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 #1 - 21-04-2009 13:44:49

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Des triangles ....

Soit ABC un triangle quelconque et O son centre du cercle circonscrit
Soient A',B' et C' les images des points A,B et C par la rotation de centre O et d'angle 60°.
On appelle M,N et P les milieux des segments [A'B]; [B'C] et [C'A]

Quelle est la nature du triangle MNP?

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 #2 - 21-04-2009 17:57:44

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Des tirangles .....

Voila un vrai problème, et tu auras moins de réponses  big_smile
Je sèche complètement. Les 60° me feraient penser à un triangle équilatéral. Mais sans aucune confirmation roll
En tout cas bravo, c'est beaucoup mieux big_smile


http://enigmusique.blogspot.com/

 #3 - 21-04-2009 18:54:52

zikmu
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 277

Des trangles .....

Il sera équilatéral mais je ne ferai pas la demo...wink

 #4 - 22-04-2009 03:45:55

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

De triangles .....

Je dirais un triangle equilatéral. ( un peu au hasard, apres avoir dessiné quelques configurations).


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 #5 - 22-04-2009 17:26:28

dododo
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Extrême Sud-Ouest

des rriangles .....

J'ai fait plein de jolis dessins, et il me semble bien qu'on obtient toujours un triangle équilatéral, mais je ne sais absolument pas comment le justifier et démontrer. Ca doit avoir rapport au fait qu'on applique une rotation de 60°...
Les réponses des autres joueurs éclaireront certainement ma lanterne !

 #6 - 22-04-2009 18:50:46

natdec62
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: Boulogne/Mer

Des traingles .....

A vue de nez, sans utiliser ni compas, ni rapporteur (je n'en ai pas) ni même de règle, j'aurai tendance à dire que le triangle produit est isocèle.


Quadrumane : qui a quatre mains. Exemple : Le rossignol n'est pas quadrumane.

 #7 - 23-04-2009 04:04:41

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Des triiangles .....

Admettons que les 3 points de depart A,B, et C ont pour coordonées (Xa,Ya), Xb,Yb) et Xc,Yc).
Apres quelques calculs, les points A', B' et C' ont pour coordonées:
Xa' = Xa/2 -sqrt(3)ya/2
Ya' = ya/2 + sqrt(3)xa/2
Xb' = Xb/2 -sqrt(3)yb/2
Yb' = yb/2 + sqrt(3)xb/2
Xc' = Xc/2 -sqrt(3)yc/2
Yc' = yc/2 + sqrt(3)xc/2
Les points M, N et P on donc pour coodonnées:
Xm=Xa/4 -sqrt(3)Ya/4 + Xb/2
Ym= Ya/4+sqrt(3)Xa/4 +Yb/2
Xn=Xb/4 -sqrt(3)Yb/4 + Xc/2
Yn= Yb/4+sqrt(3)Xb/4 +Yc/2
Xp=Xc/4 -sqrt(3)Yc/4 + Xa/2
Yp= Yc/4+sqrt(3)Xc/4 +Ya/2
Si on prend P comme point de reference, les points M et N ont pour coordonnées:
Xm=(Xa-Xc)/4 +sqrt(3)(Yc-Ya)/4 + (Xb-Xa)/2
Ym= (Ya-Yc)/4+sqrt(3)(Xa-Xc)/4 +(Yb-Ya)/2
Xn=(Xb-Xc)/4 +sqrt(3)(Yc-Yb)/4 + (Xc-Xa)/2
Yn= (Yb-Yc)/4+sqrt(3)(Xb-Xc)/4 +(Yc-Ya)/2
on simplifie:
Xm=(2Xb-Xa-Xc +sqrt(3)(Yc-Ya))/4
Ym= (2Yb-Ya-Yc +sqrt(3)(Xa-Xc))/4
Xn=(Xb+Xc-2Xa +sqrt(3)(Yc-Yb))/4
Yn= (Yb+Yc-2Ya +sqrt(3)(Xb-Xc))/4
si M' est une rotation de M de 60 degrés par rapport a P, ca nous donne:
Xm'=(2Xb-Xa-Xc +sqrt(3)(Yc-Ya))/8-srqt(3)(2Yb-Ya-Yc+sqrt(3)(Xa-Xc))/8
Ym'= (2Yb-Ya-Yc +sqrt(3)(Xa-Xc))/8+sqrt(3)(2Xb-Xa-Xc+sqrt(3)(Yc-Ya))/8
que l'on simplifie:
Xm'=(2Xb-4Xa+2Xc+2sqrt(3)(Yc-Yb))/8=(Xb+Xc-2Xa +sqrt(3)(Yc-Yb))/4=Xn
Ym'=(2Yb-4Ya+2Yc+sqrt(3)(2Xb-2Xc))/8=(Yb+Yc-2Ya +sqrt(3)(Xb-Xc))/4=Yn

