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 #1 - 02-11-2007 22:59:58

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

de retout du marché (par sam loyd)

Simon dépensa la moitié de son argent au marché. Pendant son retour, Simon s'aperçût qu'il avait maintenant autant de centimes qu'il avait d'euro auparavant, et le nombre d'euro qu'il a maintenant est la moité du nombre de centimes qu'il avait en partant.
Combien a-t-il dépensé ?

PS: la solution n'est pas 0 euro, 0 centime (qui serait une solution mathématiquement valable, mais Simon n'est pas pauvre, et il n'est pas seulement allé au marché pour regarder).
______________________________
Bonne reponse de FSRom1



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 #2 - 03-11-2007 12:10:55

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

de retour du marché (pzr sam loyd)

Comme j'arrive à la solution qu'il avait 0.00€ au départ, je suppose que j'ai fait une erreur, mais bon je poste quand même puisque la solution est mathématiquement juste...

Soit X1 le nombre d'euros qu'il avait au départ et Y1 le nombre de centimes. La somme de départ est 100X1+Y1 centimes.
A l'arrivée, il a 100X1/2+Y1/2 cts.
De plus, Y1/2 = X1 (il a autant de centimes qu'il avait d'euro)
Et X1/2 = Y1/2 (le nombre d'euro est la moitié du nombre de centimes qu'il avait)
Donc X1 = 0 et Y1 = 0

 #3 - 05-11-2007 11:52:43

FSRom1
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 74

de retour du marché (par szm loyd)

Spoiler : Ma réponse
Simon a dépensé 49,99 euros.

On note repectivement e1 et e2 le nombre d'euros et c1 et c2 le nombre de centimes que Simon possède avant et après ses achats au marché.

Avant le marché il a (en centimes): 100 e1 + c1 (avec 0 ≤ c1 < 100)
Après le marché il a (en centimes): 100 e2 + c2 (avec 0 ≤ c2 < 100)

D'après l'énoncé, on a les équations suivantes:
100 e1 + c1  = 200 e2 + 2 c2
e1=c2
e2=c1/2


En injectant les deux dernières dans la première, il vient: 98 e1 = 99 c1
98 et 99 sont premiers entre eux (en effet, 99-98=1 et le thèorème de Bezout fait le reste), ainsi l'application du théorème de Gauss à l'équation précédente nous permet de déduire que:
98 divise c1, autrement dit c1 est un multiple de 98

Or 0 ≤ c1 < 100.
Donc soit c1 = 0 (solution rejetée car elle conduit à e1=c1=0) soit c1=98. Il s'ensuit que e1= (99*c1)/98=99.

Simon avait donc 99,98 euros avant d'aller au marché et en a dépensé la moitié soit 49,99 euros

 #4 - 20-05-2014 14:09:37

BBA43
Visiteur

de retour du marvhé (par sam loyd)

EfCeBa était sur la bonne voie mais s'est arrêté en chemin...

Soient donc e et c les Euros et Centimes que Simon possède en allant au marché.

- Si e est pair, il lui reste après ses achats e/2 Euros et c/2 centimes. Les indices donnés dans l'énoncé se traduisent donc par :
          c/2=e
et       e/2=c/2
qui a la solution triviale 0,00 à laquelle aboutit EfCeBa.

- Si e est impair, il lui reste en revenant du marché (e-1)/2 Euros et c/2+50 centimes puisqu'il a fait de la monnaie en dépensant ses Euros. L'énoncé se traduit alors par :
         c/2+50=e
et      (e-1)/2=c/2
qui donne e=99 et c=98

Un peu plus basique que la solution d'FSRom1, mais tout aussi rigoureux je pense.

 #5 - 20-05-2014 21:15:39

Evargalo
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 7

De retour du maarché (par Sam Loyd)

Spoiler : [Afficher le message] Simon a dépensé 49€99 au marché:

L'énoncé revient à chercher x et y dans [0;99] non tous nuls tels que:
(100x+y)/2 = 100y/2 + x,
c'est-à-dire: 98 x = 99 y,
puis x=99 et y=98.

Je doute que Sam Loyd ait employé des euros !

 

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