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 #1 - 21-04-2009 13:44:49

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Des tiangles .....

Soit ABC un triangle quelconque et O son centre du cercle circonscrit
Soient A',B' et C' les images des points A,B et C par la rotation de centre O et d'angle 60°.
On appelle M,N et P les milieux des segments [A'B]; [B'C] et [C'A]

Quelle est la nature du triangle MNP?



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 #2 - 21-04-2009 17:57:44

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Des triangles ......

Voila un vrai problème, et tu auras moins de réponses  big_smile
Je sèche complètement. Les 60° me feraient penser à un triangle équilatéral. Mais sans aucune confirmation roll
En tout cas bravo, c'est beaucoup mieux big_smile


http://enigmusique.blogspot.com/

 #3 - 21-04-2009 18:54:52

zikmu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 277

ded triangles .....

Il sera équilatéral mais je ne ferai pas la demo...wink

 #4 - 22-04-2009 03:45:55

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Dees triangles .....

Je dirais un triangle equilatéral. ( un peu au hasard, apres avoir dessiné quelques configurations).


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #5 - 22-04-2009 17:26:28

dododo
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 408
Lieu: Extrême Sud-Ouest

des trianhles .....

J'ai fait plein de jolis dessins, et il me semble bien qu'on obtient toujours un triangle équilatéral, mais je ne sais absolument pas comment le justifier et démontrer. Ca doit avoir rapport au fait qu'on applique une rotation de 60°...
Les réponses des autres joueurs éclaireront certainement ma lanterne !

 #6 - 22-04-2009 18:50:46

natdec62
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 327
Lieu: Boulogne/Mer

Des triangles ....

A vue de nez, sans utiliser ni compas, ni rapporteur (je n'en ai pas) ni même de règle, j'aurai tendance à dire que le triangle produit est isocèle.


Quadrumane : qui a quatre mains. Exemple : Le rossignol n'est pas quadrumane.

 #7 - 23-04-2009 04:04:41

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Des trianngles .....

Admettons que les 3 points de depart A,B, et C ont pour coordonées (Xa,Ya), Xb,Yb) et Xc,Yc).
Apres quelques calculs, les points A', B' et C' ont pour coordonées:
Xa' = Xa/2 -sqrt(3)ya/2
Ya' = ya/2 + sqrt(3)xa/2
Xb' = Xb/2 -sqrt(3)yb/2
Yb' = yb/2 + sqrt(3)xb/2
Xc' = Xc/2 -sqrt(3)yc/2
Yc' = yc/2 + sqrt(3)xc/2
Les points M, N et P on donc pour coodonnées:
Xm=Xa/4 -sqrt(3)Ya/4 + Xb/2
Ym= Ya/4+sqrt(3)Xa/4 +Yb/2
Xn=Xb/4 -sqrt(3)Yb/4 + Xc/2
Yn= Yb/4+sqrt(3)Xb/4 +Yc/2
Xp=Xc/4 -sqrt(3)Yc/4 + Xa/2
Yp= Yc/4+sqrt(3)Xc/4 +Ya/2
Si on prend P comme point de reference, les points M et N ont pour coordonnées:
Xm=(Xa-Xc)/4 +sqrt(3)(Yc-Ya)/4 + (Xb-Xa)/2
Ym= (Ya-Yc)/4+sqrt(3)(Xa-Xc)/4 +(Yb-Ya)/2
Xn=(Xb-Xc)/4 +sqrt(3)(Yc-Yb)/4 + (Xc-Xa)/2
Yn= (Yb-Yc)/4+sqrt(3)(Xb-Xc)/4 +(Yc-Ya)/2
on simplifie:
Xm=(2Xb-Xa-Xc +sqrt(3)(Yc-Ya))/4
Ym= (2Yb-Ya-Yc +sqrt(3)(Xa-Xc))/4
Xn=(Xb+Xc-2Xa +sqrt(3)(Yc-Yb))/4
Yn= (Yb+Yc-2Ya +sqrt(3)(Xb-Xc))/4
si M' est une rotation de M de 60 degrés par rapport a P, ca nous donne:
Xm'=(2Xb-Xa-Xc +sqrt(3)(Yc-Ya))/8-srqt(3)(2Yb-Ya-Yc+sqrt(3)(Xa-Xc))/8
Ym'= (2Yb-Ya-Yc +sqrt(3)(Xa-Xc))/8+sqrt(3)(2Xb-Xa-Xc+sqrt(3)(Yc-Ya))/8
que l'on simplifie:
Xm'=(2Xb-4Xa+2Xc+2sqrt(3)(Yc-Yb))/8=(Xb+Xc-2Xa +sqrt(3)(Yc-Yb))/4=Xn
Ym'=(2Yb-4Ya+2Yc+sqrt(3)(2Xb-2Xc))/8=(Yb+Yc-2Ya +sqrt(3)(Xb-Xc))/4=Yn