Je viens de demontrer que N est la rotation de 60 degrés de M par rapport a P.
ce qui prouve que l'angle a P est de 60 degrés.
De la meme facon, On peut montrer que l'angle a M est aussi de 60 degrés.
il suffit de montrer que 2 angles font 60 degrés pour avoir un triangle équilatéral.


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 #8 - 23-04-2009 16:49:13

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
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fes triangles .....

Très bien dhrm77 bien pour ceux qui ont trouvé un triangle équilatéral

 #9 - 23-04-2009 19:08:18

LeSingeMalicieux
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Messages : 1298
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es triangles .....

Perso, une belle énigme comme celle-ci (si si !), je ne pouvais pas la louper !
Avant-hier soir, j'ai fait un beau schéma bien précis et joli comme j'aime bien, et pouf ! Coupure EDF ! hmm
Le triangle, a vue de nez (de Singe) semblait équilatéral, et pas eu le temps de m'y pencher plus...

Je me demande cependant s'il y a une façon géométrique de démontrer ce résultat (genre théorie des cordes lol)
Le sujet reste ouvert à la géométrie au delà de l'arithmétique wink


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #10 - 23-04-2009 19:13:01

natdec62
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 327
Lieu: Boulogne/Mer

Des triangles ......

Je me suis trompée j'ai écrit isocèle en pensant équilatéral. C'est vrai que mes cours de géométrie remontent déjà à quelques années...sad!


Quadrumane : qui a quatre mains. Exemple : Le rossignol n'est pas quadrumane.

 #11 - 05-05-2009 16:25:49

jesuiseureka31
Visiteur

fes triangles .....

Bonjour,

Ce type d’énigme est résolu facilement si on connaît les quelques outils mathématiques adaptés à ce type de problèmes : le cercle trigonométrique et  le plan complexe associé au plan géométrique (niveau Terminale).
Comme je ne connais pas le niveau de culture mathématique des membres de ce forum, je me permets de faire un petit rappel pour les uns (et un voyage de découvertes pour les autres)

Rappels justes nécessaires :
1/ Plan complexe associé au plan géométrique. Nombre complexe associé au rotations.

1.1/
Dans un plan, on place un repère (O, e1, e2). :
O est l’origine de coordonnées (0,0),
e1 est un vecteur unitaire de composantes (0,1) pour l’axe horizontal Ox  et
e2 est un vecteur orthogonal à e1 de composantes (0,1) pour l’axe vertical Oy
Le repère (O,e1,e2) est dit orthonormal. Chaque point P a pour coordonnées (x,y) dans ce repère.

1.2/
A ce plan géométrique est associé un plan complexe de base (0,1, i) (j’expliquerai plus loin ce que signifie i dans le cadre de notre sujet)
A tout point P de coordonnées (x,y) du plan géométrique est associé un point complexe P du plan complexe de coordonnées (ou d’affixe)
   p = x+i y  sous forme cartésienne  ou
  p = r ( x cos (t) + i sin (t) )   sous forme trigonométrique ( r = le module = le « rayon »  et t est l’angle -dans le sens trigonométrique- entre les vecteurs e1 [img][/img]et OP.

Dans un plan géométrique, les composantes d’un vecteur PQ dans ce sens = coordonnées de son point destination Q – coordonnées de son point source P :
De même dans le plan complexe , l’affixe d’un vecteur PQ = affixe du point destination – affixe du point source = q – p .    Evidemment, pour un vecteur OP qui démarre en O, l’affixe du vecteur est simplement  p.

