Hello,
Voici enfin la réponse bien attendue. 
Tout d'abord, je vous remercie tous pour votre active participation.
Je regrette profondément que hlhnet n'ait pas participé à ce déni du 50-50. 
Le débat quant à l'interprétation de l'énoncé n'apportait que deux possibilités :
Mme Enigme a écrit:
Je lance n pièces non truquées. Sachant que n-1 lancers donnent pile, quelle est la probabilité d'avoir une face ?
Soit n-1 et seulement n-1 lancers donnaient pile et il y avait alors 100% de chance d'avoir une face,
soit n-1 lancers donnaient pile et un lancers était indéterminé, ce qui revient à n-1 lancers au moins donnant pile.
A mon sens, la seconde interprétation est la seule bonne. Dans la première, tout est déterminé et il n'y a pas de probabilité à évaluer. De plus, elle ne peut être juste que si "n-1 et seulement n-1" avait été énoncé, ce qui n'est pas le cas. Dans la seconde interprétation, le "au moins" est implicite.
Mais admettons que ça reste discutable.
Les deux solutions possibles étant 100% et n/(n+1) (démontré ci-dessous), tous ceux qui ont répondu 50% se sont trompés.
50% : 11 réponses
n/(n+1) : 6 réponses
100% : 2 réponses
Ensuite, je précise que la bonne réponse n'est pas la plus simple. 100% est la réponse la plus simple. De part l'indice que j'ai donné, la première interprétation de l'énoncé est donc définitivement à mettre de coté.
Il reste au moins n-1 piles. Quelle est la probabilité d'avoir une face ?
Monstration :
PPPPPPPPPP : 1 possibilité d'avoir n Piles (notées 'P')
OPPPPPPPPP
POPPPPPPPP
PPOPPPPPPP
PPPOPPPPPP
PPPPOPPPPP : n possibilités d'avoir n-1 Piles et une Face (notée 'O')
PPPPPOPPPP
PPPPPPOPPP
PPPPPPPOPP
PPPPPPPPOP
PPPPPPPPPO
Sur n+1 possibilités, n donnent une Face.
La probabilité d'avoir une face = [latex] \frac{n}{n+1}[/latex]
Démonstration:
Soit p la probabilité d'avoir une face en un lancer.
La probabilité d'avoir 0 face ou 1 face ou 2 faces ou 3 faces ou ... ou n faces :
[TeX]=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{(n-i)}=1[/TeX]
où [latex]\binom{n}{i}=\frac{n!}{i!(n-i)!}[/latex]= le nombre de possibilité d'avoir i faces.
La probabilité d'avoir une Face (i=1) et n-1 Piles :
[TeX]=\binom{n}{1}p^{1}(1-p)^{(n-1)}[/TeX][TeX]=\frac{n!}{1!(n-1)!}p^{1}(1-p)^{(n-1)}[/TeX][TeX]=n.p^{1}(1-p)^{(n-1)}[/TeX]
La probabilité d'avoir au moins n-1 Piles ou la probabilité d'avoir soit 0 (i=0) soit 1 (i=1) Face :
[TeX]=\binom{n}{1}p^{1}(1-p)^{(n-1)}+\binom{n}{0}p^0(1-p)^{(n-0)}[/TeX][TeX]=\frac{n!}{1!(n-1)!}p(1-p)^{(n-1)}+\frac{n!}{0!n!}(1-p)^{(n)}[/TeX][TeX]=n.p(1-p)^{(n-1)}+(1-p)^{(n)}[/TeX]
On trouve alors la probabilité conditionnelle d'avoir une Face en ayant n-1 Piles :
P (1 face si n-1 Piles) = [latex]\frac{P(1 Face)}{P((n-1) Piles)}=\frac{n.p(1-p)^{(n-1)}}{n.p(1-p)^{(n-1)}+(1-p)^{(n)}}[/latex]
Comme les pièces ne sont pas truquées, p = (1-p) :
P (1 face si n-1 Piles) = [latex]\frac{n}{n+1}[/latex]
CQFD 
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