L'irrationnel α est nécessairement la limite d'une suite de rationnels q1, q2... n'ayant jamais deux termes consécutifs égaux.
Il suffit de construire une fonction paire, vérifiant :
* f(0)=α
* f(1/n)=qn
* affine sur chaque intervalle de la forme [1/(n+1);1/n]
* f(x)=q1+1-x pour x>1

Pour rester plus accessible, on peut choisir par exemple, pour avoir f(0)=π
f(1) = q1 = 3,1 = f(-1)                     
f(1/2) = q2 = 3,14 = f(-1/2)
f(1/3) = q3 = 3,141 = f(-1/3)
f(1/4) = q4 = 3,1425 = f(-1/4)
etc.
Si le prochaine décimale est 0, on passe tout de suite à la non-nulle suivante.

On place tous les points sur un graphique et on les relie par des segments de droite. Les droites ayant des équations de type y=ax+b avec a et b rationnels, a non nul, on aura bien les conditions voulues.

En effet, superbe réponse