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 #1 - 29-08-2009 00:24:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

contunue même en 0

Bonsoir

Un petit problème ( élémentaire ) pour les analystes . Existe-t-il une fonction continue de [latex]\mathbb{R}[/latex] dans lui même telle que l'image de tout irrationnel soit irrationnelle , l'image de tout rationnel non nul soit rationnelle et telle que l'image de 0 soit irrationnelle ?

Amusez-vous bien big_smile

Vasimolo



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#0 Pub

 #2 - 29-08-2009 09:45:01

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 932

Continue mêmme en 0

L'irrationnel α est nécessairement la limite d'une suite de rationnels q1, q2... n'ayant jamais deux termes consécutifs égaux.
Il suffit de construire une fonction paire, vérifiant :
* f(0)=α
* f(1/n)=qn
* affine sur chaque intervalle de la forme [1/(n+1);1/n]
* f(x)=q1+1-x pour x>1

Pour rester plus accessible, on peut choisir par exemple, pour avoir f(0)=π
f(1) = q1 = 3,1 = f(-1)                     
f(1/2) = q2 = 3,14 = f(-1/2)
f(1/3) = q3 = 3,141 = f(-1/3)
f(1/4) = q4 = 3,1425 = f(-1/4)
etc.
Si le prochaine décimale est 0, on passe tout de suite à la non-nulle suivante.

On place tous les points sur un graphique et on les relie par des segments de droite. Les droites ayant des équations de type y=ax+b avec a et b rationnels, a non nul, on aura bien les conditions voulues.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #3 - 31-08-2009 23:32:31

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Continue même e n0

Une seule réponse mais il y a tout big_smile

Bravo scrablor !!!

Vasimolo

 #4 - 01-09-2009 10:34:28

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Continue même en 00

En effet, superbe réponse smile


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