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 #1 - 05-02-2010 23:34:12

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

trous câbles + 3 indices

Bonsoir smile

Un problème inspiré d'un sangaku .

On veut faire passer trois câbles ( dont deux ont la même section ) , dans une gaine partagée par une cloison suivant le schéma ci-dessous :

http://img64.imageshack.us/img64/8944/lestroiscbles.jpg

Si on note a et b les rayons des câbles jaunes et bleus , quel doit être , en fonction de a et b , le rayon c de la gaine contenant les trois câbles ?

L'exercice n'est pas facile mais ne demande pas de connaissances mathématiques supérieures à celles du collège tongue

Amusez-vous bien smile

Indice 1 :

Spoiler : [Afficher le message] Observer attentivement les mesures dans le rectangle noir smile

http://img171.imageshack.us/img171/8969/indice1.jpg


Indice 2 :

Spoiler : [Afficher le message] Sans commentaire smile

http://img685.imageshack.us/img685/1342/indice2.jpg


Indice 3 :

Spoiler : [Afficher le message] Pythagore

http://img297.imageshack.us/img297/5084/indice3.jpg


PS : vous pouvez tester votre calcul dans le cadre ci-dessous avec a = 6 et b = 9 alors c = ? ( mais l'objectif est le cas général  !!! )

Vasimolo



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 #2 - 06-02-2010 23:22:21

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Trois câblles + 3 indices

J'ai ajouté un indice qui devrait débloquer la situation , mais attention , malgré les apparences , les sangakus ne sont jamais simples big_smile

Vasimolo

 #3 - 06-02-2010 23:25:58

MMORgan
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 172

Trois cbâles + 3 indices

Apparemment ton problème n'a pas l'air de passionner les foules donc je vais essayer de m'y mettre, il semble intéressant mais pas évident.

On montre que la meilleure façon de poser les trois cercles est celle décrit sur le dessin (ça se voit bien visuellement...)
On note #C le cercle recherché et O son centre.
A et B les centre du petit et grand cercle du bas, respectivement. Et A' le centre du petit cercle du haut.
On a [OA), [OB) et [OA') coupant #C ...

Ainsi, on arrive a déterminer un point de #C : le point intersection entre la médiatrice de la cloison et le cercle du haut (n'appartenant pas à la médiatrice).
Il en reste deux à obtenir...

J'essaie de faire le cas a=b mais j'ai rien de probant.

Avec l'indice 2 et un coup de Pythagore
c= (a+2b)²/(4b)
Il faut donc seulement justifier le ptit rectangle.
Est-ce que c a une signification géométrique, ou autrement, est-ce qu'il existe une preuve géométrique de ce résultat ? (ce que j'ai fait c'est très calculatoire et analytique)

 #4 - 06-02-2010 23:40:39

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 932

trois câbles + 3 indicrs

L'indice permet d'avancer valablement, merci cool mais je soupçonne une méthode plus expéditive que la mienne...
Avec trois fois Pythagore, j'écris qu'une longueur vaut la somme de deux autres et je simplifie par 2*rac(a).
[TeX]sqrt{ c-2a } + sqrt{ c-b-a } = sqrt{ b }[/TeX]
J'en tire... si on m'y pousse lol :
[TeX]c = a + b + \frac {a^2}{4b}[/TeX]
N.B. : Ce calcul ne vaut plus si b<a/2 car la configuration dans le rectangle noir est différente : le petit câble bleu flotte dans le trou ! Je m'en suis aperçu en essayant de faire tendre b vers zéro...


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #5 - 09-02-2010 00:06:47

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Trois câbles + 3 indics

Dernier indice ! Il reste un peu de calcul à faire mais pas trop smile

Vasimolo

 #6 - 09-02-2010 01:17:54

MMORgan
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 172

Tros câbles + 3 indices

Preuve des longueurs du rectangle :
Les extremités du triangle sont les centres des trois cercles qui se trouvent là (dont celui à trouver).
Le premier côté du triangle mesure bien c-b puisque c'est le segment est situé sur un rayon du cercle #B et du cercle #C. Idem pour la longueur c-a. Idem pour la longueur c-2a avec le diamètre du cercle du haut.
Après le a+b est amusant puisque c'est simplement la somme des rayons smile, puisqu'on sait que les deux cercles sont tangeants.

Maintenant 2a+b-c est facile puisque le cercle #B touche la cloison donc on a pris la longueur l vérifiant l+c-2a=b.

De l'autre côté, on a 3a-c puisque 3a-c+c-2a=a et la petit cercle touche la cloison également. Et enfin on a le b-a en bas à droite.

Avec un peu de motivation l'indice 2 n'était pas nécessaire :]


On passe d'un problème compliqué avec des cercles dans tous les sens à un problème avec des carrés et des rectangles classique. J'aime bien les maths smile Merci pour cette énigme.

MMorgan

 #7 - 12-02-2010 16:21:39

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2124

teois câbles + 3 indices

Ardu!

par Pythagore

(x+y)^2 = 4ab
x^2=4a*(c-a-b)
y^2= 4a*(c-2a)

b^0,5 = (c-2a)^0,5+(c-(a+b))^0,5

Allo Wolfram:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=b^ … a-b%29^0.5

c = (a^2+4 a b+4 b^2)/(4 b)

Pour a=6 et b=9:

c=16


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #8 - 13-02-2010 09:32:49

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Trois câbels + 3 indices

MMORgan a écrit:

il semble intéressant mais pas évident.

Non, on dit : "très sympa, mais pas si facile", m'enfin roll


http://enigmusique.blogspot.com/

 #9 - 13-02-2010 12:00:09

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Trois câbles + 3 idnices

Dur dur dur hmm

Mais ça m'a permis d'apprendre ce qu'est un sangaku, et j'ai trouvé un article sympa sur le théorème japonais :

http://www.inclassablesmathematiques.fr … .html#more


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #10 - 13-02-2010 20:15:15

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Troois câbles + 3 indices

Je suis sans internet depuis 48 heures mais je réponds dès que j'arrive à squatter la ligne de mon voisin big_smile

En tout cas merci aux participants smile

Vasimolo

 #11 - 14-02-2010 22:58:15

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Trois câbles + 3 inddices

Une réponse rapide smile

[latex]x^2=4a(c-a-b)[/latex] , [latex]y^2=4a(c-2a)[/latex] et [latex](x+y)^2=4ab[/latex] donc [latex]\sqrt{b}=\sqrt{c-a-b}+\sqrt{c-2a}[/latex] et [latex]2\sqrt{b(c-2a)}=2b-a[/latex] soit [latex]c=\frac{(a+2b)^2}{4b}[/latex] .

Un complément : faire le dessin à la règle et au compas .

Je conseille à ceux qui aiment la géométrie de fouiller sur la toile en cherchant "sangagu" .

Inutile de connaître le japonais , on devine généralement aisément la question .

http://img97.imageshack.us/img97/6234/sanstitreycl.jpg

C'est le deux qui m'a inspiré l'énigme . J'ai aussi trouvé les autres sauf le dernier : avis aux amateurs smile

Merci pour la participation et bravo à ceux qui ont trouvé smile

Vasimolo

 

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