Enigme Allongement de ficèles 1/2 @ Prise2Tete

JustineF · #1

1/ Vous prenez une balle de ping pong, dont le diamètre fait 4 centimètres.
A l'aide d'une ficèle, vous vous en faites exactement le tour. Vous ajoutez un mètre à votre bout de ficèle, et vous écartez le tout pour former un nouveau cercle parfait centré sur votre balle.

Un petit schéma pour essayer de vous expliquer ça mieux :

De quelle distance la ficèle s'écarte-t-elle de la balle ?

2/ Imaginons maintenant que vous puissiez faire le tour de la Terre à l'équateur avec une ficèle. On suppose que la Terre est parfaitement ronde le long de la ligne d'équateur, et on prendra son diamètre moyen comme valeur de calcul. Vous ajoutez un mètre à votre ficèle, vous écartez le tout pour que ça fasse un cercle parfait centré sur la terre.

De quelle distance votre ficèle s'écarte-t-elle de la surface de la Terre ?

EfCeBa · #2

P le périmètre initial de la corde,
D1 le diamètre initial de la corde,
D2 le diamètre final de la corde,
on cherche d = (D2-D1)/2

P = pi*D1
P+1 = pi*D2 d'ou D2 = (D1*pi+1)/pi
d'ou d = ((D1*pi+1)/pi-D1)/2
soit d = 1/(2*pi) m (env. 16cm) quelque soit D1.

keora · #3

En fait, peut importe la circonférence initiale...
A l'origne:
C= 2*PI*R
In fine
C+1=2*PI*R'
donc
=> 2*PI*R'-2*PI*R=1
=> 2*PI(R'-R)=1
=> R'-R= 1/(2*PI)

L'augmentation du rayon sera toujours de 1/(2*PI)

C'est étonnant, mais c'est comme ça

dhrm77 · #4

mathematiques elementaires.
Spoiler : [Afficher le message]

scarta · #5

Alors pour le 1/ comme pour le 2/ on a
2*pi*r + 1 = 2*pi*r'
d'où r'-r = 1/2*pi = 15.9 cm environ.

Ca parait paradoxal mais en réalité on a tendance à oublier que le périmètre d'un cercle est une fonction linéaire du rayon (rayon 2 fois plus grand => périmètre deux fois plus grand, et rayon plus une constante c1 => périmètre plus une constante c2)

golipe · #6

Dans tous les cas, l'augmentation du rayon sera d'environ 15,9 cm = 1/2pi mètre.

DraKounet · #7

Petit rappel :
<périmètre> = 2 * PI * <rayon> = PI * <diamètre>

On pose le diamètre D de la balle :
D = 4 cm

La taille de la ficelle est donc :
L = PI * D

Ficelle avec 1 mètre de plus :
L1 = PI * D + 1

Diamètre avec 1 mètre de plus :
D1 = (PI * D + 1) / PI
D1 = D + 1 / PI

Distance d séparant les 2 rayons:
d = D1 / 2 - D / 2
d = 1 / (2PI)
d = 15.9cm (arrondi)

J'en conclut que l'écart entre le rayon de la ficelle augmentée d'1 mètre et le support n'est pas en fonction du diamètre de celui-ci. Dans notre cas, 1 mètre de périmètre en plus augmente le rayon d'environ 15.9cm.

papiauche · #8

Perso, je trouve la ficelle un peu grosse:)

L'écart de rayon est proportionnel à l'écart de longueur, donc avec une balle de ping-pong ou la terre c'est pareil.

Donc réponse unique aux deux questions:

2*pi*d=1
d= 1/(2*pi)

Laure · #9

Périmètre de la balle de ping-pong=4Pi
Périmètre total du cercle formé par la ficelle=4Pi +100
................................................................=2Pi(2+d)

Donc 4Pi +100=2Pi(2+d)
4Pi +100=4Pi + 2Pid
2Pid=100
d=100/(2Pi)
d=15,91cm

Pour la terre c'est pareil... on peut changer d'unités pour varier...
Equateur=PiD(diamètre terre)
Donc pour 1m "de plus",...
Périmètre=PiD+1m
Périmètre=2Pi(R+d)=PiD+2pid
D'où, PiD+1=PiD+2Pid
2Pid=1
d=1/(2pi)
d=0,16m environ

JustineF · #10

Effectivement, il s'agit de mathématiques élémentaires, comme dit dhrm77, mais j'aime bien le résultat de ce petit problème.
Qui aurait pu le prévoir avant de poser le calcul ?

aeoc_ · #11

Ah pardon ! tout cela n'est pas strictement exact.
Car à la surface de la terre, il n'y a que les dix premières décimales de pi() qui sont exactes. Au delà la valeur théorique de pi() diminue.
Donc la distance à la corde diminue, ce qui choque encore davantage le sens commun.
Eh oui, il faut se rappeler que nous ne vivons pas dans la géométrie euclidienne.