Je viens de demontrer que N est la rotation de 60 degrés de M par rapport a P.
ce qui prouve que l'angle a P est de 60 degrés.
De la meme facon, On peut montrer que l'angle a M est aussi de 60 degrés.
il suffit de montrer que 2 angles font 60 degrés pour avoir un triangle équilatéral.


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 #8 - 23-04-2009 16:49:13

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

des trianfles .....

Très bien dhrm77 bien pour ceux qui ont trouvé un triangle équilatéral

 #9 - 23-04-2009 19:08:18

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

dzs triangles .....

Perso, une belle énigme comme celle-ci (si si !), je ne pouvais pas la louper !
Avant-hier soir, j'ai fait un beau schéma bien précis et joli comme j'aime bien, et pouf ! Coupure EDF ! hmm
Le triangle, a vue de nez (de Singe) semblait équilatéral, et pas eu le temps de m'y pencher plus...

Je me demande cependant s'il y a une façon géométrique de démontrer ce résultat (genre théorie des cordes lol)
Le sujet reste ouvert à la géométrie au delà de l'arithmétique wink


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #10 - 23-04-2009 19:13:01

natdec62
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 327
Lieu: Boulogne/Mer

Des triangles ....

Je me suis trompée j'ai écrit isocèle en pensant équilatéral. C'est vrai que mes cours de géométrie remontent déjà à quelques années...sad!


Quadrumane : qui a quatre mains. Exemple : Le rossignol n'est pas quadrumane.

 #11 - 05-05-2009 16:25:49

jesuiseureka31
Visiteur

Des trangles .....

Bonjour,

Ce type d’énigme est résolu facilement si on connaît les quelques outils mathématiques adaptés à ce type de problèmes : le cercle trigonométrique et  le plan complexe associé au plan géométrique (niveau Terminale).
Comme je ne connais pas le niveau de culture mathématique des membres de ce forum, je me permets de faire un petit rappel pour les uns (et un voyage de découvertes pour les autres)

Rappels justes nécessaires :
1/ Plan complexe associé au plan géométrique. Nombre complexe associé au rotations.

1.1/
Dans un plan, on place un repère (O, e1, e2). :
O est l’origine de coordonnées (0,0),
e1 est un vecteur unitaire de composantes (0,1) pour l’axe horizontal Ox  et
e2 est un vecteur orthogonal à e1 de composantes (0,1) pour l’axe vertical Oy
Le repère (O,e1,e2) est dit orthonormal. Chaque point P a pour coordonnées (x,y) dans ce repère.

1.2/
A ce plan géométrique est associé un plan complexe de base (0,1, i) (j’expliquerai plus loin ce que signifie i dans le cadre de notre sujet)
A tout point P de coordonnées (x,y) du plan géométrique est associé un point complexe P du plan complexe de coordonnées (ou d’affixe)
   p = x+i y  sous forme cartésienne  ou
  p = r ( x cos (t) + i sin (t) )   sous forme trigonométrique ( r = le module = le « rayon »  et t est l’angle -dans le sens trigonométrique- entre les vecteurs e1 [img][/img]et OP.

Dans un plan géométrique, les composantes d’un vecteur PQ dans ce sens = coordonnées de son point destination Q – coordonnées de son point source P :
De même dans le plan complexe , l’affixe d’un vecteur PQ = affixe du point destination – affixe du point source = q – p .    Evidemment, pour un vecteur OP qui démarre en O, l’affixe du vecteur est simplement  p.

[img][/img]


1.3/
L’intérêt du plan complexe, c’est que les rotations du plan géométrique sont « traduites » en multiplication par un nombre complexe dans le plan complexe.

Exemple :  le nombre complexe associé à la rotation de 90 degrés dans le sens trigonométrique (= sens contraire des aiguilles d’une montre) s’appelle i .
Si au vecteur OP de composantes (x,y) du plan géométrique est associé dans le plan complexe un point complexe P d’affixe p alors  au vecteur OP’ rotation du vecteur OP de 90° est associé le point P’ d’affixe p’= i p .

