Je propose la méthode, que je ne détaillerais pas, suivante :

On pose [latex]U_{n+1}=\sqrt{4-V_n}[/latex] et
[TeX]V_{n+1}=\sqrt{4+U_n}[/TeX]
Alors ce qu'on cherche est la limite de [latex]V_4,V_8,V_{12},V_{16}...[/latex] car c'est un point fixe, or si [latex]U_n,V_n[/latex] ont des limites [latex]l,l'[/latex] alors [latex]l=\sqrt{4-l'}[/latex] et [latex]l'=\sqrt{4+l}[/latex] doù [latex]l'=\frac{\sqrt{13}+1}{2}[/latex].

Voila.

Qu'en pensez-vous?

Tu peux t'en sortir a la main.

Regarde ce que donne [latex]V_4[/latex], tu verras que tu retombes grosso modo sur la formule donnée en énigme, et que donc tu veux trouver un [latex]V_0[/latex] tel que [latex]V_4[/latex] soit égal a [latex]V_0[/latex].

Une solution est obtenue si on trouve un point fixe de la suite V, et pour cela on considère également le point fixe "correspondant" de U. Le reste coule "tout seul"

Ouhlà, il y a des simplifications qui ne coulent pas de source... Notamment, écrire [latex]\sqrt{a+b} = \sqrt{a}+b[/latex] comme tu le fais est totalement hérétique

Sinon, vous saviez que l'ami W|A sait résoudre cette équation ?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sq … %29%29%3Dx