Franky1103 · #12

Exactement. Sans même tenir compte d'une vitesse de la lumière finie, ce qui augmenterait encore l'illusion d'optique

Klimrod · #13

... sans compter qu'avec le réchauffement climatique, le niveau de la mer augmente. La corde risque donc d'être mouillée, ce qui va la contracter et en diminuer sa longueur...

Clydevil · #14

Ah pardon ! tout cela n'est pas strictement exact.
Car à la surface de la terre, il n'y a que les dix premières décimales de pi() qui sont exactes. Au delà la valeur théorique de pi() diminue.
Donc la distance à la corde diminue, ce qui choque encore davantage le sens commun.
Eh oui, il faut se rappeler que nous ne vivons pas dans la géométrie euclidienne.

C'est une allusion à quoi cela? à la courbure de l'espace temps engendrée par la gravite de la terre?

MthS-MlndN · #15

Les cercles que l'on dessine sur Terre sont légèrement moins circulaires que ceux qui sont dessinés sur Mars, ce qui rend pi (défini via le rapport de la circonférence au rayon) légèrement plus petit que sa valeur théorique. Je trouve ça logique

Clydevil · #16

Eh oui, il faut se rappeler que nous ne vivons pas dans la géométrie euclidienne.

Alors c'est cela qui m'a enduit d'erreur, car ce n'est pas parce que la terre est un patatoïde et non une sphère parfaite que ca rend la chose non euclidienne.
Et puis après faut voir comment vous définissez votre "Pi" plus petit, comme un rapport de deux choses admettons, mais comment définir le rayon d'un patatoïde alors? ca devient assez complexe. Ou alors c'est que je n'ai toujours pas pigé ce que vous entendez par Pi plus petit.

Azdod · #17

La terre est un Ellipsoïde : En général l'ellipsoïde possède 3 rayons différents ! mais la terre possède que 2 !
En fait, les 2 rayons équatoriaux sont égaux ( 6378 Km chacun ) ce qui nous donne que le périmètre de la terre à l'équateur est un cercle et non un ellipse.
Cependant le diamètre polaire est un peu plus petit.
ce qui explique que la pesanteur est la même sur l'équateur et augmente tant que nous nous dirigeons vers les pôles

Azdod · #18

Pour la terre : a = c = 6 378,137 km
et b = 6 356,752 km

MthS-MlndN · #19

On suppose que la Terre est parfaitement ronde le long de la ligne d'équateur, et on prendra son diamètre moyen comme valeur de calcul.

Questions ?

aeoc_ · #20

Clydevil a écrit:
Ah pardon ! tout cela n'est pas strictement exact.
Car à la surface de la terre, il n'y a que les dix premières décimales de pi() qui sont exactes. Au delà la valeur théorique de pi() diminue.
Donc la distance à la corde diminue, ce qui choque encore davantage le sens commun.
Eh oui, il faut se rappeler que nous ne vivons pas dans la géométrie euclidienne.
C'est une allusion à quoi cela? à la courbure de l'espace temps engendrée par la gravite de la terre?

Exact.
Et rien à voir avec la forme patatoïdale de la terre.

Clydevil · #21

C'est une allusion à quoi cela? à la courbure de l'espace temps engendrée par la gravite de la terre?
Exact.

Du coup je me demande s'il n'y a pas confusion entre courbure de l'espace temps et courbure de l'espace, je ne suis pas sur que l'espace soit courbé par la gravité (mais "sur" que l'espace temps l'est) je me trompe ? >> utiliser message perso ou topic dans blabla pour me répondre sinon on va troller :p

Franky1103 · #22

Azdod a écrit:
Pour la terre: a = c = 6 378,137 km et b = 6 356,752 km

Longueur d'une ficelle tendue:
- le long de l'équateur: 40 075 017 m,
- en passant par les pôles: 40 007 862 m.
Soit un écart de 0,168% quand même.

aeoc_ · #23

Clydevil a écrit:
C'est une allusion à quoi cela? à la courbure de l'espace temps engendrée par la gravite de la terre?
Exact.
Du coup je me demande s'il n'y a pas confusion entre courbure de l'espace temps et courbure de l'espace, je ne suis pas sur que l'espace soit courbé par la gravité (mais "sur" que l'espace temps l'est) je me trompe ? >> utiliser message perso ou topic dans blabla pour me répondre sinon on va troller :p

Pour en finir:
'Histoire des mathématiques' par Marcel Boll (PUF), page 113 et 'la relativité' par Paul Couderc: "C'est la gravitation qui empêche notre espace d'être euclidien".

Clydevil · #24

Je vais répondre en PM car je n'aurais évidemment pas accès facilement à la dite page 113, et la citation donnée n'est absolument en rien incompatible avec ce que je disais.

MthS-MlndN · #25

aeoc_ a écrit:
Pour en finir

J'aime ce genre de certitudes inébranlables qui coupent court à tout débat sans même nous donner le moindre élément de compréhension (je dois supposer que tu as raison tant que je n'ai pas pu acheter le bouquin, c'est ça ?)

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#1 - 25-01-2008 12:38:38

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