[img][/img]


1.3/
L’intérêt du plan complexe, c’est que les rotations du plan géométrique sont « traduites » en multiplication par un nombre complexe dans le plan complexe.

Exemple :  le nombre complexe associé à la rotation de 90 degrés dans le sens trigonométrique (= sens contraire des aiguilles d’une montre) s’appelle i .
Si au vecteur OP de composantes (x,y) du plan géométrique est associé dans le plan complexe un point complexe P d’affixe p alors  au vecteur OP’ rotation du vecteur OP de 90° est associé le point P’ d’affixe p’= i p .

[img][/img]

Si au vecteur OP’ du plan géométrique est associé dans le plan complexe un point complexe P’ d’affixe p’ alors  au vecteur OP’’ rotation du vecteur OP’ de 90° est associé le point P’’ d’affixe p’’= i p’ = i (i p) = i² p = - p   car OP’’ = -OP
Signification intuitive :
2 rotations successives de 90 degrés = 180° = direction opposée  è Se traduit par :  la multiplication 2 fois de i par i = i².
Ainsi l’écriture i²=-1 signifie pour nous ici que 2 rotations successives de 90° inversent la direction (le mot oppose serait plus correct).

Cela « explique » aussi pourquoi le repère du plan complexe est (O, 1, i ) car 1 représente l’affixe de e1 et i représente l’affixe de e2 perpendiculaire à e1 dans le sens trigonométrique donc e1 ayant subi une rotation de 90°.
ATTENTION : la rotation d’un vecteur implique que le module du vecteur final est de même valeur que le module du vecteur initial (on le fait seulement tourner). De même, la multiplication par un nombre complexe conserve le module.

1.4/
Dans le cas qui va nous intéresser, j’appelle k le nombre complexe associé à la rotation de 60°.
Intuitivement, nous pouvons comprendre que 3 rotations successives de 60° = 180° inversent la direction . Donc k^3 = -1. Mais la visualisation de ces nombres est plus intéressantes dans le cercle trigonométrique.

2/ Cercle trigonométrique

2.1/
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré sur O (0,0).et porté sur 2 axes Ox horizontal et Oy vertical .Les angles sont orientés dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. L’origine des angles est l’axe Ox :l’angle (OA0,OA0)= 0°,  (OA0,OA1) = +60°, (OA0,OA2) = +120°.
Les vecteurs OAi sont obtenus à partir de OA0 par rotations successives de 60° = PI/3. Dans le plan complexe cela se « traduit » par des multiplications successives par k. Ainsi les affixes des points A0, A1, A2, A3  … sont successivement 1, k, k^2, k^3, …

[img][/img]

2.2/
Ce qui important de « voir » c’est que la somme vectorielle dans le plan géométrique se traduit par une somme de nombres complexes dans le plan complexe.

Exemple : dans le plan vectoriel, la somme des 3 vecteurs OA1 + OA3 + OA5 = 0 (imaginez 3 personnes qui tirent sur des câbles avec la même force (module des vecteurs égaux) dans ces 3 directions => le point O ne bougera pas). De même, dans le plan complexe, la somme   –1 + k – k^2 = 0 .
Vous avez aussi  O0+OA2+OA4 = 0  è   1 + k^2 –k = 0 qui est l’opposé de l’équation ci-dessus.

Armés de ces outils, traduisons l’énigme :

3/ Hypothèses de l’énigme

Soient 3 points A,B,C situés sur un cercle de centre O
(1) Soient A’, B’, C’ les images des A,B,C après rotation de 60° sur le cercle.
(2) M,N,P milieux de [A’B], [B’C],[C’A]
(3) Montrer que MNP est un triangle équilatéral comme vous vous en doutiez tous.
NOTA : l’énigme suppose que les points sont sur un cercle. En fait cette hypothèse n’est pas nécessaire : vous constaterez que MNP continue d’être équilatéral MÊME SI A,B,C ne sont pas à égales distances de O !