[img][/img]

Si au vecteur OP’ du plan géométrique est associé dans le plan complexe un point complexe P’ d’affixe p’ alors  au vecteur OP’’ rotation du vecteur OP’ de 90° est associé le point P’’ d’affixe p’’= i p’ = i (i p) = i² p = - p   car OP’’ = -OP
Signification intuitive :
2 rotations successives de 90 degrés = 180° = direction opposée  è Se traduit par :  la multiplication 2 fois de i par i = i².
Ainsi l’écriture i²=-1 signifie pour nous ici que 2 rotations successives de 90° inversent la direction (le mot oppose serait plus correct).

Cela « explique » aussi pourquoi le repère du plan complexe est (O, 1, i ) car 1 représente l’affixe de e1 et i représente l’affixe de e2 perpendiculaire à e1 dans le sens trigonométrique donc e1 ayant subi une rotation de 90°.
ATTENTION : la rotation d’un vecteur implique que le module du vecteur final est de même valeur que le module du vecteur initial (on le fait seulement tourner). De même, la multiplication par un nombre complexe conserve le module.

1.4/
Dans le cas qui va nous intéresser, j’appelle k le nombre complexe associé à la rotation de 60°.
Intuitivement, nous pouvons comprendre que 3 rotations successives de 60° = 180° inversent la direction . Donc k^3 = -1. Mais la visualisation de ces nombres est plus intéressantes dans le cercle trigonométrique.

2/ Cercle trigonométrique

2.1/
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré sur O (0,0).et porté sur 2 axes Ox horizontal et Oy vertical .Les angles sont orientés dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. L’origine des angles est l’axe Ox :l’angle (OA0,OA0)= 0°,  (OA0,OA1) = +60°, (OA0,OA2) = +120°.
Les vecteurs OAi sont obtenus à partir de OA0 par rotations successives de 60° = PI/3. Dans le plan complexe cela se « traduit » par des multiplications successives par k. Ainsi les affixes des points A0, A1, A2, A3  … sont successivement 1, k, k^2, k^3, …

[img][/img]

2.2/
Ce qui important de « voir » c’est que la somme vectorielle dans le plan géométrique se traduit par une somme de nombres complexes dans le plan complexe.

Exemple : dans le plan vectoriel, la somme des 3 vecteurs OA1 + OA3 + OA5 = 0 (imaginez 3 personnes qui tirent sur des câbles avec la même force (module des vecteurs égaux) dans ces 3 directions => le point O ne bougera pas). De même, dans le plan complexe, la somme   –1 + k – k^2 = 0 .
Vous avez aussi  O0+OA2+OA4 = 0  è   1 + k^2 –k = 0 qui est l’opposé de l’équation ci-dessus.

Armés de ces outils, traduisons l’énigme :

3/ Hypothèses de l’énigme

Soient 3 points A,B,C situés sur un cercle de centre O
(1) Soient A’, B’, C’ les images des A,B,C après rotation de 60° sur le cercle.
(2) M,N,P milieux de [A’B], [B’C],[C’A]
(3) Montrer que MNP est un triangle équilatéral comme vous vous en doutiez tous.
NOTA : l’énigme suppose que les points sont sur un cercle. En fait cette hypothèse n’est pas nécessaire : vous constaterez que MNP continue d’être équilatéral MÊME SI A,B,C ne sont pas à égales distances de O !

Traductions dans le plan complexe :
a,b,c,a’,b’,c’,m,n,p affixes de leurs points respectifs

(1) se traduit par :    a’ = ka  ,  b’=kb  ,  c’=kc
(2) se traduit par    m=(a’+b)/2    ,  n=(b’+c)/2      ,  p=(c’+a)/2   
(3) MNP équilatéral dans cet ordre
=>    le vecteur MP = le vecteur MN ayant subi une rotation directe de 60° (et cette seule transformation est suffisante)
=>     m – p = k (m – n)   ce qui est à démontrer.
Rappel : k est le nombre complexe qui traduit une rotation de 60° (cf cercle ci-dessus)

4/ Résolution
La résolution commence véritablement ici :
  m – p = k (m – n)   
=> d’après (2)   
½ (a’+b) – ½ (c’+a) = k ( ½ (a’+b) – ½ (b’+c)
=> en multipliant par 2 pour éliminer les ½ et en transposant tout du même côté :
  a’ + b - c’ – a -ka’ –kb + kb’ + kc =0
=> en remplaçant a’,b’ et c’ d’après (1)
ka + b –kc – a – kka – kb + kkb + kc =0
=> en regroupant les termes en a,b,c
a (-1 + k – k^2)  + b (1 – k + k^2) + c (+1 –1 ) = 0
=> d’après le paragraphe 2.2/  nous savons que
(-1 + k – k^2)  =0
(1 – k + k^2) =0
et évidemment (+1 –1 ) =0             CQFD

Vous noterez qu’à aucun moment nous n’avons besoin de supposer que les distances OA, OB, OC sont égales è les points ABC n’ont pas besoin d’être sur le cercle inscrit par ABC.

