ou les coordonnées , à suivre ...

 #13 - 14-01-2018 13:44:06

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 751

un tas de yriangles équilatéraux + indice

@Vasimolo : TB, golgot59 a utilisé le même outil que toi. Tu me diras quand je pourrai lâcher l'indice, il faut bien faire avancer le schmilblick...

 #14 - 14-01-2018 18:09:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

un tas de triangles équolatéraux + indice

Le week-end se termine et j'aurai peu de temps libre la semaine prochaine , il me semble que tu peux donner un indice smile

Vasimolo

 #15 - 14-01-2018 19:12:06

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 751

un tas de trianfles équilatéraux + indice

OK, c'est parti big_smile

Voici un premier indice pour donner l'outil à utiliser. Si ça ne suffit pas, j'en donnerai un deuxième dans deux jours.

 #16 - 14-01-2018 19:52:09

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,814E+3

un tas de triangles équilatéraux + induce

Bonsoir,

une petite réponse vectorielle assez simple...

En partant des milieux du triangle équilatéral du centre, pour arriver au sommets du triangle pointillé bleu, par construction du milieu, j'obtiens la demi-somme des vecteurs représentés.

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-destrianglesPNG.png

Pour aller de L à J , on effectue (sans m'embêter avec les flèches vectorielles, mais tout est orienté) :

( b' - b - a' - a ) / 2   puis x  puis ( b + b' + c - c') / 2

Ce qui équivaut à :   ( 2b' - a - a' + c - c ' ) / 2  +x

Pour aller de L à K, on effectue :

( b' - b - a' - a ) / 2   puis y  puis ( c + c' + a - a' ) / 2

Ce qui équivaut à :   ( c + c' - b + b'  - 2a' ) / 2 + y


Maintenant, si par hasard on essayait d'opérer une petite rotation de 60° des premiers déplacements dans le sens trigo :

On a  :  ( 2b' - a - a' + c + c ' ) / 2  +x

C'est assez simple dans chaque triangle équilatéral :

Par rotation, x devient y,  ( -a - a' ) devient ( -2a' )  et ( c - c' ) devient ( c+ c' ) et ( 2b' )  devient ( b' - b )

Après rotation ( 2b' - a - a' + c - c ' ) / 2  +x  devient ( c + c' - b + b' - 2a' ) / 2 + y

Les deux déplacements sont identiques par une rotaion de 60° , on a un triangle équilatéral.

 #17 - 14-01-2018 20:43:04

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 751

Un tas de triangles équilatérauux + INDICE

@gwen27 : tout à fait, bravo big_smile

C'est le principe de ma démonstration. Il y a moyen de la présenter encore plus simplement en choisissant d'autres vecteurs, mais l'essentiel est là.

 #18 - 14-01-2018 21:28:11

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,814E+3

Un tas de trianlges équilatéraux + INDICE

Oups, effectivement, j'aurais pris les côtés des triangles, ça aurait été plus simple...

 #19 - 14-01-2018 21:42:40

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 751

Un tas de triangles équilatéraux + INDICCE

Oui smile

 #20 - 15-01-2018 11:01:21

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Un tas de triangles équilatéraux + NIDICE

C'est marrant j'avais essayé plein de combinaisons avec Chasles sans aucun succès .
[TeX]2.\overrightarrow{LK}= \overrightarrow{LG}+\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{FK}+\overrightarrow{LH}+\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EK}[/TeX][TeX]2.\overrightarrow{LK}= \overrightarrow{GF}+\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}[/TeX]
On note [latex]R[/latex] la rotation vectorielle d'angle 60° dans le sens direct :
[TeX]R(2.\overrightarrow{LK})= \overrightarrow{CF}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{IF}+\overrightarrow{DE}[/TeX][TeX]R(2.\overrightarrow{LK})= (\overrightarrow{IF}+\overrightarrow{DE})+(\overrightarrow{JI}+\overrightarrow{JD})+(\overrightarrow{EK}+\overrightarrow{FK})[/TeX][TeX]R(2.\overrightarrow{LK})= (\overrightarrow{JI}+\overrightarrow{IF}+\overrightarrow{FK})+(\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EK})=2.\overrightarrow{JK}[/TeX]
Et [latex]JKL[/latex] est équilatéral .