Traductions dans le plan complexe :
a,b,c,a’,b’,c’,m,n,p affixes de leurs points respectifs

(1) se traduit par :    a’ = ka  ,  b’=kb  ,  c’=kc
(2) se traduit par    m=(a’+b)/2    ,  n=(b’+c)/2      ,  p=(c’+a)/2   
(3) MNP équilatéral dans cet ordre
=>    le vecteur MP = le vecteur MN ayant subi une rotation directe de 60° (et cette seule transformation est suffisante)
=>     m – p = k (m – n)   ce qui est à démontrer.
Rappel : k est le nombre complexe qui traduit une rotation de 60° (cf cercle ci-dessus)

4/ Résolution
La résolution commence véritablement ici :
  m – p = k (m – n)   
=> d’après (2)   
½ (a’+b) – ½ (c’+a) = k ( ½ (a’+b) – ½ (b’+c)
=> en multipliant par 2 pour éliminer les ½ et en transposant tout du même côté :
  a’ + b - c’ – a -ka’ –kb + kb’ + kc =0
=> en remplaçant a’,b’ et c’ d’après (1)
ka + b –kc – a – kka – kb + kkb + kc =0
=> en regroupant les termes en a,b,c
a (-1 + k – k^2)  + b (1 – k + k^2) + c (+1 –1 ) = 0
=> d’après le paragraphe 2.2/  nous savons que
(-1 + k – k^2)  =0
(1 – k + k^2) =0
et évidemment (+1 –1 ) =0             CQFD

Vous noterez qu’à aucun moment nous n’avons besoin de supposer que les distances OA, OB, OC sont égales è les points ABC n’ont pas besoin d’être sur le cercle inscrit par ABC.

5/ Pour ceux que çà intéresse, voici une énigme dans la même veine :

Soit un carré OABC. Soit un carré OPQR « accroché » au carré précédent en O selon un angle quelconque.
Soient OCMP et ORNA les 2 parallélogrammes qui jouxtent les 2 carrés.
Montrer que le polygone des centres de ces 4 polygones ci-dessus est un CARRE quelque soit la taille des carrés de départ et l’angle d’accroche !!
Piste : cette fois, le nombre complexe à utiliser est i . faites le cercle trigonométrique.

 #12 - 05-05-2009 19:30:03

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
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Ds triangles .....

jesuiseureka31 a écrit:

NOTA : l’énigme suppose que les points sont sur un cercle. En fait cette hypothèse n’est pas nécessaire : vous constaterez que MNP continue d’être équilatéral MÊME SI A,B,C ne sont pas à égales distances de O !

Excellent!
c'est vrai que ca marche en dehors d'un cercle.

On peut aussi noter que les 3 points d'orgine n'ont pas necessairement besoin d'être distincts. Si 2 des points sont identiques (A=B) on obtient toujours un triangle équilateral.
Si les 3 points sont identiques, on obtient un triangle dont les cotés sont de longueur nulle. Donc difficile de dire si les angles font 60°... lol


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 #13 - 17-05-2009 10:28:46

jeff3999
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Des triangle .....

Petite précision sur la réponse de DHRM77 :

Tu as écrit : "Je viens de demontrer que N est la rotation de 60 degrés de M par rapport a P.ce qui prouve que l'angle a P est de 60 degrés."

Mais tu as démontré plus que ça : N est l'image de M par une rotation de centre P et d'angle 60° signifie que l'angle MPN vaut 60° ET que PM = PN, ce qui est suffisant pour conclure que MNP est équilatéral.

En tout cas, belle démo analytique (c'est beau, l'analyse, quand ça fonctionne)

 #14 - 17-05-2009 15:55:39

dhrm77
L'exilé
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es triangles .....

jeff3999 a écrit:

Mais tu as démontré plus que ça : N est l'image de M par une rotation de centre P et d'angle 60° signifie que l'angle MPN vaut 60° ET que PM = PN, ce qui est suffisant pour conclure que MNP est équilatéral.

Comme dirais la mère Denis:
http://www.prise2tete.fr/upload/dhrm77-MereDenis.jpg


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 #15 - 19-05-2009 00:36:17

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Dees triangles .....

Mettez des matheux ensemble, placez-leur une demi-douzaine de points sur une feuille, et vous assisterez à des orgies intellectualo-masturbatoires dont on ne saurait affirmer avec précision et détermination si elles sont grandioses ou déprimantes (un peu des deux, sans doute).