5/ Pour ceux que çà intéresse, voici une énigme dans la même veine :

Soit un carré OABC. Soit un carré OPQR « accroché » au carré précédent en O selon un angle quelconque.
Soient OCMP et ORNA les 2 parallélogrammes qui jouxtent les 2 carrés.
Montrer que le polygone des centres de ces 4 polygones ci-dessus est un CARRE quelque soit la taille des carrés de départ et l’angle d’accroche !!
Piste : cette fois, le nombre complexe à utiliser est i . faites le cercle trigonométrique.

 #12 - 05-05-2009 19:30:03

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Des triangles ....

jesuiseureka31 a écrit:

NOTA : l’énigme suppose que les points sont sur un cercle. En fait cette hypothèse n’est pas nécessaire : vous constaterez que MNP continue d’être équilatéral MÊME SI A,B,C ne sont pas à égales distances de O !

Excellent!
c'est vrai que ca marche en dehors d'un cercle.

On peut aussi noter que les 3 points d'orgine n'ont pas necessairement besoin d'être distincts. Si 2 des points sont identiques (A=B) on obtient toujours un triangle équilateral.
Si les 3 points sont identiques, on obtient un triangle dont les cotés sont de longueur nulle. Donc difficile de dire si les angles font 60°... lol


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 #13 - 17-05-2009 10:28:46

jeff3999
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

Des trianglse .....

Petite précision sur la réponse de DHRM77 :

Tu as écrit : "Je viens de demontrer que N est la rotation de 60 degrés de M par rapport a P.ce qui prouve que l'angle a P est de 60 degrés."

Mais tu as démontré plus que ça : N est l'image de M par une rotation de centre P et d'angle 60° signifie que l'angle MPN vaut 60° ET que PM = PN, ce qui est suffisant pour conclure que MNP est équilatéral.

En tout cas, belle démo analytique (c'est beau, l'analyse, quand ça fonctionne)

 #14 - 17-05-2009 15:55:39

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
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Des triagles .....

jeff3999 a écrit:

Mais tu as démontré plus que ça : N est l'image de M par une rotation de centre P et d'angle 60° signifie que l'angle MPN vaut 60° ET que PM = PN, ce qui est suffisant pour conclure que MNP est équilatéral.

Comme dirais la mère Denis:
http://www.prise2tete.fr/upload/dhrm77-MereDenis.jpg


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 #15 - 19-05-2009 00:36:17

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Des tiangles .....

Mettez des matheux ensemble, placez-leur une demi-douzaine de points sur une feuille, et vous assisterez à des orgies intellectualo-masturbatoires dont on ne saurait affirmer avec précision et détermination si elles sont grandioses ou déprimantes (un peu des deux, sans doute).

Spoiler : Rajout hors-sujet Comme disait Pascal Sevran, à l'époque de sa jeunesse flamboyante et brillante tel un déambulateur récemment lustré, "est-ce que je vous em**rde avec mes glaviots, moi ?" (puis, pour l'anecdote, il rajoutait un "rheuh rheuh" gras et glougloutant, puis omettait son cancer en crachant, à l'écrit cette fois, sur les pénis des Nigériens avec un élan et une fougue que les plus grands et courageux et iconoclastes chanceliers chancelants du monde n'eurent pas renié).


