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 #1 - 05-03-2010 20:24:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,285E+3

bilkard 8

Allez , encore un problème de rebonds smile

Une boule est posée en P sur un billard circulaire . Comment la frapper pour qu'elle retrouve sa position initiale après trois rebonds ?

http://img693.imageshack.us/img693/5208/billardcirculaire.jpg

Y-a-t-il toujours une solution ? Unique ?

Amusez-vous bien smile

Vasimolo

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#0 Pub

 #2 - 05-03-2010 21:14:12

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 959

Billlard 8

Partant de P, les rebonds auront lieu en A, puis B, puis C.
Vu les règles du rebond, [CA] et [AB] sont symétriques par rapport au diamètre passant par A, donc ABC est isocèle. De même en B et en C, donc ABC doit être équilatéral.
Si P est à l'intérieur du cercle de rayon moitié, il n'y a pas de solution.
Dans le cas contraire, il suffit de lancer la boule de façon que (PA) soit tangente au cercle de rayon moitié. La boule suivra les côtés d'un triangle équilatéral.

P.S. :
J'observe que j'ai supposé que A, P et C sont alignés comme semble l'indiquer le dessin... Mais en partant du bord intérieur du cercle, on peut faire trois rebonds en dessinant un carré...


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #3 - 05-03-2010 21:15:46

Grams
Visiteur

billzrd 8

On peut frappé où l'on veux, après trois rebonds, la balle peut revenir a sa position initiale !

 #4 - 05-03-2010 21:45:47

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

Billlard 8

P doit se trouver sur le triangle équilatéral inscrit. Cela n'est possible que si P est éloigné du centre d'au moins R/2 si R est le rayon du billard. Il y a à chaque fois 2 solutions possibles pour les 3 points d'impact sur le billard (sauf si P est au milieu d'un des côtés du triangle auquel cas il n'y a qu'une solution)


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme

 #5 - 06-03-2010 10:56:12

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Bilard 8

Soit P un point à l'intérieur du cercle de centre O

Si P est au centre du cercle: il y a une infinité de solution en tapant n'importe où sur le cercle

Si P est sur le cercle: il y a deux solutions: il faut former un triangle équilatéral PQR et donc faire taper la boule tel que l'angle POQ=120° et l'angle POR=120°

Si P est à l'intérieur du cercle Soit Q;R et S les points sur le cercle où la boule rebondit

Soient [latex]s_1[/latex] la symétrie d'axe (OQ); [latex]s_R[/latex] la symétrie d'axe (OR) et [latex]s_3[/latex] la symétrie d'axe (OS)

soient [latex]P'=s_1(P)[/latex]; [latex]P''=s_2(P')[/latex] et [latex]P'''=s_2(P'')[/latex]

2 cas: il faut que P=P''' ou que les droites (PQ) et (P'''S) soient confondues

1er cas: P=P'''
http://www.prise2tete.fr/upload/gabrielduflot-billard81.JPG

Donc il faut que [latex]s_3(s_2(s_1(P)))=P[/latex] ce qui implique que R est le point d'intersection de la demi-droite [PO) avec le cercle et que [latex]RS=RP=RQ [/latex] et donc [latex]S=s_2(Q)[/latex]

Donc S et Q sont les intersections du cercle avec un cercle de centre R et de rayon PR

2ème cas: les droites (PQ) et (P'''S) soient confondues
1er sous cas   
http://www.prise2tete.fr/upload/gabrielduflot-billard82.JPG   
tous les points P;P';P'' et P''' sont confondus cela veut dire que les droites (QR);(QS) et (RS) sont aussi confondues cela veut dire que Q;R et S sont les points d'intersection de la droite (PO) avec le cercle

2ème sous cas
http://www.prise2tete.fr/upload/gabrielduflot-billard83.JPG
on remarque [latex]s_2(RQ)=(RS)[/latex] et donc [latex]s_2(Q)=S et s_2(R)=R[/latex] donc R est l'intersection de la demi-droite [PO) avec le cercle et la droite (RO) est la médiatrice du segment [QS] et bissectice de l'angle SRQ et donc RS=RQ cela veut que la droite (RO) est la médiatrice du segment [PP''']
et de même il faut (SO) soit la médiatrice du [QR] et bissectice de l'angle QSR et que (QO) soit la médiatrice du segment [RS] et bissectice de l'angle RQS ce qui implique le triangle QSR est équilatéral et donc il faut taper la bande pour que l'angle PQO soit égal à 30°

Et donc en tout il y aura 6 cas possibles

 #6 - 06-03-2010 11:28:00

eglantine52
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 641

Billrd 8

http://t1.gstatic.com/images?q=tbn:I7FZJpY7MOrdRM:http://www.ccsion.ch/bravo.jpg
              pour le 500ème!


Chaque coup de colère est un coup de vieux, chaque sourire est un coup de jeune!

 #7 - 10-03-2010 17:32:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,285E+3

Billard

Bravo à ceux qui ont trouvé !!!

En effet avec une boule trop proche du centre point de salut et au-delà de R/2 deux solutions fournies par les tangentes au cercle de rayon R/2 ( une seule dans les cas dégénérés R ou R/2 ) .

Le même problème avec deux rebonds seulement appelé problème de Al Hazen est bien plus difficile , je laisse les curieux fouiller sur la toile smile

Vasimolo

 

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