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 #1 - 07-02-2010 17:15:36

MMORgan
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 172

un professeur prrnant du retard sur le programme

Un professeur donne n séances d'un cours (n entier strictement positif).
A la première séance, il souhaite faire la proportion 1/n du programme, dans l'espoir de continuer à ce rythme et ainsi terminer l'année avec tout le programme enseigné.
Malheureusement, à la fin de la première séance, il n'arrive à faire que la moitié de ce qu'il comptait faire.

Pour rattraper son retard, il souhaite arriver à la séance suivante à la proportion 2/n du programme abordé (en tout c'est-à-dire en comptant la première séance).
Mais là encore, il n'arrive à faire que la moitié de ce qu'il comptait faire.

Ainsi l'année se déroule.
A la dernière séance, il souhaite terminer le programme (aborder la proportion n/n du programme) même s'il a pris pas mal de retard. Là encore il n'arrive à en enseigner que la moitié du reste.

Quelle proportion du programme sera abordé une fois l'année écoulée ? (la case réponse correspond à l'arrondi de la valeur obtenue pour n=100, sous la forme 0.abc )

Bonne chance !
MMORgan



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 #2 - 07-02-2010 19:07:15

falcon
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 106

Un professeur prenant du retardd sur le programme

-> 1-1/n

le retard qu'il accumule suis la loi
r(1) = 1/(2n)
et  r(j+1) = r(j)/2 + 1/(2n)
en notant r(j) le retard au j-ieme jour

on en déduit r(j) = ( 1 + 1/2 + 1/4 ... + 1/2^j )/(2n)
alors r(j) = (1 - (1/2)^(j+1)) / n

ainsi dans le cas n = 100
1- r(100) = 1-(1-(1/2)^101)/100

comme 1/2^101 < 0.000000000000000000000000001
ca fait bien 0.99000


Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas

 #3 - 07-02-2010 22:24:27

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

Un professeur prneant du retard sur le programme

De manière expérimentale, je tombe sur cette formule pour la part du programme traitée :
[TeX]p = 1 - \frac {2^n - 1}{n \cdot 2^n}[/TeX]
Ça marche en tout cas pour n=100 avec p=0,990
Il me reste à l'argumenter...
Autre formulation, qui pourrait être plus conforme au raisonnement :
[TeX]p = 1 - \frac {1}{n} \cdot \left( 1 - \frac {1}{2^n} \right)[/TeX]


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #4 - 07-02-2010 22:59:50

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

Un professeur prenant du retard sur le pprogramme

si j'ai bien compris la question, il effectue a chaque fois la moitier de ce qu'il reste soit pour les 1er jours:

1er jour: .5 d'un jour reste donc 0.5
2eme jours .5+1 = 1.5/2 = .75, soit un total de 1.25 jour
3eme jours .75+1 = 1.75 /2 = .875 soit un total de 2.125 jours ...

en gros il "manque" a la fin de chaque journée :
((2^n)-1)/ 2^n
qu'une bete reccurence prouve.

au 100eme jour il manque donc :
2^100 - 1 / 2^100, désolé mais l'approximation me semble dur a faire:D

 #5 - 08-02-2010 07:18:58

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1740

un professeur prenant du retard sur le prigramme

Bonjour,

Je vais raisonner en "journées" de cours (rang 1,2,3 ....n) et pas en (1/n) mais cela revient au même ...

Le premier jour le retard est de 1/2 journée
Le deuxième jour, le retard est de 1/4 de journée puisque le professeur souhaite faire l'équivalent de (1+1/2) journées de cours et n'en fait que la moitié, soit (1/2 + 1/4) soit 3/4
Le troisième jour, le retard est de 1/8 de journée puisque le professeur souhaite faire (1+1/4) =6/8 journées de cours et n'en fait que (1/2 + 1/8) soit 5/8

....

Le cumul des retards au jour de rang k se présente donc sous la forme
(1/2) + (1/4) + (1/8) + .....+(1/2^k)

Cette somme croissante converge rapidement vers sa borne supérieure 1, a-fortiori pour n= 100 jours

donc au bout de 100 jours, le professeur a enseigné 99/100 du programme.

La réponse à saisir est 0,990.