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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(2) — Dessiner des triangles signification (2) — Enigme du triangle avec des clous (2) — Un cercle dans un triangle signification (2) — Triangle clou enigme (2) — Enigme trouver le nombre de triangle (2) — Enigme triangle clous (2) — (2) — Calcul d angle triangle sans mesure (2) — Combien y a-t-il de degres dans un triangle (2) — Triangle dans un cercle signification (2) — Kc.comment (2) — Enigme de geometrie forme triangle (2) — Devinette de nombre complexe (2) — Tracer angle 120 degres sans rapporteur (2) — Comment appelle t on un triangle rectangle isocele (2) — Construire un triangle isocele sans connaitre les angles (2) — Calculer le nombre de triangle dans ce schema (2) — Comment montrer avec la geometrie cartesienne que un triangle es isocele (2) — Comment tracer 1 parall?logramme avec un angle de60 degr?s (2) — Photo de la mere denis ca c est ben vrai (2) — Demontrer que deux triangles font 90 (2) — Qu est ce que la nature d un triangle ? justifier (2) — Enigme triangle equations sept baton (2) — Cercle rotation triangle (2) — Enigme mathematique lieu de points du plan triangle (2) — Deux triangles non identique inscrits dans un cercle (2) — Trigonometrie montrer qu un triangle est equilateral (2) — Comment demontrer qu un triangle est equilateral dans un cercle trigonometrique (2) — 2 triangle pour en avoir 4 (2) — Demonter qu un triangle isocele qui a un angle de 60 degres est equilateral (2) — Triangle equilateral affixe (2) — Comment justifier un triangle isocele en complex (2) — (2) — Montrer qu un triangle est equilateral dans un cercle trigo (2) — Quel est le nombre de triangles (2) — Probleme ouvert utilisant le cosinus d un angle en 4e (2) — Voici un croquis d une figure sans respect ni des mesures de longueur ni des mesures d angle. trouve les mesures des segments (2) — Probleme ouvert avec des triangle rectangles 30 degres (2) — Solution enigme des triangle (2) — Enigme triangle destination (2) — Enigme geometrique 5 ou 6 triangles (2) — Dessins des triangles (2) — Trouver le nombre de triangles (2) — Quelle est la destination enigme triangle (2) — Enigme combien de triangle dans le triangle (2) — (2) — Demontrer qu un triangle est isocele dans un repere orthonorme avec les complexes (2) — Triangles dans un cercle (2) — (2) — Tracer un angle sans rapporteur sur feuille (2) — Enigmes triangle geometrie (2) — Comment appelle t on un triangle avec 3 angle a 60degre (2) — Nombre d or sinus (2) — Comment montrer qu un triangle est rectangle isocele avec des nombres complexes (2) — Comment justifier qu un triangle est rectangle math 3eme (2) — Comment justifier la mesure des angles d un triangle (2) — Montrer qu un triangle est equilateral sur un cercle trigonometrique (2) — (2) — (2) — Triangle+enigme (2) — Tracer angle 30 degres sans rapporteur (2) — Montrer qu un triangle est rectangle a partir de mesures d angles orientes (2) — Comment trouver la nature d un triangle (2) — Triangle sur repere a 120 degres (2) — Triangles (2) — Comment justifier qu un triangle est equilateral (2) — C est bien vrai ca mere denis (2) — Enigme de triangles (2) — Justifier angles orientes et triangle quelconque (2) — Solution enigme des triangles (2) — 7 triangles equilateraux avec 6 batons (2) — Geometrie +probleme mathematique carre (2) — Demontrer nature d un triangle dans plan complexe (2) — Tracer un triangle angle 120 degree (2) — (2) — Quelle est le vrai nom du triangle quelconque (2) — Quelle est la nature du triangle deg (2) — Probleme ouvert quelle est la nature du triangle mnp (2) — Construction d un plan avec les nombres complexes (2) — Enigme vecteurs (2) — (2) — Comment justifier cercle trigonometrique (2) — Comment faire un triangle au compas avec des degres (2) — Propriete triangle equilateral en rotation de 120 degre (2) — Construire 120 degres a la regle et compas (2) — Prenez un beau triangle abc. soit o le centre de son cercle circonscrit. (2) — Quelle est la nature du triangle justifier (2) — Signification du triangle equilateral (2) — Enigme math avec triangles (2) — Enigmes geometriques difficiles (2) — Demontrer qu un triangle rectangle est isocele a l aide ddes coordones (2) — Calcul des vecteurs dans deux triangle equilateral (2) — Comment justifier en geometrie (2) — Demontrer qu un angle= 120 degre (2) — Quelconques centres triangles equilateraux (2) — Comment determiner nature triangle vecteur (2) — 3e math: construction d un triangle quelconque sans rapporteur (2) — Triangle isocele 120 degres (2) — Cercle trigonometrique