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 #1 - 21-04-2009 13:44:49

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Des trianles .....

Soit ABC un triangle quelconque et O son centre du cercle circonscrit
Soient A',B' et C' les images des points A,B et C par la rotation de centre O et d'angle 60°.
On appelle M,N et P les milieux des segments [A'B]; [B'C] et [C'A]

Quelle est la nature du triangle MNP?



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 #2 - 21-04-2009 17:57:44

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Des trianggles .....

Voila un vrai problème, et tu auras moins de réponses  big_smile
Je sèche complètement. Les 60° me feraient penser à un triangle équilatéral. Mais sans aucune confirmation roll
En tout cas bravo, c'est beaucoup mieux big_smile


http://enigmusique.blogspot.com/

 #3 - 21-04-2009 18:54:52

zikmu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 277

Des trianlges .....

Il sera équilatéral mais je ne ferai pas la demo...wink

 #4 - 22-04-2009 03:45:55

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2999
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Des trianglse .....

Je dirais un triangle equilatéral. ( un peu au hasard, apres avoir dessiné quelques configurations).


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #5 - 22-04-2009 17:26:28

dododo
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 408
Lieu: Extrême Sud-Ouest

De triangles .....

J'ai fait plein de jolis dessins, et il me semble bien qu'on obtient toujours un triangle équilatéral, mais je ne sais absolument pas comment le justifier et démontrer. Ca doit avoir rapport au fait qu'on applique une rotation de 60°...
Les réponses des autres joueurs éclaireront certainement ma lanterne !

 #6 - 22-04-2009 18:50:46

natdec62
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 327
Lieu: Boulogne/Mer

Des riangles .....

A vue de nez, sans utiliser ni compas, ni rapporteur (je n'en ai pas) ni même de règle, j'aurai tendance à dire que le triangle produit est isocèle.


Quadrumane : qui a quatre mains. Exemple : Le rossignol n'est pas quadrumane.

 #7 - 23-04-2009 04:04:41

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2999
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

des truangles .....

Admettons que les 3 points de depart A,B, et C ont pour coordonées (Xa,Ya), Xb,Yb) et Xc,Yc).
Apres quelques calculs, les points A', B' et C' ont pour coordonées:
Xa' = Xa/2 -sqrt(3)ya/2
Ya' = ya/2 + sqrt(3)xa/2
Xb' = Xb/2 -sqrt(3)yb/2
Yb' = yb/2 + sqrt(3)xb/2
Xc' = Xc/2 -sqrt(3)yc/2
Yc' = yc/2 + sqrt(3)xc/2
Les points M, N et P on donc pour coodonnées:
Xm=Xa/4 -sqrt(3)Ya/4 + Xb/2
Ym= Ya/4+sqrt(3)Xa/4 +Yb/2
Xn=Xb/4 -sqrt(3)Yb/4 + Xc/2
Yn= Yb/4+sqrt(3)Xb/4 +Yc/2
Xp=Xc/4 -sqrt(3)Yc/4 + Xa/2
Yp= Yc/4+sqrt(3)Xc/4 +Ya/2
Si on prend P comme point de reference, les points M et N ont pour coordonnées:
Xm=(Xa-Xc)/4 +sqrt(3)(Yc-Ya)/4 + (Xb-Xa)/2
Ym= (Ya-Yc)/4+sqrt(3)(Xa-Xc)/4 +(Yb-Ya)/2
Xn=(Xb-Xc)/4 +sqrt(3)(Yc-Yb)/4 + (Xc-Xa)/2
Yn= (Yb-Yc)/4+sqrt(3)(Xb-Xc)/4 +(Yc-Ya)/2
on simplifie:
Xm=(2Xb-Xa-Xc +sqrt(3)(Yc-Ya))/4
Ym= (2Yb-Ya-Yc +sqrt(3)(Xa-Xc))/4
Xn=(Xb+Xc-2Xa +sqrt(3)(Yc-Yb))/4
Yn= (Yb+Yc-2Ya +sqrt(3)(Xb-Xc))/4
si M' est une rotation de M de 60 degrés par rapport a P, ca nous donne:
Xm'=(2Xb-Xa-Xc +sqrt(3)(Yc-Ya))/8-srqt(3)(2Yb-Ya-Yc+sqrt(3)(Xa-Xc))/8
Ym'= (2Yb-Ya-Yc +sqrt(3)(Xa-Xc))/8+sqrt(3)(2Xb-Xa-Xc+sqrt(3)(Yc-Ya))/8
que l'on simplifie:
Xm'=(2Xb-4Xa+2Xc+2sqrt(3)(Yc-Yb))/8=(Xb+Xc-2Xa +sqrt(3)(Yc-Yb))/4=Xn
Ym'=(2Yb-4Ya+2Yc+sqrt(3)(2Xb-2Xc))/8=(Yb+Yc-2Ya +sqrt(3)(Xb-Xc))/4=Yn

Je viens de demontrer que N est la rotation de 60 degrés de M par rapport a P.
ce qui prouve que l'angle a P est de 60 degrés.
De la meme facon, On peut montrer que l'angle a M est aussi de 60 degrés.
il suffit de montrer que 2 angles font 60 degrés pour avoir un triangle équilatéral.


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 #8 - 23-04-2009 16:49:13

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
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eDs triangles .....

Très bien dhrm77 bien pour ceux qui ont trouvé un triangle équilatéral

 #9 - 23-04-2009 19:08:18

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

eDs triangles .....

Perso, une belle énigme comme celle-ci (si si !), je ne pouvais pas la louper !
Avant-hier soir, j'ai fait un beau schéma bien précis et joli comme j'aime bien, et pouf ! Coupure EDF ! hmm
Le triangle, a vue de nez (de Singe) semblait équilatéral, et pas eu le temps de m'y pencher plus...

Je me demande cependant s'il y a une façon géométrique de démontrer ce résultat (genre théorie des cordes lol)
Le sujet reste ouvert à la géométrie au delà de l'arithmétique wink


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #10 - 23-04-2009 19:13:01

natdec62
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 327
Lieu: Boulogne/Mer

Des triangle s.....

Je me suis trompée j'ai écrit isocèle en pensant équilatéral. C'est vrai que mes cours de géométrie remontent déjà à quelques années...sad!


Quadrumane : qui a quatre mains. Exemple : Le rossignol n'est pas quadrumane.

 #11 - 05-05-2009 16:25:49

jesuiseureka31
Visiteur

des triabgles .....

Bonjour,

Ce type d’énigme est résolu facilement si on connaît les quelques outils mathématiques adaptés à ce type de problèmes : le cercle trigonométrique et  le plan complexe associé au plan géométrique (niveau Terminale).
Comme je ne connais pas le niveau de culture mathématique des membres de ce forum, je me permets de faire un petit rappel pour les uns (et un voyage de découvertes pour les autres)

Rappels justes nécessaires :
1/ Plan complexe associé au plan géométrique. Nombre complexe associé au rotations.

1.1/
Dans un plan, on place un repère (O, e1, e2). :
O est l’origine de coordonnées (0,0),
e1 est un vecteur unitaire de composantes (0,1) pour l’axe horizontal Ox  et
e2 est un vecteur orthogonal à e1 de composantes (0,1) pour l’axe vertical Oy
Le repère (O,e1,e2) est dit orthonormal. Chaque point P a pour coordonnées (x,y) dans ce repère.

1.2/
A ce plan géométrique est associé un plan complexe de base (0,1, i) (j’expliquerai plus loin ce que signifie i dans le cadre de notre sujet)
A tout point P de coordonnées (x,y) du plan géométrique est associé un point complexe P du plan complexe de coordonnées (ou d’affixe)
   p = x+i y  sous forme cartésienne  ou
  p = r ( x cos (t) + i sin (t) )   sous forme trigonométrique ( r = le module = le « rayon »  et t est l’angle -dans le sens trigonométrique- entre les vecteurs e1 [img][/img]et OP.

Dans un plan géométrique, les composantes d’un vecteur PQ dans ce sens = coordonnées de son point destination Q – coordonnées de son point source P :
De même dans le plan complexe , l’affixe d’un vecteur PQ = affixe du point destination – affixe du point source = q – p .    Evidemment, pour un vecteur OP qui démarre en O, l’affixe du vecteur est simplement  p.

[img][/img]


1.3/
L’intérêt du plan complexe, c’est que les rotations du plan géométrique sont « traduites » en multiplication par un nombre complexe dans le plan complexe.

Exemple :  le nombre complexe associé à la rotation de 90 degrés dans le sens trigonométrique (= sens contraire des aiguilles d’une montre) s’appelle i .
Si au vecteur OP de composantes (x,y) du plan géométrique est associé dans le plan complexe un point complexe P d’affixe p alors  au vecteur OP’ rotation du vecteur OP de 90° est associé le point P’ d’affixe p’= i p .

[img][/img]

Si au vecteur OP’ du plan géométrique est associé dans le plan complexe un point complexe P’ d’affixe p’ alors  au vecteur OP’’ rotation du vecteur OP’ de 90° est associé le point P’’ d’affixe p’’= i p’ = i (i p) = i² p = - p   car OP’’ = -OP
Signification intuitive :
2 rotations successives de 90 degrés = 180° = direction opposée  è Se traduit par :  la multiplication 2 fois de i par i = i².
Ainsi l’écriture i²=-1 signifie pour nous ici que 2 rotations successives de 90° inversent la direction (le mot oppose serait plus correct).

Cela « explique » aussi pourquoi le repère du plan complexe est (O, 1, i ) car 1 représente l’affixe de e1 et i représente l’affixe de e2 perpendiculaire à e1 dans le sens trigonométrique donc e1 ayant subi une rotation de 90°.
ATTENTION : la rotation d’un vecteur implique que le module du vecteur final est de même valeur que le module du vecteur initial (on le fait seulement tourner). De même, la multiplication par un nombre complexe conserve le module.

1.4/
Dans le cas qui va nous intéresser, j’appelle k le nombre complexe associé à la rotation de 60°.
Intuitivement, nous pouvons comprendre que 3 rotations successives de 60° = 180° inversent la direction . Donc k^3 = -1. Mais la visualisation de ces nombres est plus intéressantes dans le cercle trigonométrique.

2/ Cercle trigonométrique

2.1/
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré sur O (0,0).et porté sur 2 axes Ox horizontal et Oy vertical .Les angles sont orientés dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. L’origine des angles est l’axe Ox :l’angle (OA0,OA0)= 0°,  (OA0,OA1) = +60°, (OA0,OA2) = +120°.
Les vecteurs OAi sont obtenus à partir de OA0 par rotations successives de 60° = PI/3. Dans le plan complexe cela se « traduit » par des multiplications successives par k. Ainsi les affixes des points A0, A1, A2, A3  … sont successivement 1, k, k^2, k^3, …

[img][/img]

2.2/
Ce qui important de « voir » c’est que la somme vectorielle dans le plan géométrique se traduit par une somme de nombres complexes dans le plan complexe.

Exemple : dans le plan vectoriel, la somme des 3 vecteurs OA1 + OA3 + OA5 = 0 (imaginez 3 personnes qui tirent sur des câbles avec la même force (module des vecteurs égaux) dans ces 3 directions => le point O ne bougera pas). De même, dans le plan complexe, la somme   –1 + k – k^2 = 0 .
Vous avez aussi  O0+OA2+OA4 = 0  è   1 + k^2 –k = 0 qui est l’opposé de l’équation ci-dessus.

Armés de ces outils, traduisons l’énigme :

3/ Hypothèses de l’énigme

Soient 3 points A,B,C situés sur un cercle de centre O
(1) Soient A’, B’, C’ les images des A,B,C après rotation de 60° sur le cercle.
(2) M,N,P milieux de [A’B], [B’C],[C’A]
(3) Montrer que MNP est un triangle équilatéral comme vous vous en doutiez tous.
NOTA : l’énigme suppose que les points sont sur un cercle. En fait cette hypothèse n’est pas nécessaire : vous constaterez que MNP continue d’être équilatéral MÊME SI A,B,C ne sont pas à égales distances de O !

Traductions dans le plan complexe :
a,b,c,a’,b’,c’,m,n,p affixes de leurs points respectifs

(1) se traduit par :    a’ = ka  ,  b’=kb  ,  c’=kc
(2) se traduit par    m=(a’+b)/2    ,  n=(b’+c)/2      ,  p=(c’+a)/2   
(3) MNP équilatéral dans cet ordre
=>    le vecteur MP = le vecteur MN ayant subi une rotation directe de 60° (et cette seule transformation est suffisante)
=>     m – p = k (m – n)   ce qui est à démontrer.
Rappel : k est le nombre complexe qui traduit une rotation de 60° (cf cercle ci-dessus)

4/ Résolution
La résolution commence véritablement ici :
  m – p = k (m – n)   
=> d’après (2)   
½ (a’+b) – ½ (c’+a) = k ( ½ (a’+b) – ½ (b’+c)
=> en multipliant par 2 pour éliminer les ½ et en transposant tout du même côté :
  a’ + b - c’ – a -ka’ –kb + kb’ + kc =0
=> en remplaçant a’,b’ et c’ d’après (1)
ka + b –kc – a – kka – kb + kkb + kc =0
=> en regroupant les termes en a,b,c
a (-1 + k – k^2)  + b (1 – k + k^2) + c (+1 –1 ) = 0
=> d’après le paragraphe 2.2/  nous savons que
(-1 + k – k^2)  =0
(1 – k + k^2) =0
et évidemment (+1 –1 ) =0             CQFD

Vous noterez qu’à aucun moment nous n’avons besoin de supposer que les distances OA, OB, OC sont égales è les points ABC n’ont pas besoin d’être sur le cercle inscrit par ABC.

5/ Pour ceux que çà intéresse, voici une énigme dans la même veine :

Soit un carré OABC. Soit un carré OPQR « accroché » au carré précédent en O selon un angle quelconque.
Soient OCMP et ORNA les 2 parallélogrammes qui jouxtent les 2 carrés.
Montrer que le polygone des centres de ces 4 polygones ci-dessus est un CARRE quelque soit la taille des carrés de départ et l’angle d’accroche !!
Piste : cette fois, le nombre complexe à utiliser est i . faites le cercle trigonométrique.

 #12 - 05-05-2009 19:30:03

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

des truangles .....

jesuiseureka31 a écrit:

NOTA : l’énigme suppose que les points sont sur un cercle. En fait cette hypothèse n’est pas nécessaire : vous constaterez que MNP continue d’être équilatéral MÊME SI A,B,C ne sont pas à égales distances de O !

Excellent!
c'est vrai que ca marche en dehors d'un cercle.

On peut aussi noter que les 3 points d'orgine n'ont pas necessairement besoin d'être distincts. Si 2 des points sont identiques (A=B) on obtient toujours un triangle équilateral.
Si les 3 points sont identiques, on obtient un triangle dont les cotés sont de longueur nulle. Donc difficile de dire si les angles font 60°... lol


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 #13 - 17-05-2009 10:28:46

jeff3999
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Des triangles ....

Petite précision sur la réponse de DHRM77 :

Tu as écrit : "Je viens de demontrer que N est la rotation de 60 degrés de M par rapport a P.ce qui prouve que l'angle a P est de 60 degrés."

Mais tu as démontré plus que ça : N est l'image de M par une rotation de centre P et d'angle 60° signifie que l'angle MPN vaut 60° ET que PM = PN, ce qui est suffisant pour conclure que MNP est équilatéral.

En tout cas, belle démo analytique (c'est beau, l'analyse, quand ça fonctionne)

 #14 - 17-05-2009 15:55:39

dhrm77
L'exilé
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Des triiangles .....

jeff3999 a écrit:

Mais tu as démontré plus que ça : N est l'image de M par une rotation de centre P et d'angle 60° signifie que l'angle MPN vaut 60° ET que PM = PN, ce qui est suffisant pour conclure que MNP est équilatéral.

Comme dirais la mère Denis:
http://www.prise2tete.fr/upload/dhrm77-MereDenis.jpg


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 #15 - 19-05-2009 00:36:17

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Des trriangles .....

Mettez des matheux ensemble, placez-leur une demi-douzaine de points sur une feuille, et vous assisterez à des orgies intellectualo-masturbatoires dont on ne saurait affirmer avec précision et détermination si elles sont grandioses ou déprimantes (un peu des deux, sans doute).

Spoiler : Rajout hors-sujet Comme disait Pascal Sevran, à l'époque de sa jeunesse flamboyante et brillante tel un déambulateur récemment lustré, "est-ce que je vous em**rde avec mes glaviots, moi ?" (puis, pour l'anecdote, il rajoutait un "rheuh rheuh" gras et glougloutant, puis omettait son cancer en crachant, à l'écrit cette fois, sur les pénis des Nigériens avec un élan et une fougue que les plus grands et courageux et iconoclastes chanceliers chancelants du monde n'eurent pas renié).


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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(2) — (2) — Ca c est bien vrai mere denis (2) — Justifier qu un triangle est rectangle (2) — En utilisant un repere determiner la nature du triangle (2) — Tracer angle 120 sans rapporteur (2) — Comment faire un rotations de 90 degres geometrie (2) — Solution analytique dans le repere triangle abc vecteurs (2) — Jeux nombre de triangle (2) — Triangle enigme (2) — Triangle equilateral (2) — Montrer qu un triangle est isocele avec complexe (2) — Propriete des vecteurs egaux triangle equilateral (2) — Triangle de 120 degre (2) — Comment faire un angl de 120 degre sans rapporteur (2) — Quelconques centres triangles equilateraux (2) — 3e math: construction d un triangle quelconque sans rapporteur (2) — Enigmes geometrie trinangles (2) — Trouver l affixe d un point triangle equilateral (2) — Comment faire 4 triangle egaux avec 6 baton soluce (2) — Comment appelle t on un triangle equilateral de 120 degres (2) — Comment faire des degres en geometrie san rapporteur (2) — L enigme du triangle isocele (2) — Signification des trois points (2) — Quel est le vrai nom du triangle quelconque (2) — Construire 4 triangle equilteraux avec 6 batonnets (2) — Demontrer triangle equilateral compexe (2) — Demontrer qu un triangle est isocele (2) — Nb de triangle (2) — Comment demontrer dans un repere orthonorme qu un triangle est equilateral (2) — Nombre triangle enigme (2) — Conment appele tont des triangled ni isoceles ni equilateraux ni rectangles (2) — Comment faire un triangle equilateral avec 6 baton (2) — Demo cote identique triangle isocele (2) — Construire un triangle a partir de 3 milieux de 3 cotes (2) — Math comment mesurer un angle dans un triangle rectangle quand on en connait qu un seul (2) — Construire triangle de 120 degre sans rapporteur (2) — Comment determiner nature triangle vecteur (2) — Cercle rotation triangle (2) — 2 triangle pour en avoir 4 (2) — Comment demontrer qu un triangle est equilateral dans un cercle trigonometrique (2) — Triangle 120 degres (2) — Quelle est la nature du triangle abc vecteurs il est equilateral (2) — Triangle isocele avec des nombres complexes (2) — Comment tracer des vecteurs dans un plan complexe (2) — Enigme du triangle avec des clous (2) — Demontrer qu un triangle est isocele complexe (2) — (2) — Triangle abc 75degres (2) — Jeu nombre de triangle (2) — Dessiner des triangles signification (2) — Combien y a-t-il de degres dans un triangle (2) — Comment calculer les angle pour demonter q un triangle est isocel (2) — Www.les nature des triangle.fr (2) — Enigme triangle clous (2) — (2) — Enigme trouver le nombre de triangle (2) — Triangle clou enigme (2) — Comment appelle t on les chiffres identique (2) — 4 triangles isocelle 7 batonnets (2) — Enigmes complexe (2) — Je peut tracer un triangle avec 3 nombres au hasard ? (2) — Un cercle dans un triangle signification (2) — 10 batons 5 triangles equilateraux (2) — Triangle avec 3 angles identiques (2) — Astuces demonstration d es triangles (2) — 8 batons 2 carre et 4 triangle (2) — Probleme ouvert triangle et cercle (2) — Nombre de triangle dans un carre (2) — Qu est ce q un triangle equilaterale en math (2) — Affixe de vecteur triangle isocele (2) — Determiner la nature d un triangle avec les modules (2) — Construction d un angle a 120 (2) — Enigme triangle rectangle et cercle circonscrit (2) — Montrer qu un triangle est equilateral dans un repere par les complexes (2) — Enigme nb de triangle dans un rectangle (2) — Construis avec precision et sans rapporteur un angle dont le cosinus est 2/5. justifie. (2) — Montrer qu un triangle est equilateral sur un cercle trigonometrique (2) — Calcul trigonometrique adapte au triangle quelconque (2) — Quel est la nature du triangle dans les angles sont tous egales a 60 degres (2) — Signification triangle dessin (2) — Calcul d angle triangle sans mesure (2) — Comment apel t on un triangle qui a aucun cote idintique mathematique 6 eme (2) — Enigme du triangle (2) — Ca c est vrai ca mere denis (2) — Demontrer qu un triangle est isocele dans 2 cercles (2) — Nombre complexe prouver que le triangle est isocele (2) — Justifier qu un point est sur le cercle trigo (2) — Montrer qu un triangle est isocele avec des vecteurs (2) — Comment dessiner un ongle de 120 degre (2) — Triangle dans un cercle signification (2) — Quelle est la destination enigme triangle (2) — Enigme combien de triangle dans le triangle (2) — Nombre d or sinus (2) — (2) — Triangle+enigme (2) — Dessins des triangles (2) — Tracer angle 30 degres sans rapporteur (2) — Voici un croquis d une figure sans respect ni des mesures de longueur ni des mesures d angle. trouve les mesures des segments (2) — Prouver que c est un triangle quand on connait les 3 cotes (2) — Enigme triangle destination (2) — Faire triangle isocele 120degres (2) — Probleme ouvert avec des triangle rectangles 30 degres (2) — Trouver le nombre de triangles (2) — Probleme ouvert utilisant le cosinus d un angle en 4e (2) — Triangles isoceles inscrits cercle trigonometrique (2) — Comment justifier qu un triangle est rectangle math 3eme (2) — (2) — (2) — (2) — Comment appelle t on un triangle avec 3 angle a 60degre (2) — Tracer un angle sans rapporteur sur feuille (2) — Demontrer qu un triangle est isocele dans un repere orthonorme avec les complexes (2) — Triangles dans un cercle (2) — Enigme geometrique 5 ou 6 triangles (2) — Comment montrer qu un triangle est rectangle isocele avec des nombres complexes (2) — Solution enigme des triangle (2) — Enigmes triangle geometrie (2) — Tracer angle 120 degres sans rapporteur (2) — Photo de la mere denis ca c est ben vrai (2) — Quel est le nombre de triangles (2) — Enigme triangle equations sept baton (2) — Comment montrer avec la geometrie cartesienne que un triangle es isocele (2) — Calculer le nombre de triangle dans ce schema (2) — Comment justifier la mesure des angles d un triangle (2) — Kc.comment (2) — Enigme de geometrie forme triangle (2) — Devinette de nombre complexe (2) — Construire un triangle isocele sans connaitre les angles (2) — Comment tracer 1 parall?logramme avec un angle de60 degr?s (2) — Comment appelle t on un triangle rectangle isocele (2) — Triangle equilateral affixe (2) — Demonter qu un triangle isocele qui a un angle de 60 degres est equilateral (2) — Comment justifier un triangle isocele en complex (2) — Enigme mathematique lieu de points du plan triangle (2) — Demontrer que deux triangles font 90 (2) — (2) — Qu est ce que la nature d un triangle ? justifier (2) — Montrer qu un triangle est equilateral dans un cercle trigo (2) — Trigonometrie montrer qu un triangle est equilateral (2) — Deux triangles non identique inscrits dans un cercle (2) — Repere orthonorme cercle circonscrit au triangle (1) — Enigme+triangles (1) — Comment demontrer la nature d un triangle rectangle (1) — Vecteur: comment justifier la nature d un triangle (1) — Abc quelconques centres mnp mnp equilateral (1) — Demontrer l affixe dun point (1) — Tracer un angle sans compas ni rapporteur (1) — Comment appelle t-on les type de dessin (1) — Nature de 2 triangles dans un cercle (1) — Enigme pour avoir quatres triangles (1) — 10 baton egaux5 triangle equilaterale (1) — Calcul angle 60degres avec regle du triangle (1) — Somme de 3 vecteurs (1) — 3 vecteurs forment un triangle (1) — Comment demontrer un triangle dans un repere (1) — Demontrer que 2 angles sont identiques (1) — Triangle et complexe (1) — Montrer deux angles identique (1) — Demontrer q un triangle est equilateral (1) — Calcul angle a 120 degres (1) — Triangle de degre 1 (1) — Comment trouver l affixe d un point d un carre dan les complexe (1) — Complexe les natures de triangle (1) — (1) — Rotation triangle circonscrit (1) — Montrer qu un ensemble de points d une suite complexe forme un triangle rectangle (1) — Comment faire pour savoir la de deux triangle si on en connait q un angle (1) — Pascal point segment enigme (1) — Batonnet triangle equilateral (1) — (1) — (1) — 10 batonnet triangle equilateral (1) — Enigme de math (1) — (1) — Triangle isocele+calcul sans justifier les angles (1) — (1) — Comment justifier d un triangle est isocele (1) — Comment prouver q un triangle est isocele? 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