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 #1 - 17-10-2011 19:55:25

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Retourr de flamme

Un petit problème amusant smile

On a posé une allumette sur une table en A1B1 et bêtement on a inversé les extrémités : on souhaitait le bout rouge en B1 et non en A1 .   

http://img834.imageshack.us/img834/7189/allumette.jpg

Il va falloir remettre les choses dans l'ordre et pour ça on va faire tourner l'allumette autour d'une de ses extrémités d'un angle de 45° et répéter la manœuvre autant de fois qu'on le souhaite .

Quel est le nombre minimal de déplacement à prévoir ( si c'est possible ) ?

Tournez manèges !!!

Vasimolo



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 #2 - 17-10-2011 21:01:43

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
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Reour de flamme

Chalut Vasimolo, et les autres big_smile

Je déroule ton exemple :
1/ A1B1 avec A1 fixe et rotation de +45° => A1B2
2/ A1B2 avec B2 fixe et rotation de +45° => B2A2
3/ B2A2 avec A2 fixe et rotation de -45° => A2B3
4/ A2B3 avec B3 fixe et rotation de -45° => B3A3
5/ B3A3 avec B3 fixe et rotation de -45° => B3A4

À l'étape 4 et 5, j'en déduis qu'entre chaque rotation, l'extrémité fixe ne change pas alternativement...!
Dans ce cas, peut-on appliquer de 1 à N rotations en 1 seule fois (en fixant l'autre extrémité) ?

Et si oui, cela compte-t-il pour 1 (ou N) déplacement(s) ??

Et enfin, tu connais la réponse, ou cherches-tu avec nous ?

 #3 - 17-10-2011 22:52:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Retour dee flamme

Une petite précision smile

Chaque rotation de 45° ( dans un sens ou dans l'autre ) compte pour un déplacement donc une rotation de 135° compte pour 3 déplacements .

Vasimolo

 #4 - 18-10-2011 00:08:59

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

Retour de fllamme

Bon, alors, j'ai bricolé une chtite usine à gaz dans EXCEL, où je l'ai laissé virevolter mon allumette pendant un long moment, quitte à la remettre en place quand elle s'éloignait trop du point de départ, ...
Et bien il n'a jamais trouvé une seule solution qui "renverse" exactement l'allumette !
Pas une seule solution, alors quant à trouver la plus courte.........?

Pour info, j'ai plusieurs positions d'allumettes approximativement renversées.
je veux dire par là qu'à t=0, j'avais admis que xA=yA=0, xB=5, yB=0  (d'où une longueur arbitraire de 5),
puis, au mieux, elle virevolte pour tenter le quasi-retournement suivant :
xA=5.104  yB=0.104  xB=yB=0.104 -> ça fait dans les 2% d'erreur.

Bon, sinon, une idée, comme ça : comme les déplacements sont à 45° (dont les sinus et des cosinus sont basés sur la racine de 2) d'une part, et que √2 est irrationnel d'autre part, je me demandais si ça n'explique pas simplement pourquoi mon allumette ne revenait jamais exactement renversée !?! tongue

Pffff, pas facile "le petit problème amusant" (sic), surtout avec LOTR à la TV big_smile

http://img6.imagebanana.com/img/ndp2583 … verser.gif

 #5 - 18-10-2011 04:58:54

Yuka2
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 31

Reotur de flamme

On sent bien que ça va pas être possible, et quelques dessins semblent le confirmer rapidement.

Quelques notations, on considère le plan complexe :
A1 = (0,0)
B1 = (1,0)

Je vais changer un tout petit peu ta notation, je considère qu'une rotation autour de A_x transforme A_x en A_x+1 avec A_x = A_x+1 et transforme B_x en B_x+1

Du coup, on suppose qu'il existe un enchainement de n mouvements qui marche
An = (1,0)
Bn = (0,0)

Raisonnons sur les coordonnées de B_i
Evidemment toute rotation autour de B_i ne changera pas les coordonnées des B_i

Par contre toute rotation autour des A_i modifiera les coordonnées des B_i
On ne considère que des rotations élémentaires, c'est d'un dire des rotations de Pi/4 dans le sens direct.