aire(mnp) = (2) — 120 degres (2) — Enigme math geometrie 3 eme (2) — Shema et nom des triangles geometries (2) — Triangle 45 comment faire avec le compas (2) — C est bien vrais ca mere denis (2) — Problemes ouverts triangle rectangle et carre (2) — Ecrire trois proprietes qui permettent de justifier q un quadrilatere est un parallelogramme (2) — A l aide 6 batons identiques faire 4 triangles identiques solution (2) — 5 triangles equilateraux avec 10 batons (2) — (2) — Demontrer qu un triangle est equilateral dans un repere orthonorme (2) — (2) — 5 triangle equilaterale avec 10 baton (2) — Enigmes maths triangle et suite de chiffre (2) — Comment faire 4 triangle egaux avec 6 baton soluce (2) — Trouver l affixe d un point triangle equilateral (2) — L enigme du triangle isocele (2) — Quel est le vrai nom du triangle quelconque (2) — Nb de triangle (2) — Enigmes geometrie trinangles (2) — Comment demontrer dans un repere orthonorme qu un triangle est equilateral (2) — Propriete des vecteurs egaux triangle equilateral (2) — Demontrer triangle equilateral compexe (2) — Triangle de 120 degre (2) — Comment faire un angl de 120 degre sans rapporteur (2) — Construire 4 triangle equilteraux avec 6 batonnets (2) — Math comment mesurer un angle dans un triangle rectangle quand on en connait qu un seul (2) — Montrer qu un triangle est isocele avec complexe (2) — Comment faire un triangle equilateral avec 6 baton (2) — Comment appelle t on un triangle equilateral de 120 degres (2) — Construire triangle de 120 degre sans rapporteur (2) — Comment faire des degres en geometrie san rapporteur (2) — Les trois aiguilles d une montre forment 3 angles identiques (2) — Demo cote identique triangle isocele (2) — Conment appele tont des triangled ni isoceles ni equilateraux ni rectangles (2) — Signification des trois points (2) — Demontrer qu un triangle est isocele (2) — +dans quel sens place t on les points abc pour construire un triangle (2) — Nombre triangle enigme (2) — Determine la nature du triangle abc (2) — Construire un triangle a partir de 3 milieux de 3 cotes (2) — On fait tourner un triangle de 120 degres autour du centre o (2) — Comment justifier un triangle quelconque (2) — Expliquer pourquoi le triangle est inscrit dans le cercle trigonometrique (2) — Vecteurs (2) — Tracer angle 120 sans rapporteur (2) — Comment deteminer qu un triangle est rectangle en complex (2) — Dessins en forme de rond (2) — Comment calculer deux angles en degres d un triangle rectangle avec un raporteur? (2) — 2 triangles demontrer que l angle est rectangle (2) — Triangle equilateral (2) — Jeux nombre de triangle (2) — Comment prouver que 4 triangles font un carre (2) — Point dans un triangle equilateral (2) — Nombre de triangle ? (2) — Demontrer qu un triangle est isocele avec des vecteurs (2) — Demontrer qu un triangle est isocele dans un cercle (2) — Triangle enigme (2) — Solution analytique dans le repere triangle abc vecteurs (2) — En utilisant un repere determiner la nature du triangle (2) — (2) — Justifier qu un triangle est rectangle (2) — Ca c est bien vrai mere denis (2) — Comment faire un rotations de 90 degres geometrie (2) — Comment demontrer qu un triangle est rectangle sans faire de calculs ? (2) — Comment appelle t on un triangle avec sept cotes? (1) — Probleme ouvert du triangle equileteral et du rectangle (1) — Triangles equilateral et vecteur (1) — Comment faire une rotation en math (1) — Construire 5 triangles avec 10 batons (1) — Un triangle est isocele rectangle avec les complexes (1) — Comment justifier qu un triangle soit isocele ? (1) — Demontrer qu un triangle est rectangle dans un repere orthonorme (1) — Prouve qu un triangle est isocele sur un repere orthonorme (1) — Construire angle 60 degres au compas (1) — Vecteur (1) — (1) — Enigme geometrique nombre de triangle (1) — Triangle rempli signification (1) — Affixe centre d un triangle (1) — Comment est formee un triangle degre (1) — Signification triangle equilateral (1) — Enigmes geometriques edf (1) — Trouver l equation du nombre de triangles equilateraux dans un triangle (1) — Somme d affixe dans un triangle (1) — Dans un triangle avec angle de60 degres calculer la hauteur (1) — Triangle isocele rectangle complexes (1) — Calcul triangle isocele a 50 degres (1) — Calcul d un angle a 60degree (1) — Nombe de tiangle astuce (1) — Quel est la nature d un triangle qui a les meme cote (1) — Enigme mathematique suite complexe module (1) — Mere denis filterui:imagesize-medium (1) — Comment appelle-t-on un triangle a deux cote egaux (1) — Un triangle a combien de degr? 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