Spoiler : Rajout hors-sujet Comme disait Pascal Sevran, à l'époque de sa jeunesse flamboyante et brillante tel un déambulateur récemment lustré, "est-ce que je vous em**rde avec mes glaviots, moi ?" (puis, pour l'anecdote, il rajoutait un "rheuh rheuh" gras et glougloutant, puis omettait son cancer en crachant, à l'écrit cette fois, sur les pénis des Nigériens avec un élan et une fougue que les plus grands et courageux et iconoclastes chanceliers chancelants du monde n'eurent pas renié).


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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(2) — Montrer qu un triangle est rectangle a partir de mesures d angles orientes (2) — (2) — En utilisant un repere determiner la nature du triangle (2) — Demontrer qu un triangle est isocele avec des vecteurs (2) — Demontrer qu un triangle est isocele dans un cercle (2) — Triangle enigme (2) — Solution analytique dans le repere triangle abc vecteurs (2) — On fait tourner un triangle de 120 degres autour du centre o (2) — Construire un triangle a partir de 3 milieux de 3 cotes (2) — Demontrer triangle equilateral compexe (2) — Propriete des vecteurs egaux triangle equilateral (2) — Triangle de 120 degre (2) — Construire 4 triangle equilteraux avec 6 batonnets (2) — Math comment mesurer un angle dans un triangle rectangle quand on en connait qu un seul (2) — Comment demontrer dans un repere orthonorme qu un triangle est equilateral (2) — Enigmes geometrie trinangles (2) — Trouver l affixe d un point triangle equilateral (2) — L enigme du triangle isocele (2) — Quel est le vrai nom du triangle quelconque (2) — Nb de triangle (2) — Montrer qu un triangle est isocele avec complexe (2) — Comment faire un triangle equilateral avec 6 baton (2) — Demontrer qu un triangle est isocele (2) — +dans quel sens place t on les points abc pour construire un triangle (2) — Nombre triangle enigme (2) — Determine la nature du triangle abc (2) — Signification des trois points (2) — Conment appele tont des triangled ni isoceles ni equilateraux ni rectangles (2) — Construire triangle de 120 degre sans rapporteur (2) — Comment faire des degres en geometrie san rapporteur (2) — Les trois aiguilles d une montre forment 3 angles identiques (2) — Demo cote identique triangle isocele (2) — Comment faire 4 triangle egaux avec 6 baton soluce (2) — Comment faire un angl de 120 degre sans rapporteur (2) — Triangle isocele avec des nombres complexes (2) — Comment tracer des vecteurs dans un plan complexe (2) — Triangle 120 degres (2) — Quelle est la nature du triangle abc vecteurs il est equilateral (2) — 10 batons 5 triangles equilateraux (2) — Jeu nombre de triangle (2) — Comment calculer les angle pour demonter q un triangle est isocel (2) — (2) — Demontrer qu un triangle est isocele complexe (2) — Triangle abc 75degres (2) — Comment dessiner un ongle de 120 degre (2) — Affixe de vecteur triangle isocele (2) — Www.les nature des triangle.fr (2) — Enigme trouver le nombre de triangle (2) — Triangle clou enigme (2) — Enigme triangle clous (2) — (2) — Calcul d angle triangle sans mesure (2) — Un cercle dans un triangle signification (2) — Enigme du triangle avec des clous (2) — Enigmes complexe (2) — 4 triangles isocelle 7 batonnets (2) — Je peut tracer un triangle avec 3 nombres au hasard ? (2) — Dessiner des triangles signification (2) — Comment appelle t on les chiffres identique (2) — Comment apel t on un triangle qui a aucun cote idintique mathematique 6 eme (2) — Qu est ce q un triangle equilaterale en math (2) — Probleme ouvert triangle et cercle (2) — Astuces demonstration d es triangles (2) — Signification triangle dessin (2) — Construis avec precision et sans rapporteur un angle dont le cosinus est 2/5. justifie. (2) — Determiner la nature d un triangle avec les modules (2) — Enigme nb de triangle dans un rectangle (2) — Tracer angle 30 degres sans rapporteur (2) — Faire triangle isocele 120degres (2) — Prouver que c est un triangle