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 #1 - 21-02-2010 22:59:17

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,099E+3

Billlard 6

Un problème beaucoup plus simple pour continuer la série smile

On dispose d'un disque dans lequel sont percées 26 alvéoles et de 13 boules rouges et 13 boules bleues numérotées chacune de 1 à 13 . On pose les boules bleues une à une en commençant par la 1ère dans les trous et en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre , on peut laisser des trous vides mais la dernière boule numérotée 13 doit être déposée avant la fin du tour ( en supprimant les vides l'ordre doit être celui des numéros ) . On pose ensuite les boules rouges de la même façon , en partant de n'importe quel trou mais en suivant le sens inverse des aiguilles d'une montre . Tous les trous sont alors comblés .

Est-il alors toujours possible de partager le disque en deux parts identiques de façon à ce que chacune des parts contienne tous les niuméros de 1 à 13 ?

Une illustration avec seulement 6 boules de chaque couleur .

http://img705.imageshack.us/img705/362/cercles.jpg

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



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 #2 - 22-02-2010 10:09:09

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 375

BBillard 6

Je pense que j'ai du rater une contrainte de l'énoncée... car si je mets les 13 boules bleues cote-a-cote, ça me fait un demi disque et je remplis l'autre demi-disque avec les rouges et c'est gagné neutral

 #3 - 22-02-2010 12:10:10

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1558

billarf 6

Pour considérer proprement les nombres de 1 à 13, on se place dans Z/13Z
On trace une moitié n'importe où sur le cercle.
On a alors, dans une des deux moitiés, b boules bleue et r boules rouges.
Propriété 1: r+b = 13

Par construction, on a aussi une info supplémentaire: les nombres inscrits sur les boules bleues sont consécutifs (dans Z/13Z toujours), pareil pour les boules rouges
Autrement dit, si on pose
- mB le plus petit nombre bleu
- mR le plus petit nombre rouge
- B l'ensemble des nombres bleus
- R l'ensemble des nombres rouges
on a B = [mB; mB + b - 1] et R = [mR; mR + r - 1]

Pour simplifier la notation, on va dire B = [b1, b2] et R = [r1, r2]
Considérons maintenant ce que signifie "faire tourner la sécante de 2Pi/13":
- on sort une boule, on en fait entrer une
- la boule sortie est soit la plus grande boule bleue, soit la plus petite boule rouge
- la boule entrée est soit la plus petite boule bleue, soit la plus grande boule rouge

On "fait tourner", et donc on diminue b2 ou on augmente r1, jusqu'à avoir b2 + 1= r1. A ce moment là, on aura [b1;b2] et [b2+1; r2], c'est à dire:
[mB; mB + b - 1] et [ mB + b; mB + b + r -1] et comme b+r = 13, alors l'union des deux donne [mB; mB + 12], qui est égal à Z / 13Z

 #4 - 22-02-2010 14:42:54

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

BBillard 6

http://www.prise2tete.fr/upload/gabrielduflot-cercle.JPG
Avec le dessin précédent des deux côtés du cercle on trouvera tous les nombres de 1 à n:
sur un demi cercle il y aura de 1 à i bleu puis i+1 à j rouge et j+1 à n bleu et vice versa sur l'autre demi cercle

 #5 - 27-02-2010 20:23:00

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,099E+3

Blilard 6

Un petit up ( chercher dans le simple smile)

Vasimolo

 #6 - 28-02-2010 21:38:40

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1558

billaed 6

Une demo un peu plus simple (quoique basée sur la précédente)
On coupe notre cercle en deux et on prend une des deux moitié au pif
On a deux suites de nombres consécutifs modulo 13 (une bleue et une rouge)
B est le dernier bleu et R le dernier rouge, on note D=B-R
Si on fait tourner dans le sens horaire notre droite sécante, on inclue dans notre moitié soit B+1, soit R-1. Dans les deux cas, D'=B'-R'=B-R+1= D+1
On fait tourner notre sécante de 12-D crans pour obtenir alors Df = Bf-Rf = D + 12 - D = 12, soit 13 nombres dont certains (les bleus) sont consécutifs et inférieur ou égal à une certaine valeur Bf, les autre (les rouges) sont consécutifs et supérieur égal à Rf = Bf+1. CQFD

Cette demo donne une méthode de construction simple:
-tracer un diamètre quelconque
-calculer la différence D entre le dernier bleu et le dernier rouge
-faire tourner le diamètre dans le sens horaire de 12-D crans.

 #7 - 01-03-2010 03:32:37

ozooo
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 4

bilkard 6

J'ai surement pas tout compris, mais la solution qui me vient à l'esprit, c'est de partager le disque en deux, et ensuite poser toutes les boules bleues les unes après les autres sans laisser de trous, et de même pour les rouges. J'aurai donc les boules bleues d'un coté et les rouges de l'autre. Bizarre... je me demande ce que j'ai raté

 #8 - 03-03-2010 19:30:44

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,099E+3

Billarrd 6

Bonsoir et merci pour la participation smile

J'avais la même solution que scarta mais de façon moins formelle wink .

On considère 6 boules de chaque couleur ( le principe est le même qu'avec 13 et les schémas plus clairs ) . On a 6 boules bleues rangées en ordre croissant sur une ligne ( en dépliant le cercle ) et on intercale entre elles des boules rouges classées en sens inverse . 

http://img717.imageshack.us/img717/6864/solution.jpg

Si toutes les boules rouges trouvent leur place sans revenir en début ligne , on choisit les 6 premières . Si au contraire on dépose n boules rouges à gauche de la 6ème ( la première qui a été posée ) , en prenant 6 boules à partir de la (n+1)ème on fait le bon partage smile

Il semble que la question n'a pas toujours été comprise le partage devait être fait quelle que soit la disposition initiale des boules tant que celle-ci respectait les contraintes !!!

Un grand bravo à scarta big_smile

Vasimolo

 #9 - 03-03-2010 19:42:51

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Billrd 6

mon dessin marche aussi....

 #10 - 03-03-2010 23:16:38

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,099E+3

Billard

gabrielduflot a écrit:

mon dessin marche aussi ...

Je ne comprends pas ta stratégie par exemple sur l'exemple ci-dessous :

http://img96.imageshack.us/img96/8667/questionl.jpg

Vasimolo

 

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