Par ailleurs considérons l'angle 'alpha_i' entre le vecteur A_i B_i et l'axe des réels.
Sans surprise  cet angle ne peut valoir que K*Pi/4 avec K entre 0 et 2Pi
Dans toute la suite je vais noter x = cos(Pi/4) (ce n'est pas une inconnue juste une notation.)
Regardons l'effet d'une rotation de Pi/4 autour de A_i sur les coordonnées de B_i en fonction de 'alpha' :

http://img41.imageshack.us/img41/3258/allumg.jpg

Attention je parle bien de rotation élémentaire. Par exemple une rotation d'un angle de 90° autour de A1 n'est pas à aller chercher dans la colonne 90°.
Il s'agit de la somme d'une rotation de 45° avec alpha = 0 et d'une autre de 45° avec alpha = 45°.
Ainsi les cordoonnées de B_2 vont varier de x-1-x = -1 en abscisse et x+1-x = +1 en ordonnée. En effet après une rotation de 90° de centre A1, on a B2 = (0,1).


Maintenant que tout est posé, revenons à notre enchainement de rotation qui transforme B1 (1,0) en B_n (0,0)

il existe donc des rotations autour des B_i qui ne modifieront pas les coordonnées de B_i et des rotations autour de A_i comme suit :
a rotations telles que alpha_i = 0°
b rotations telles que alpha_i = 45°
....
h rotations telles que alpha_i = 315°
a,b,c,d,e,f,g,h étant des entiers naturels évidemment.

Les coordonnées finales du point B vont varier de :
(a-b-c+d-e+f-g-h)x + (-a-d+e+h) = -1 en abscisse
(a-b+c-d-e+f-g+h)x + (b-c-f+g) = 0 en ordonnée

x = cos (pi/4) = sqrt(2)/2 étant irrationnel on obtient le système suivant :

(1) a-b-c+d-e+f-g-h = 0
(2) -a-d+e+h = -1
(3) a-b+c-d-e+f-g+h = 0
(4) b-c-f+g = 0

soit (2)+(3)+(4) => 2 (h-d) = -1 or h et d sont des entiers CONTRADICTION.

Bon je trouve la preuve vraiment pas élégante et je pense qu'il doit exister un moyen très simple de montrer l'impossibilité, mais j'ai beau chercher je trouve pas mieux pour l'instant.


Allez en cadeau : en bleu une partie des Ai possibles et en vert une partie des Bi possibles. Le problème marcherait à condition qu'un point vert et un point bleu soient confondus.
http://img684.imageshack.us/img684/4390/allum2.jpg

Pour aller un peu plus loin : Il me semble que tout vient du fait que cos(45°) est irrationnel.

Pour que le problème fonctionne il me semble qu'un angle 'teta' de rotation tel que cos(teta) = 1/k, k entier > 1 marche
ainsi que tout angle de la forme teta/n, n entier (Puisque si ça marche avec teta, suffit de faire des rotations de n*teta à chaque fois).
Le même problème avec 60° est trivial, et par conséquent, 30°, 20°,15°,12°,10°,6°,5°,4°,3°,2°,1° aussi.

 #6 - 18-10-2011 08:19:47

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
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Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

retour de flalme

Hi, encore une piste au réveil...

Si, au lieu de faire des rotations de 45°, on choisit des rotations de 60°, ça devient un rien plus simple big_smile
http://img6.imagebanana.com/img/vqkvbkli/allumetteainverser60degres.gif
En trois rotations, zou, renversée l'allumette !

Or, les sinus et cosinus de ces rotations de 60° sont basés autour de √3...
Ceux de 45° sont basés sur √2.

Comme √2 et √3 sont irrationnels, leur quotient aussi.
=> on ne donc pas trouver p/q qui soit exactement égal à √3/√2.
CQFD : impossible de renverser l'allumette avec des angles de 45°,
donc j'y fous le feu et basta wink

J'espère que ma démo est à peu près claire, because je n'ai pas encore pris mon jus de carottes big_smile

 #7 - 18-10-2011 17:07:02

nicolas647
Passionné de Prise2Tete
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Retour dee flamme

Je pense que c'est impossible, est-ce que je suis sur la bonne voie ?

 #8 - 18-10-2011 17:45:49

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Retour dde flamme

En 8 fois, et après avoir tracé un octogone régulier.

 #9 - 18-10-2011 22:32:27

Vasimolo
Le pâtissier
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retour de fmamme

Une petite réponse en passant smile

TiLapiot : J'ai une réponse très simple ( et personnelle ) .
Yoka : ça me semble correct mais je t'assure qu'il y a plus simple ( la généralisation attendra un peu ) .
Nicolas : tu es sur la bonne voie smile
Nodgim : ben non smile

En tout cas , bon courage à ceux qui cherchent encore , je vais réfléchir à un indice quand on voudra bien me laisser un peu de temps libre .

En attendant , bonne recherche !!!