quand on connait les 3 cotes (2) — Montrer qu un triangle est equilateral dans un repere par les complexes (2) — Enigme triangle rectangle et cercle circonscrit (2) — Construction d un angle a 120 (2) — Triangle avec 3 angles identiques (2) — Nombre complexe prouver que le triangle est isocele (2) — Montrer qu un triangle est isocele avec des vecteurs (2) — Ca c est vrai ca mere denis (2) — Calcul trigonometrique adapte au triangle quelconque (2) — Triangles isoceles inscrits cercle trigonometrique (2) — Nombre de triangle dans un carre (2) — Justifier qu un point est sur le cercle trigo (2) — Demontrer qu un triangle est isocele dans 2 cercles (2) — Enigme du triangle (2) — 8 batons 2 carre et 4 triangle (2) — Combien y a-t-il de degres dans un triangle (2) — Quel est la nature du triangle dans les angles sont tous egales a 60 degres (2) — Quelle est la destination enigme triangle (2) — Trouver le nombre de triangles (2) — Enigme combien de triangle dans le triangle (2) — (2) — Triangles dans un cercle (2) — Dessins des triangles (2) — Enigme geometrique 5 ou 6 triangles (2) — Voici un croquis d une figure sans respect ni des mesures de longueur ni des mesures d angle. trouve les mesures des segments (2) — Probleme ouvert utilisant le cosinus d un angle en 4e (2) — Probleme ouvert avec des triangle rectangles 30 degres (2) — Solution enigme des triangle (2) — Enigme triangle destination (2) — (2) — Tracer un angle sans rapporteur sur feuille (2) — (2) — Montrer qu un triangle est equilateral sur un cercle trigonometrique (2) — Triangle dans un cercle signification (2) — Triangle+enigme (2) — (2) — Comment justifier la mesure des angles d un triangle (2) — Comment justifier qu un triangle est rectangle math 3eme (2) — Enigmes triangle geometrie (2) — Comment appelle t on un triangle avec 3 angle a 60degre (2) — Nombre d or sinus (2) — Comment montrer qu un triangle est rectangle isocele avec des nombres complexes (2) — Quel est le nombre de triangles (2) — Demontrer qu un triangle est isocele dans un repere orthonorme avec les complexes (2) — Comment montrer avec la geometrie cartesienne que un triangle es isocele (2) — Calculer le nombre de triangle dans ce schema (2) — Photo de la mere denis ca c est ben vrai (2) — Demontrer que deux triangles font 90 (2) — Qu est ce que la nature d un triangle ? justifier (2) — Construire un triangle isocele sans connaitre les angles (2) — Comment appelle t on un triangle rectangle isocele (2) — Enigme de geometrie forme triangle (2) — Kc.comment (2) — Devinette de nombre complexe (2) — Montrer qu un triangle est equilateral dans un cercle trigo (2) — Tracer angle 120 degres sans rapporteur (2) — Enigme triangle equations sept baton (2) — Comment tracer 1 parall?logramme avec un angle de60 degr?s (2) — 2 triangle pour en avoir 4 (2) — Comment demontrer qu un triangle est equilateral dans un cercle trigonometrique (2) — Demonter qu un triangle isocele qui a un angle de 60 degres est equilateral (2) — Comment justifier un triangle isocele en complex (2) — (2) — Trigonometrie montrer qu un triangle est equilateral (2) — Triangle equilateral affixe (2) — Cercle rotation triangle (2) — Enigme mathematique lieu de points du plan triangle (2) — Deux triangles non identique inscrits dans un cercle (2) — Vecteur: comment justifier la nature d un triangle (1) — Repere orthonorme cercle circonscrit au triangle (1) — Triangle et complexe (1) — Comment demontrer la nature d un triangle rectangle (1) — Demontrer l affixe dun point (1) — Somme de 3 vecteurs (1) — Enigme+triangles (1) — Tracer un angle sans compas ni rapporteur (1) — Calcul angle 60degres avec regle du triangle (1) — Abc quelconques centres mnp mnp equilateral (1) — Comment appelle t-on les type de dessin (1) — Enigme pour avoir quatres triangles (1) — 10 baton egaux5 triangle equilaterale (1) — Montrer deux angles identique (1) — Nature de 2 triangles dans un cercle (1) — (1) — Comment trouver l affixe d un