Nicolas


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #6 - 08-02-2010 16:12:27

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Un professeur prenant du retard sur e programme

Raisonnement par récurrence:
- à la fin du 1er cours, il a réalisé 1/2n
- On suppose qu'à la fin du cours i cours i, il aura réussi à réaliser (i-1)/n + 1/(n*2^i)
- à la fin du cours i+1, il voudra atteindre (i+1)/n, donc réaliser (i+1)/n - (i-1)/n - 1/(n*2^i) = 2/n - 1/(n*2^i).
Il n'en réalise que la moitié: 1/n - 1/(n*2^(i+1))
Son total réalisé est alors de (i-1)/n + 1/(n*2^i) + 1/n - 1/(n*2^(i+1)) = i/n + 1/(n*2^(i+1))
CQFD.

Conclusion: à la fin du 100ème cours, il aura réalisé 99/100 + 1/(100*2^100). Ca fait 99% du programme complet (et des poussières).

99% du programme en faisant que la moitié de ce qui était prévu à chaque fois ?  L'éducation nationale va à vau l'eau ! big_smile

 #7 - 08-02-2010 20:58:09

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

Un professeur prenant du retard surr le programme

Tentative de raisonnement :
Notre professeur a un collègue qui raisonne de la même façon, mais qui était absent le premier jour. Le deuxième jour, le collègue veut faire deux séances en une mais n'en fait que la moitié. Le lendemain, ce collègue a encore une séance de retard, veut en faire deux d'un coup et n'en fait qu'une... Il a donc systématiquement une séance de retard et à la fin de l'année, la part du programme qu'il a traitée est [latex]q=\frac{n-1}{n}[/latex].

Revenons à notre professeur qui a pris une demi-séance d'avance sur son collègue le premier jour. Si les deux avaient réalisé leur contrat, ils se seraient retrouvés à égalité. Comme ils n'ont réalisé que la moitié de leurs objectifs, l'avance du premier s'est trouvée divisée par 2. Et chaque jour suivant, on retrouve cette division par 2. En conclusion : [latex]p=q + \frac{1}{n} \cdot \frac {1}{2^n}=\frac{n-1}{n} + \frac{1}{n} \cdot \frac {1}{2^n}[/latex]


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #8 - 08-02-2010 21:25:34

nalioui
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

Un professeur prenant du retrad sur le programme

2 cours

 #9 - 10-02-2010 16:47:41

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

un prpfesseur prenant du retard sur le programme

Pas trop tordu si on si prend bien smile

On note [latex]1[/latex] la quantité de programme idéalement réalisée durant une séquence et [latex]a_n[/latex] la quantité de programme réalisée effectivement après [latex]n[/latex] séquences :
[TeX]2a_n=a_{n-1}+n[/TeX]
[TeX]4a_n=2a_{n-1}+2n=a_{n-2}+(n-1)+2n [/TeX]
[TeX]8a_n=2a_{n-2}+2(n-1)+2^2n=a_{n-3}+(n-2)+2(n-1)+2^2n[/TeX]
...
[TeX]2^na_n=1.2^0+2.2^1+3.2^2+...+n.2^{n-1}[/TeX]
Ce qui donne [latex]a_n=n-1+2^{-n}[/latex] et la proportion du programme traitée [latex]\displaystyle{P=\frac{a_n}{n}=1-\frac 1n+\frac 1{n.2^n}}[/latex] .

On remarque que pour [latex]n[/latex] assez grand ça revient pratiquement à prendre une séquence de retard  smile

Vasimolo

 #10 - 10-02-2010 18:34:31

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2123

Un professeur prenant d uretard sur le programme

Etape 1: 1/2n du programme est réalisé

Etape 2 : (2/n-1/2n)/2=3/4n est réalisé en cours soit au total (3/4n+1/2n) = 5/4n

Par récurrence on établit que la part réalisée à l'étape p vaut

((p-1)*2^p+1)/(2^p*n)

Pour n = 100, à l'étape 100, le résultat est (99*2^99+1)/(2^99*100) soit

0.990


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #11 - 11-02-2010 15:09:59

MMORgan
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 172

un professeur prenant du retzrd sur le programme

Bravo à tous ceux qui ont trouvé 1-1/n+1/(n*2^n)
Les autres réponses il y a un mélange d'indice, mais pour n=100 le résultat donné est (environ) le même.
Le programme traité sera donc équivalent ~ au programme total pour n grand !

A bientôt,
MMorgan

 

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