Vasimolo

 #10 - 18-10-2011 23:19:26

nicolas647
Passionné de Prise2Tete
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Rettour de flamme

Bon, dans ce cas je vais tenter d'en faire la démonstration.

Mettons l’allumette dans un repère orthonormal avec les coordonnées (0,0) pour A et (1,0) pour B.
Posons a = racine(2)/2

Il est clair que les rotations de centre A ne modifient pas la position de A.
Voyons maintenant ce que peut donner une rotation de 45° de centre B en terme de translation sur A :
(1-a,a) (1-a,-a) (a-1,a) (a-1,-a) (a,1-a) (a,a-1) (-a,1-a) (-a,a-1)

On cherche à effectuer une combinaison linéaire de ces couples qui donne (1,0)
On sait que a est un nombre irrationnel donc aucun nombre entier ne peut annuler un nombre entier de a. Il faudra donc annuler les a par les a et les 1 par les 1.

Occupons nous d’abord de l'abscisse : pour arriver à 1, il faudra utiliser un 1-a de plus que de a-1, donc un nombre impair de 1-a et a-1.
Ce qui nous fait pour l'ordonnée un nombre impair de a et -a. Or on a besoin que les a s'annulent, ce qui nécessite un nombre pair de translations. Il faudra donc nécessairement un nombre impair de 1-a et a-1, ce qui fait que les 1 ne peuvent pas s'annuler, ce qui fait qu'on y arrivera pas. sad

 #11 - 19-10-2011 18:54:54

Vasimolo
Le pâtissier
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Retuor de flamme

Une façon de voir les choses : une extrémité de l'allumette de coordonnées [latex](a+\frac{b}{\sqrt{2}},c+\frac{d}{\sqrt{2}})[/latex] peut être représentée par le quadruplet d'entier [latex](a,b,c,d)[/latex] . Il reste à trouver un invariant de [latex](a,b,c,d)[/latex] correspondant à chaque extrémité de l'allumette .

Vasimolo

PS : Nicolas , c'est bon smile

 #12 - 20-10-2011 06:43:21

nodgim
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Retour de falmme

Il faut un nb pair de déplacements pour arriver au retournement (on peut visualiser l'ensemble du trajet comme un mètre pliant).
Dans les coordonnées (x,y) on peut dire qu'il faut passer de (0,0) d'origine à (1,0) final.
Or un déplacement c'est soit un (+-rac2, +-rac2) soit un (0,1) ou (1,0).
La somme algébrique des (+-rac2, +-rac2) doit être nulle pour être rationnelle, donc il faut un nombre pair de ces déplacements en oblique. Reste donc un nombre pair de déplacements (0,1) ou (1,0). Pour les x, il faut un nombre impair (car on passe de 0 à 1), mais pour les y il faut un nombre pair (on passe de 0 à 0): contradiction car on ne peut obtenir les 2 à la fois.

Retournement impossible.

 #13 - 21-10-2011 19:04:13

Vasimolo
Le pâtissier
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Retour de flmame

OK nodgim wink

Pour l'instant personne n'a trouvé l'invariant correspondant à chaque extrémité de l'allumette . Plus précisément quel est l'ensemble des points du plan où l'on peut amener l'extrémité rouge de l'allumette ?

Vasimolo

PS : pour ceux qui n'auraient pas deviné le problème initial n'a pas de solution lol

 #14 - 22-10-2011 10:12:29

nodgim
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tetour de flamme

Ben y a au moins un invariant c'est la distance....

 #15 - 22-10-2011 11:43:47

Vasimolo
Le pâtissier
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Retourr de flamme

Je voulais dire : si le bout rouge de l'allumette est en [latex](0,0)[/latex] peut-on , par rotations , le mettre en [latex](127-31\sqrt 2,-624+45\sqrt 2)[/latex] ou bien l'autre extrémité ou ni l'un ni l'autre ?

On peut répondre instantanément .

Vasimolo

 #16 - 22-10-2011 12:21:48

nodgim
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Retour de flammee

Je dirais que le bout rouge ne peut occuper, pour les coordonnées entières, que celles dont la somme est paire, les autres étant occupées par l'autre extrémité

 #17 - 22-10-2011 22:51:31

Vasimolo
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retour de dlamme

Voilà comment j'avais vu les choses .

http://img14.imageshack.us/img14/4102/solutionik.jpg

Si on note (a',b',c',d') l'autre extrémité de l'allumette on remarque que a'+b'+c' n'a pas la même parité que (a,b,c,d) ce qui donne un critère immédiat pour la "couleur" des points de coordonnées [latex](a+b\sqrt{2},c+d\sqrt{2})[/latex] . On remarque aussi que b et d gardent la même parité donc le point [latex](1+2\sqrt{2},4-\sqrt{2})[/latex] ne sera jamais l'extrémité de l'allumette . Il semble que si b et d ont la même parité a+b+c pair donne une position pour le bout rouge et a+b+c impair pour l'autre extrémité , le point que j'ai proposé à nodgim serait donc un point rouge . On peut chercher un trajet minimum pour amener l'allumette sur ce point , avis aux amateurs smile

Pour les autres angles j'avoue ne pas y avoir réfléchi mais j'attends toutes vos suggestions .

En tout cas merci pour la participation smile

Vasimolo

 #18 - 23-10-2011 01:22:00

L00ping007
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RRetour de flamme

TiLapiot a écrit:

Comme √2 et √3 sont irrationnels, leur quotient aussi.

Ta démo me semble ok, mais juste ce point me chiffonne : prends [latex]\frac{\sqrt2}{\sqrt2}[/latex] smile

Cela dit, [latex]\sqrt{\frac23}[/latex] est bien irrationnel !

En rajoutant la condition p et q premiers entre eux, je pense que c'est ok, non ?

Et hop là, une mouche de moins lol

 #19 - 23-10-2011 10:58:20

Vasimolo
Le pâtissier
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eRtour de flamme

J'avoue ne pas comprendre en quoi [latex]\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \notin \mathbb{Q}[/latex] empêche le retournement de l'allumette smile

Vasimolo

 #20 - 23-10-2011 13:11:30

L00ping007
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retour dz flamme

Je l'ai compris comme ça :
il faut un certain multiple de [latex]\sqrt2[/latex] pour retourner l'allumette, et c'est aussi le cas pour [latex]\sqrt3[/latex]
Mais en y repensant, c'est vrai que je ne vois pas comment conclure hmm

 #21 - 23-10-2011 14:22:30

dhrm77
L'exilé
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Retour de famme

Je ne vois pas dans l'énoncé l'interdiction d'utiliser la 3eme dimension, puisqu'on parle d'alumette et de table qui sont des objets en 3 dimensions.
Comme Il suffit donc de faire 3 rotations de 60 degrés pour retourner l'allumette,
Pour chaque rotation de 60 degrés, on fait 2 rotations de 45 degrés (en 3 dimensions) ou on decrit une pyramide avec l'allumette dont l'angle a la base est de 60 degrés, mais formé par 2 mouvements de 45 degrés:
- premier  mouvement on fait pivoter l'alumette de 45 degrés en montant a un angle de 45 degrés, ce qui decrit a la base un angle de 30 degrés.
- 2eme mouvement on fait pivoter l'alumette de 45 degrés en descendant de l'autre coté de la pyramide a un angle de 45 degrés, ce qui decrit a la base un autre angle de 30 degrés. on a donc effectué un angle de 60 degrés avec 2 angles de 45 degrés. On repete le meme principe pour les 2 autres angles a 60 degrés, et on a résolu le probleme en 6 mouvements.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #22 - 23-10-2011 23:16:35

Vasimolo
Le pâtissier
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Retour de flammme

Rien ne dit dans le texte que l'on ne peut pas gratter le bout rouge de l'allumette ni utiliser un feutre rouge pour colorier l'autre côté : zéro rotation , qui dit mieux lol

Vasimolo

 #23 - 24-10-2011 19:22:43

looozer
Expert de Prise2Tete
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Messages : 659
Lieu: Belgique

Retor de flamme

Joli problème sur lequel j'ai pas mal cherché.
Je suis un peu déçu qu'il n'ait pas de solution mais l'intervention des irrationnels m'avait amené à le suspecter.
Merci smile

 #24 - 24-10-2011 22:44:01

Vasimolo
Le pâtissier
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retour dr flamme

Une question pour laquelle je n'ai pas de réponse : quels sont les angles pour lesquels le retournement est possible ?

Il est clair que la mesure de l'angle doit être rationnelle ( en degré ) mais ce clairement pas suffisant . 60° et donc tous ses diviseurs sont solutions , il y en a bien d'autres .

Vasimolo

 #25 - 24-10-2011 23:57:01

Yuka2
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 31

Retour de lamme

Tous les 60/n, n étant entier sont solutions.

Il me semble que les seuls autres candidats possibles sont à chercher parmi les angles de la forme 180/n.

(Pour les angles plus grands que 180° on peut se ramener à leur complémentaire à 360°)

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