point d un carre dan les complexe (1) — Rotation triangle circonscrit (1) — Complexe les natures de triangle (1) — Enigme mathematique triangle dans restangle (1) — Pascal point segment enigme (1) — Comment demontrer un triangle dans un repere (1) — Montrer qu un ensemble de points d une suite complexe forme un triangle rectangle (1) — Demontrer q un triangle est equilateral (1) — Comment faire pour savoir la de deux triangle si on en connait q un angle (1) — Abc triangle equilateral (1) — Demontrer que 2 angles sont identiques (1) — Triangle de degre 1 (1) — Enigme deux triangles (1) — Enigme de math (1) — Comment justifier d un triangle est isocele (1) — Faire 3 triangle enigme (1) — (1) — Image angle 120 degres (1) — (1) — Calcul angle a 120 degres (1) — Prouver qu un triangle est rectangle avec des vecteurs (1) — 3 vecteurs forment un triangle (1) — Demontrer qu un triangle est isocele avec des complexes (1) — Comment prouver qun triangle est rectangle dans un plans avec des coordonnees (1) — Comment prouver q un triangle est isocele? (1) — Eniqme triangle suite de chiffre (1) — Comment demontrer qu un triangle est rectangle isocele nombre complexe (1) — Comment trois vecteurs formes un triangle (1) — (1) — Comment demontrer qu un triangle est equilaterale dans un repere (1) — (1) — Comment demontrer dans un cercle trigonometrique qu un triangle est equilateral avec pi/3 (1) — (1) — Comment demontrer qu un triangle est equilaterale (1) — (1) — Comment appelle t-on un triangle qui a 3 angles identiques (1) — Maths trois triangles equilateraux sujet zero terminale mnp (1) — Enigme nombre de triangle dans un triangle (1) — Batonnet triangle equilateral (1) — Triangle et signification (1) — (1) — Triangle isocele+calcul sans justifier les angles (1) — Triangle rectangle angle 30 degre niveau 6eme (1) — Vecteur triangle equilateral et carre (1) — (1) — Significations des triangles (1) — Complexe math montrer abc triangle isocele (1) — Comment demontrer un carre a partir d un triangle dans un cercle niveau 6 eme (1) — Calculer nombre de triangles a partir d un dessin (1) — Signification d un carre (1) — Photos du cercle au triangle du demont (1) — Comment demontrer qu un triangle est rectangle avec une seule mesure sur 3 (1) — Schema du triangle de sad (1) — Vecteurs carre triangles equilateraux (1) — Dans un carre probleme ouvert vecteur (1) — Justifier que la nature du triangle est rectangle (1) — Prouve qu un triangle est isocele sur un repere orthonorme pied de la hauteur (1) — Maths 4 eme demontrer que l aire triangle est 4 fois l aire (1) — Maths regles calcul angles orientes (1) — Justifier un triangle isocele dans un cercle (1) — Triangle equilateral complexes solution (1) — Addition des vecteurs sur un plan complex (1) — Probleme ouvert triangle vecteurs (1) — Comment montrer qu un triangle est isocele avec des vecteurs coordonnees en 3 points (1) — Triangle segment identique (1) — Justifier la nature d un triangle isocele (1) — Construire un angle de 120 degres sans rapporteur (1) — Prouver qu un triangle est rectangle sans repere orthonorme (1) — Nombre de triangles tu (1) — Demontrer qu un triangle est isocele par la geometrie analytique (1) — Faire 3 triangle (1) — Prouver qu un triangle est isocele avec les complexe (1) — Comment demontrer qu un triangle est rectangle sans calcul (1) — Triangle equilateral direct nombre complexes (1) — Vecteur triangle equilateral (1) — Comment justifier un angle qui fait 0 dans un triangle isosele (1) — Comment justifier triangle equilaterale (1) — Demontrer qu un triangle est isocele dans un repere (1) — Prouver que dans un triangle isocele il y a un autre triangle isocele (1) — Montrer qu un triangle est isocele avec des coordonnees (1) — Cercle trigonometrique triangle isocele (1) — Enigmes geometrique triangle (1) — Enigme sur edf (1) — Comment appelle-t-on un triangle sans cotes ni angles egaux? 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