Enigme Trois câbles + 3 indices @ Prise2Tete

Vasimolo · #1

Bonsoir

Un problème inspiré d'un sangaku .

On veut faire passer trois câbles ( dont deux ont la même section ) , dans une gaine partagée par une cloison suivant le schéma ci-dessous :

Si on note a et b les rayons des câbles jaunes et bleus , quel doit être , en fonction de a et b , le rayon c de la gaine contenant les trois câbles ?

L'exercice n'est pas facile mais ne demande pas de connaissances mathématiques supérieures à celles du collège

Amusez-vous bien

Indice 1 :

Spoiler : [Afficher le message]

Indice 2 :

Spoiler : [Afficher le message] Sans commentaire

Indice 3 :

Spoiler : [Afficher le message] Pythagore

PS : vous pouvez tester votre calcul dans le cadre ci-dessous avec a = 6 et b = 9 alors c = ? ( mais l'objectif est le cas général !!! )

Vasimolo

Vasimolo · #2

J'ai ajouté un indice qui devrait débloquer la situation , mais attention , malgré les apparences , les sangakus ne sont jamais simples

Vasimolo

MMORgan · #3

Apparemment ton problème n'a pas l'air de passionner les foules donc je vais essayer de m'y mettre, il semble intéressant mais pas évident.

On montre que la meilleure façon de poser les trois cercles est celle décrit sur le dessin (ça se voit bien visuellement...)
On note #C le cercle recherché et O son centre.
A et B les centre du petit et grand cercle du bas, respectivement. Et A' le centre du petit cercle du haut.
On a [OA), [OB) et [OA') coupant #C ...

Ainsi, on arrive a déterminer un point de #C : le point intersection entre la médiatrice de la cloison et le cercle du haut (n'appartenant pas à la médiatrice).
Il en reste deux à obtenir...

J'essaie de faire le cas a=b mais j'ai rien de probant.

Avec l'indice 2 et un coup de Pythagore
c= (a+2b)²/(4b)
Il faut donc seulement justifier le ptit rectangle.
Est-ce que c a une signification géométrique, ou autrement, est-ce qu'il existe une preuve géométrique de ce résultat ? (ce que j'ai fait c'est très calculatoire et analytique)

scrablor · #4

L'indice permet d'avancer valablement, merci mais je soupçonne une méthode plus expéditive que la mienne...
Avec trois fois Pythagore, j'écris qu'une longueur vaut la somme de deux autres et je simplifie par 2*rac(a).
$sqrt{ c-2a } + sqrt{ c-b-a } = sqrt{ b }$
J'en tire... si on m'y pousse :
$c = a + b + \frac {a^2}{4b}$
N.B. : Ce calcul ne vaut plus si b<a/2 car la configuration dans le rectangle noir est différente : le petit câble bleu flotte dans le trou ! Je m'en suis aperçu en essayant de faire tendre b vers zéro...

Vasimolo · #5

Dernier indice ! Il reste un peu de calcul à faire mais pas trop

Vasimolo

MMORgan · #6

Preuve des longueurs du rectangle :
Les extremités du triangle sont les centres des trois cercles qui se trouvent là (dont celui à trouver).
Le premier côté du triangle mesure bien c-b puisque c'est le segment est situé sur un rayon du cercle #B et du cercle #C. Idem pour la longueur c-a. Idem pour la longueur c-2a avec le diamètre du cercle du haut.
Après le a+b est amusant puisque c'est simplement la somme des rayons , puisqu'on sait que les deux cercles sont tangeants.

Maintenant 2a+b-c est facile puisque le cercle #B touche la cloison donc on a pris la longueur l vérifiant l+c-2a=b.

De l'autre côté, on a 3a-c puisque 3a-c+c-2a=a et la petit cercle touche la cloison également. Et enfin on a le b-a en bas à droite.

Avec un peu de motivation l'indice 2 n'était pas nécessaire :]

On passe d'un problème compliqué avec des cercles dans tous les sens à un problème avec des carrés et des rectangles classique. J'aime bien les maths Merci pour cette énigme.

MMorgan

papiauche · #7

Ardu!

par Pythagore

(x+y)^2 = 4ab
x^2=4a*(c-a-b)
y^2= 4a*(c-2a)

b^0,5 = (c-2a)^0,5+(c-(a+b))^0,5

Allo Wolfram:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=b^ … a-b%29^0.5

c = (a^2+4 a b+4 b^2)/(4 b)

Pour a=6 et b=9:

c=16

kosmogol · #8

MMORgan a écrit:
il semble intéressant mais pas évident.

Non, on dit : "très sympa, mais pas si facile", m'enfin

MthS-MlndN · #9

Dur dur dur

Mais ça m'a permis d'apprendre ce qu'est un sangaku, et j'ai trouvé un article sympa sur le théorème japonais :

http://www.inclassablesmathematiques.fr … .html#more

Vasimolo · #10

Je suis sans internet depuis 48 heures mais je réponds dès que j'arrive à squatter la ligne de mon voisin

En tout cas merci aux participants

Vasimolo

Vasimolo · #11

Une réponse rapide

$x^2=4a(c-a-b)$ , $y^2=4a(c-2a)$ et $(x+y)^2=4ab$ donc $\sqrt{b}=\sqrt{c-a-b}+\sqrt{c-2a}$ et $2\sqrt{b(c-2a)}=2b-a$ soit $c=\frac{(a+2b)^2}{4b}$ .

Un complément : faire le dessin à la règle et au compas .

Je conseille à ceux qui aiment la géométrie de fouiller sur la toile en cherchant "sangagu" .

Inutile de connaître le japonais , on devine généralement aisément la question .

C'est le deux qui m'a inspiré l'énigme . J'ai aussi trouvé les autres sauf le dernier : avis aux amateurs

Merci pour la participation et bravo à ceux qui ont trouvé

Vasimolo

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#1 - 05-02-2010 23:34:12

Troi scâbles + 3 indices

#0 Pub

#2 - 06-02-2010 23:22:21

Trois câbles + 3 idices

#3 - 06-02-2010 23:25:58

Tois câbles + 3 indices

#4 - 06-02-2010 23:40:39

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#7 - 12-02-2010 16:21:39

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#8 - 13-02-2010 09:32:49

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MMORgan a écrit:

#9 - 13-02-2010 12:00:09

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#10 - 13-02-2010 20:15:15

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#11 - 14-02-2010 22:58:15

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