Vasimolo

 #21 - 15-01-2018 11:07:14

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 751

un tas de triangles équilztéraux + indice

@Vasimolo : bravo smile Son regard sévère aura su te motiver...

 #22 - 17-01-2018 18:59:40

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 751

un tas de triangles équilatéraux + insice

C'est terminé, merci aux courageux participants. Je vous livre ma façon de voir les choses, très proche de la méthode de Vasimolo.

On commence par démontrer à l'aide de la relation de Chasles (je passe les détails) que [latex]\vec{LK}[/latex] s'écrit comme la moitié d'une somme de 4 vecteurs, chacun porté par un côté d'un des 4 triangles équilatéraux :
[TeX]\vec{LK}=\frac{1}{2}(\vec{HA}+\vec{AB}+\vec{BE}+\vec{GF})[/TeX]
http://www.prise2tete.fr/upload/Ebichu-trequi2.png

De même, on peut écrire :
[TeX]\vec{LJ}=\frac{1}{2}(\vec{GC}+\vec{CB}+\vec{BD}+\vec{HI})[/TeX]
http://www.prise2tete.fr/upload/Ebichu-trequi3.png

Les 4 triangles de départ sont équilatéraux, donc [latex]\vec{GC}[/latex], [latex]\vec{CB}[/latex], [latex]\vec{BD}[/latex] et [latex]\vec{HI}[/latex] sont les images de respectivement [latex]\vec{GF}[/latex], [latex]\vec{AB}[/latex], [latex]\vec{BE}[/latex] et [latex]\vec{HA}[/latex] par une rotation d'angle 60° dans le sens indirect.

On en déduit que [latex]\vec{LJ}[/latex] est l'image de [latex]\vec{LK}[/latex] par une rotation d'angle 60°, le triangle JKL est donc équilatéral.

 #23 - 17-01-2018 22:08:13

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Un tas de triangles équilatérauxx + INDICE

C'est clair , mais il faut avoir un œil d'aigle pour voir que la somme des rouges vaut deux bleus smile

Bravo à toi !!!

Vasimolo

 #24 - 18-01-2018 00:13:59

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1461
Lieu: Coutiches

Un tas de triangles équilatérraux + INDICE

Ohhhh !
Très joli, et effectivement assez simple une fois qu'on l'a vu ! smile
(Mais pas sûr que mes secondes suivraient tous le raisonnement...)

Magnifique ! cool

 #25 - 18-01-2018 19:41:49

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 751

Un tas d triangles équilatéraux + INDICE

Il faut dire que j'ai eu de la réussite de tomber sur cette démo, je bricolais avec les vecteurs un peu au hasard quand j'ai eu l'illumination. C'est le genre de truc impossible à voir, mais qui éclaire merveilleusement le problème.

J'ai un peu peur que le gâteau 149 soit du même tonneau, d'y passer des semaines avant que n'émerge une démo élémentaire, mais bon, c'est le jeu, c'est un peu à cette drogue que l'on fonctionne smile

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Pim, Pam et ?

Sujets similaires

Sujet Date Forum
P2T
Triangles en folie par Milou_le_viking
26-11-2009 Enigmes Mathématiques
P2T
Les triangles sympas par SamChiffone
14-10-2012 Enigmes Mathématiques
P2T
Triangles par Anapurna
19-09-2009 Enigmes Mathématiques
P2T
07-12-2007 Enigmes Mathématiques
P2T
Dessiner des triangles par titoufred
28-06-2013 Enigmes Mathématiques
P2T
08-12-2012 Enigmes Mathématiques
01-11-2018 Enigmes Mathématiques
P2T
Triangles par bilbo123
24-09-2016 Enigmes Mathématiques
10-02-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
Des triangles ..... par gabrielduflot
21-04-2009 Enigmes Mathématiques

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete