Considérons qu'il y a autant de sources que de trous : $n=m$ (vu qu'ils tendent tous deux vers l'infini, ça n'a rien de gênant, au contraire : cela simplifiera le calcul de la limite en l'infini).

Chaque seconde, la source k remplit $\frac{1}{(2k-1)^2}$ en considérant que la contenance du réservoir est 1. Le trou k remplit $\frac{1}{(2k)^2}$ (pense à corriger ton énoncé, tu as oublié le 2).

Chaque seconde, voilà donc la proportion du réservoir qui se remplit :
$$\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{a(2k-1)^2} - \frac{1}{a(2k)^2}) = \sum_{k=1}^{n} \frac{(2k)^2-(2k-1)^2}{a(2k)^2(2k-1)^2} = \sum_{k=1}^{n} \frac{4k^2-(4k^2-4k+1)}{a(2k)^2(2k-1)^2} = \frac{1}{a} \times \sum_{k=1}^{n} \frac{4k-1}{(2k)^2(2k-1)^2} = \frac{1}{a} \times \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k(2k-1)^2} - \frac{1}{(2k)^2(2k-1)^2})$$
Et là, je bloque, parce que malgré mes bidouillages, je n'arrive pas à calculer cette satanée somme... Excel me la donne égale environ à 0,82246702, et comme le nombre calculé ci-dessus est l'inverse du temps de remplissage du réservoir en secondes, j'en déduis qu'il faut environ 1,2159 a secondes pour remplir. Mais il va falloir que je trouve cette satanée somme

http://www.4shared.com/file/112089675/e … nline.html